電位 Electric Potential

力學中有位能的概念 Potential Energy 𝑈 𝑟 𝑊= 𝑎 𝑏 𝐹 ∙𝑑 𝑠 =∆𝐾 𝑊= 𝑎 𝑏 𝐹 ∙𝑑 𝑠 =−∆𝑈=−𝑈 𝑏 +𝑈 𝑎 ∆𝐾+∆𝑈=0 功等於動能變化 功若能寫成位能變化 機械能守恆 線積分 Ui Ki Uf Kf

∆𝑈=− 𝑎 𝑏 𝐹 ∙𝑑 𝑠 若是功要等於位能的變化： 由不同的路徑計算線積分的值必須相同！ 或者： 繞著一個封閉曲線計算，因為起點與終點相同，位能差必須為零 ∆𝑈=0=− 𝐹 ∙𝑑 𝑠 𝐹 ∙𝑑 𝑠 =0 保守力 對保守力才能定義位能！

靜電力是不是保守力？

考慮一固定電荷 Q 旁一可運動的小電荷 q 𝑊= 𝐹 𝐸 ∙𝑑 𝑠 𝐹 𝐸 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄𝑞 𝑟 2 𝑟 A’ = lim ∆𝑟→0 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄𝑞 𝑟 𝑖 2 𝑟 𝑗 ∙∆ 𝑠 = lim ∆𝑟→0 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄𝑞 𝑟 𝑖 2 ∆ 𝑟 𝑖 垂直於 𝑟 的運動不作功 𝑟 ∙𝑑 𝑠 =𝑑𝑟 = 𝑟 𝐴 𝑟 𝐵 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄𝑞 𝑟 2 ∙𝑑𝑟 =− 𝑄𝑞 4𝜋 𝜀 0 1 𝑟 𝐵 − 1 𝑟 𝐴 與 A、B 的方向無關

從A出發再回到A，形成一封閉曲線。 𝐹 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =− 𝑄𝑞 4𝜋 𝜀 0 1 𝑟 𝐴 − 1 𝑟 𝐴 =0 沿任一封閉曲線，庫倫靜電力所作的功必為零！ 靜電力為保守力，可以定義電位能

電位能 𝑈 𝑟 =− 𝑐 𝑟 𝐹 ∙𝑑 𝑠 =− 𝑟 𝑐 𝑟 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄𝑞 𝑟 2 ∙𝑑𝑟 = 𝑄𝑞 4𝜋 𝜀 0 1 𝑟 − 1 𝑟 𝑐 選擇 𝑈 ∞ =𝑈 𝑐 =0 𝑈 𝑟 =− 𝑐 𝑟 𝐹 ∙𝑑 𝑠 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄𝑞 𝑟

若有一個以上的固定電荷Q，靜電力可以疊加 𝐹 𝐸 ∙𝑑 𝑠 = 𝐹 1 + 𝐹 2 + 𝐹 3 +⋯ ∙𝑑 𝑠 = 𝐹 1 ∙𝑑 𝑠 + 𝐹 2 ∙𝑑 𝑠 + 𝐹 3 ∙𝑑 𝑠 +⋯=0 𝐹 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 因此還是保守力。 任何靜電力都是保守力！

靜電力可以以靜電位能來描述。 若有一個以上的固定電荷Q，電位能可以疊加： 𝑈= 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑞 𝑟 𝑖 Q2 Q1 Q3 q

電位能 to 電位 Electric Potential

Q2 Q1 𝑈= 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑞 𝑟 𝑖 = 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 ∙𝑞≡𝑉𝑞 𝑉= 𝑈 𝑞 Q3 q 電位𝑉只與 q 的位置相關，與 q 的電荷無關 想像 q 漸漸趨近於零….電位依舊存在吧！ 𝐹 = 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑞 𝑟 𝑖 2 𝑟 𝑖 = 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑟 𝑖 ∙𝑞= 𝐸 ∙𝑞 𝑞→0 電位是會讓位於當地的電荷得到電位能的空間性質 電位𝑉 𝑟 遍佈整個空間 電場就是會讓位於當地的電荷 𝑞 得到靜電力 𝑞∙ 𝐸 的空間的物理性質 每一點都有 𝐸 𝑟 ，電場遍佈整個空間 與向量的電場不同，電位是一個純量。

𝐸 = 𝐹 𝑞 𝑉= 𝑈 𝑞 𝑈= 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑞 𝑟 𝑖 𝑉= 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖

電位𝑉 𝑟 在空間中的每一點有一個數值。 電位𝑉 𝑟 是一個空間的純量函數。如同地面上每一個位置有一個高度值。 空間中所有靜電的靜電性質就記錄在這個函數中，可由此函數推導出來。 相對的，電場 𝐸 𝑟 是一個向量函數。實用上圖像化上都困難的多。

電位的計算：

若已知電荷源，電位可以以點電荷的電位的疊加來計算 Q2 Q1 Q3 𝑉= 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 q

點電荷的電位能 𝑈 𝑟 =− 𝑐 𝑟 𝐹 ∙𝑑 𝑠 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄𝑞 𝑟 𝑉= 𝑈 𝑞 點電荷的電位 𝑉= 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑟 庫侖電位

若有一個以上的固定電荷Q，電位可以疊加： 𝑉= 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 若已知電荷源，電位可以以點電荷的電位的疊加來計算

𝑉= 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖

若已知電場，電位也可以以場的線積分來計算 ∆𝑈=− 𝑎 𝑏 𝐹 ∙𝑑 𝑠 位能差等於力的線積分的負號。 𝑉= 𝑈 𝑞 𝐸 = 𝐹 𝑞 ∆𝑉=− 𝑎 𝑏 𝐸 ∙𝑑 𝑠 兩點之間的位能差，等於沿任一連接兩點的曲線，電場的線積分的負號！

沿著垂直於電場方向的電位差為零： ∆𝑉=− 𝑎 𝑏 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 沿著垂直於電場的方向，電位不變！ 等位面與電場垂直。

沿著平行於電場方向的電位差： ∆𝑉=− 𝑎 𝑏 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =− 𝑎 𝑏 𝐸 𝑥 𝑥 ∙𝑑𝑥 電位差即是沿路徑方向電場的積分 高電位 低電位 若電場是均勻的： ∆𝑉=−𝐸 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 =−𝐸𝑑 電場是指向電位下降的方向。 𝐸=− ∆𝑉 𝑑 降地越快，電場越大。

均勻電場中任意兩點的電位差 ∆𝑉=−𝐸𝑑 d 是沿電場方向的位移。 𝐸=− ∆𝑉 𝑑 電場的方向是電位下降的方向

兩平行電板間的電位： ∆𝑉=−𝐸𝑑

若電場不是均勻的， ∆𝑉=− 𝑎 𝑏 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =− 𝑎 𝑏 𝐸 𝑥 𝑥 ∙𝑑𝑥 兩位置之間的電位差即是電場在兩點之間的積分，就是電位函數下的面積。 𝐸=− 𝑑𝑉 𝑑𝑥 電場是電位的微分：

𝐸=− 𝑑𝑉 𝑑𝑥 此式可以直接推廣到三維空間 3D 𝐸=− 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝐸 𝑥 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝐸 𝑦 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝐸 𝑧 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑧

要使電位𝑉 𝑟 具象化最有用的就是等位面

電位𝑉 𝑟 是會讓位於當地的電荷得到電位能的空間性質 要使電位𝑉 𝑟 具象化最有用的就是等位面 因為等電位面非常像地圖上的等高線：

等位面不能交會 沿等位面方向的電場為零，故電場垂直於等位面 ∆𝑉=−𝐸 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 =−𝐸𝑑 等位面越密，電場越強：

∆𝑉=− 𝑎 𝑏 𝐸 ∙𝑑 𝑠 電位差等於電場的線積分： 若繞著一個封閉曲線計算電場的線積分，因為起點與終點相同，電位差等於零！ 沿一個封閉曲線，電場的線積分必為零！ 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0

或是： 因為靜電力是保守力：對任一封閉曲線，靜電力的線積分為零： 𝐹 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 𝐹 =𝑞 𝐸

有電位存在，電場沿任何封閉路徑的線積分就必為零。 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =∆𝑉=0 Kirchhoff’s loop law

由庫倫定律我們推導出了任一靜電場必須滿足的定律： 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 靜電場沿任一封閉曲線的線積分永遠為零 這個結果從場線的角度來看，隱含甚麼意義？

𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 高斯定律就是法拉第場線概念的數學表示： 電力線是不間斷的，只能在正電荷產生，在負電荷消失。 電場面積分 Φ 𝐸 正比於點電荷放射出的電場線的數量！面積分會捕抓放射狀的場線。 高斯定律描述的是點電荷𝑞所產生的電場形狀：放射狀！ 似乎高斯定律只允許放射狀的電場線，但不對！

但還有另一種可能的場線型式，也符合電場線數目守恆！ 想像場線是一條一條的封閉曲線（不一定是圓）。 如此就不需要起點與終點，或說起點與終點是重合的。 這與放射狀場線非常不同，我們把它們稱為漩渦狀的場線。

這樣的漩渦狀場線，它的通量永遠為零！ 高斯定律的面積分無法捕捉到這樣的電場！因此也就無法控制它。 高斯定律可以完全取代庫倫定律嗎？ 𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 𝐸 = 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑟 𝑖

𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 如果只有高斯定律： + 我就可以在庫倫電場放射狀的場線上疊加一個漩渦狀的電場。 疊加前後都滿足高斯定律。

+ 𝐸 = 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑟 𝑖 庫倫定律預測電力線必定是放射狀的。 𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 𝐸 = 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑟 𝑖 庫倫定律預測電力線必定是放射狀的。 𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 高斯定律預測放射狀的場線上疊加任一個漩渦狀的電場。 + 而自然界真的沒看到過漩渦狀的靜電場。

+ = + 高斯定律可以取代庫倫定律成為主宰靜電學唯一定律嗎？答案是不能。 單獨的高斯定律並不完整。 高斯定律 一個可以禁止漩渦狀電場的定律 要禁止，要先捕捉到漩渦狀電場。

如果有漩渦狀的電場線： 取一條沿著漩渦的路徑，沿這個路徑計算電場的線積分： 在此路徑上漩渦狀的電場與路徑一直同向，內積永遠為正： 𝐸 ∙𝑑 𝑠 ~ 𝐸 漩渦 ∙𝑑𝑠 那麼如果要求： 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 則 𝐸 漩渦 =0 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 這個定律正好可以禁絕漩渦狀的場線！ 如果要求電場沿任一封閉曲線的線積分永遠為零，漩渦狀電場就不可能存在！

+ + = 高斯定律可以取代庫倫定律成為主宰靜電學唯一定律嗎？答案是不能。 單獨的高斯定律並不完整。因為高斯定律容許漩渦狀電場線。 高斯定律 一個可以禁止漩渦狀電場的定律 庫倫定律

𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 這個定律正好可以禁絕漩渦狀的場線！ 高斯定律加上電場線積分為零的定律，就等於庫倫定律。 𝐸 = 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑟 𝑖 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 𝐸 = 𝑖 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑟 𝑖

電場的線積分與面積分分別捕捉不同形狀的電場線： 取一條沿著漩渦的封閉路徑，沿這個封閉路徑計算電場的線積分： 在此路徑上漩渦狀的電場與路徑一直同向，內積永遠為正而一直累積： 𝐸 ∙𝑑 𝑠 ~ 𝐸 漩渦 ∙𝑑𝑠 這個積分會挑選出平行於該漩渦路徑的場，那就是漩渦狀的場線！

𝐸 漩渦 ∙𝑑 𝐴 =0 而漩渦狀場線的通量永遠為零！ 高斯定律的面積分通量無法捕捉到這樣的電場！

A 放射狀的庫倫電場對線積分無貢獻： 𝐸 放射 ∙𝑑 𝑠 =0 對任一封閉曲線

電通量 Φ 𝐸 正比於點電荷放射出的電場線的數量！面積分會捕抓放射狀的場線。

𝐸 ∙𝑑 𝐴 ~ 𝐸 放射 ∙𝑑 𝐴 𝐸 ∙𝑑 𝑠 ~ 𝐸 漩渦 ∙𝑑𝑠 面積分是加總垂直於封閉曲面的場的分量。 線積分是加總沿封閉曲線的場的分量。 這個面積分會挑選出放射狀的場線！ 這個線積分會挑選出漩渦狀的場線！ 漩渦狀場線的通量為零。 放射狀場線的電場線積分為零。 𝐸 漩渦 ∙𝑑 𝐴 =0 𝐸 放射 ∙𝑑 𝑠 =0

這兩個方程式合起來可以取代庫倫定律！ 這兩個方程式是靜電學的基本定律，規定了靜電場的形狀！ 𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 這個面積分會挑選出放射狀的場線！ 這個線積分會挑選出漩渦狀的場線！ 這兩個方程式規定了靜電場線必定是放射狀，而非漩渦狀！ 放射狀場的大小由場源的電荷大小決定！

這兩個方程式就是馬克思威爾方程式的一部分。 另外兩個也是由一樣的積分對磁場所寫成！ 𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 𝐵 ∙𝑑 𝐴 =0 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =− 𝑑 Φ 𝐵 𝑑𝑡 𝐵 ∙𝑑 𝑠 = 𝜇 0 𝑖+ 𝜇 0 𝜀 0 𝑑 Φ 𝐸 𝑑𝑡 Maxwell Equations 庫倫定律在電動力學中是不適用的，但這兩個定律卻只需要簡單的修改。

有了電場 𝐸 𝑟 ，為什麼還需要電位𝑉 𝑟 ？ 因為電位𝑉 𝑟 是純量，而電場 𝐸 𝑟 是向量。 電位是描述電現象非常方便的物理量。

電位最有用的應用是在導體的電性 因為不知電荷的位置，庫倫定律無法發揮 電荷的分布由以下條件決定: 導體內電場為零 導體內電荷為零，電荷分布於表面

因為導體內電場為零，因此整個導體為等電位！ 導體表面是等位面！

因表面為等位面，電場垂直於導體表面！

導體會改變空間中電場的分布！

兩大小不同的導體以導線連接： 平衡後，導線內電場為零，電位相等，球表面的電位必須相等。 𝑄 1 𝑅 1 = 𝑄 2 𝑅 2

雷電 在一般晴天時的大氣層中，每1m會有大約100V左右的電位差！ 地面的負電荷大約 -10-9 C/m2，正電荷位於50km高的電離層 空氣因宇宙線會些微游離而導電，約10分鐘這個電荷即會流失

地表會經由閃電現象再次充電

雷雨雲的下層帶負電

雷雨雲接近，在附近地表感應正電，電場過大時即造成空氣游離，放電而發生閃電，將負電荷帶到地面！

0.32 s

𝐸=− 𝑑𝑉 𝑑𝑥 此式可以直接推廣到三維空間 3D 𝐸=− 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝐸 𝑥 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝐸 𝑦 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝐸 𝑧 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑧

∆𝑉=− 𝑎 𝑏 𝐸 ∙𝑑 𝑠 考慮圖中很靠近的 𝑃 1 與 𝑃 2 之間的電位差： ∆𝑉=− 𝐸 ∙∆ 𝑠 =− 𝐸 𝑥 ∆𝑥− 𝐸 𝑦 ∆𝑦− 𝐸 𝑧 ∆𝑧 而根據偏微分定義 ∆𝑉= 𝜕𝑉 𝜕𝑥 ∆𝑥+ 𝜕𝑉 𝜕𝑦 ∆𝑦+ 𝜕𝑉 𝜕𝑧 ∆𝑧 𝐸 𝑥 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝐸 𝑦 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝐸 𝑧 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑧 得到 𝐸 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥 , 𝜕𝑉 𝜕𝑦 , 𝜕𝑉 𝜕𝑧 這個運算稱為梯度，Gradient。

若計算點電荷的庫倫電位能的梯度，果然就可以得到庫倫電場： 𝑉 𝑟 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑟 𝜕𝑉 𝜕𝑥 , 𝜕𝑉 𝜕𝑦 , 𝜕𝑉 𝜕𝑧 = 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 , 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 , 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 , 𝜕𝑟 𝜕𝑦 , 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =− 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄𝑞 𝑟 2 𝑟 = 𝐸 𝜕𝑟 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑥 𝑟 = 𝑟 𝑥 對於許多點電荷的組合，這個結果自然也對。 𝐸 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥 , 𝜕𝑉 𝜕𝑦 , 𝜕𝑉 𝜕𝑧 這是適用於所有靜電學的關係！ 電位純量場的梯度是一個向量場！這是一個普遍的結果！

間接證據： 對於任一純量𝑈 𝑥,𝑦,𝑧 ，這個三變數函數的變化可以寫成： ∆𝑈= 𝜕𝑈 𝜕𝑥 ∙∆𝑥+ 𝜕𝑈 𝜕𝑦 ∙∆𝑦+ 𝜕𝑈 𝜕𝑧 ∙∆𝑧= 𝜕𝑈 𝜕𝑥 , 𝜕𝑈 𝜕𝑦 , 𝜕𝑈 𝜕𝑧 ∙ ∆𝑥,∆𝑦,∆𝑧 ∆𝑈可以寫成內積的形式， ∆𝑈是純量，而 ∆𝑥,∆𝑦,∆𝑧 是向量， 𝜕𝑈 𝜕𝑥 , 𝜕𝑈 𝜕𝑦 , 𝜕𝑈 𝜕𝑧 只能是向量，不然這不可能達成！

將座標軸旋轉 θ 角，得到一組新的座標軸 同一個點或向量，新舊座標都是相關的： 𝑥 ′ =𝑥 cos 𝜃 −𝑦 sin 𝜃 𝑦 ′ =𝑥 sin 𝜃 +𝑦 cos 𝜃 因為選擇不同座標系時，向量分量不同，這三個分量本身沒有絕對意義， 但這三個分量也不是任意的，它們在不同座標系的值由上式的變換來規定！ 向量是由一組三個數，及一個轉換規則來定義！

直接證據：看一看 𝜕𝑈 𝜕𝑥 , 𝜕𝑈 𝜕𝑦 , 𝜕𝑈 𝜕𝑧 如何變換！ 𝑥 ′ =𝑥 cos 𝜃 −𝑦 sin 𝜃 𝑦 ′ =𝑥 sin 𝜃 +𝑦 cos 𝜃 在旋轉變化下如何變換，就定義了一個物理量究竟是純量向量或張量。 計算 𝜕𝑈 𝜕𝑥 , 𝜕𝑈 𝜕𝑦 與 𝜕𝑈 𝜕𝑥′ , 𝜕𝑈 𝜕𝑦′ 的關係！ 𝜕𝑈 𝜕𝑥 = 𝜕𝑈 𝜕𝑥′ 𝜕𝑥′ 𝜕𝑥 + 𝜕𝑈 𝜕𝑦′ 𝜕𝑦′ 𝜕𝑥 = 𝜕𝑈 𝜕𝑥′ cos 𝜃 + 𝜕𝑈 𝜕𝑦′ sin 𝜃 𝜕𝑈 𝜕𝑦 = 𝜕𝑈 𝜕𝑥′ 𝜕𝑥′ 𝜕𝑦 + 𝜕𝑈 𝜕𝑦′ 𝜕𝑦′ 𝜕𝑦 =− 𝜕𝑈 𝜕𝑥′ sin 𝜃 + 𝜕𝑈 𝜕𝑦′ cos 𝜃 這就是上述向量分量的關係，只是𝜃→−𝜃。 舊座標相對於新座標的確是轉−𝜃。

𝜕𝑈 𝜕𝑥 , 𝜕𝑈 𝜕𝑦 , 𝜕𝑈 𝜕𝑧 = 𝐴 變換如同一個向量！因此就是一個向量！ 這個事實適用於任何純量場𝑈 ，我們根本可以把這個運算本身，視為向量！ 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑦 , 𝜕 𝜕𝑧 是一個純量！ 這就是梯度，當然梯度是一個運算，還是要作用於一個函數上： 𝜕𝑈 𝜕𝑥 , 𝜕𝑈 𝜕𝑦 , 𝜕𝑈 𝜕𝑧 = 𝛻 𝑈 這與向量內積非常類似！ 𝐸 = 𝛻 𝑉 𝐴 ∙𝑑 𝑠 =0 可以證明，若任一向量場 𝐴 ，只要是放射狀，也就是滿足： 此一向量場 𝐴 就一定可以寫成一個純量場𝜙的梯度： 𝐴 = 𝛻 𝜙

如果梯度是向量，將兩個梯度作內積式的組合，就會得到一個純量！ 𝛻 ∙ 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑧 = 𝜕 2 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑧 2 ≡ 𝛻 2 當然這梯度內積是一個運算，還是要作用於一個函數上： 𝛻 ∙ 𝛻 𝑈= 𝛻 2 𝑈≡ 𝜕 2 𝑈 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑈 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑈 𝜕 𝑧 2 這個運算稱為Laplacian。 例如音波的立體波方程式，就包含波函數的 𝛻 2 。這是一個純量。 𝜕 2 𝑠 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑠 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑠 𝜕 𝑧 2 = 𝛻 2 𝑠= 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑠 𝜕 𝑡 2

𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑦 , 𝜕 𝜕𝑧 如果這個運算本身可以視為是一個向量！ 如果它運算的對象是一個空間中的向量函數，例如電場： 𝐸 。 此向量也可以跟它作內積與外積！ 也就是對此函數作空間微分時，同時作內積組合，定義： 𝛻 ∙ 𝐸 𝑥,𝑦,𝑧 ≡ 𝜕 𝐸 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐸 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐸 𝑧 𝜕𝑧 可以很容易猜出這是一個純量！ 這個運算組合稱為散度，Divergence。 𝛻 ∙ 𝐸 = 𝜕 𝐸 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐸 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐸 𝑧 𝜕𝑧 = 𝜌 𝜀 0 利用這符號高斯定律可以很簡潔地寫成： 非常類似地，對此函數作空間微分時，同時作外積組合，定義： 𝛻 × 𝐸 𝑥,𝑦,𝑧 ≡ 𝜕 𝐸 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐸 𝑦 𝜕𝑧 , 𝜕 𝐸 𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕 𝐸 𝑧 𝜕𝑥 , 𝜕 𝐸 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐸 𝑥 𝜕𝑦 可以很容易猜出這是一個向量！ 旋度，Curl

Maxwell Equations 的微分形式就是由這散度與旋度兩個運算寫成！ 𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 𝛻 ∙ 𝐸 = 𝜌 𝜀 0 𝐵 ∙𝑑 𝐴 =0 𝛻 ∙ 𝐵 =0 𝐸 ∙𝑑 𝑙 =− 𝑑 Φ 𝐵 𝑑𝑡 𝛻 × 𝐸 =− 𝜕 𝐵 𝜕𝑡 𝐵 ∙𝑑 𝑙 = 𝜇 0 𝑖+ 𝜇 0 𝜀 0 𝑑 Φ 𝐸 𝑑𝑡 𝛻 × 𝐵 = 𝜇 0 𝑗 + 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 電流是磁場的基本來源，而且產生的磁場是漩渦狀的，不是放射狀的。 電荷是電場的基本來源，而且產生的電場是放射狀的，不是漩渦狀的。 電（磁）場變化時會感應產生磁（電）場，感應產生的磁（電）場是漩渦狀，大致與變化的電（磁）場方向垂直。

這些運算給你非常簡潔而直覺的推導！ 已知電場是電位的梯度： 𝐸 = 𝛻 𝑉 高斯定律告訴我們電場的散度等於電荷密度： 𝛻 ∙ 𝐸 = 𝜌 𝜀 0 將第一式代入第二式： 𝛻 ∙ 𝐸 = 𝛻 ∙ 𝛻 𝑉 = 𝛻 2 𝑉= 𝜌 𝜀 0 這是高等靜電學解題的基本方程式！ 𝛻 2 𝑉= 𝜌 𝜀 0 𝜕 2 𝑉 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑉 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑉 𝜕 𝑧 2 = 𝜌 𝜀 0

已知電場是電位的梯度： 𝐸 = 𝛻 𝑉 如果對純量場的梯度作旋度運算： 𝛻 × 𝐸 = 𝛻 × 𝛻 𝑉 =0 向量外積的規則顯示梯度的旋度必為零！電場滿足： 𝛻 × 𝐸 =0 還記得電場的線積分永遠為零： 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 原來一個向量場如 𝐸 的旋度與線積分是有關的！

將一個路徑分解成子路徑， 𝑟 𝑎 + 𝑟 𝑏 沿此空間的線積分會等於沿子路徑的線積分的和。 這是因為加線積分時，子空間重疊部分 𝑟 𝑎𝑏 的線積分會互相抵消， 只留下最外圍路徑 𝑟 𝑎 + 𝑟 𝑏 的線積分。 一任意路徑線積分可以分解為無限多無限小正方形的線積分的加總！

考慮沿一個無限小的正方形路徑，計算電場的線積分 − 𝐸 𝑥 𝑥,𝑦+∆𝑦 ∙∆𝑥 𝐸 𝑦 𝑥+∆𝑥,𝑦 ∙∆𝑦 𝐸 ∙𝑑 𝑠 = 𝐸 𝑦 𝑥+∆𝑥,𝑦 ∙∆𝑦− 𝐸 𝑦 𝑥,𝑦 ∙∆𝑦− 𝐸 𝑥 𝑥,𝑦+∆𝑦 ∙∆𝑥+ 𝐸 𝑥 𝑥,𝑦 ∙∆𝑥 = 𝜕 𝐸 𝑦 𝜕𝑥 ∆𝑥∙∆𝑦− 𝜕 𝐸 𝑥 𝜕𝑦 ∆𝑦∙∆𝑥= 𝜕 𝐸 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐸 𝑥 𝜕𝑦 ∙∆𝑥∆𝑦= 𝛻 × 𝐸 𝑧 ∙ ∆ 𝐴 𝑧 = 𝛻 × 𝐸 ∙∆ 𝐴 𝛻 × 𝐸 𝑧 = 𝜕 𝐸 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐸 𝑥 𝜕𝑦 𝐸 ∙𝑑 𝑠 = 𝛻 × 𝐸 ∙∆ 𝐴 沿無限小的正方形的場的線積分等於該場的旋度乘上正方形面積！

𝐸 ∙𝑑 𝑠 =0 將此定律適用於小正方形： 𝐸 ∙𝑑 𝑠 = 𝛻 × 𝐸 ∙∆ 𝐴 𝛻 × 𝐸 =0 微分形式

𝐸 ∙𝑑 𝑠 = 𝛻 × 𝐸 ∙∆ 𝐴 一任意路徑線積分可以分解為無限多無限小正方形的線積分的加總！ 加總所有小正方形的線積分： 𝐸 ∙𝑑 𝑠 = 𝑖 𝐸 𝑖 ∙𝑑 𝑠 𝑖 = 𝑖 𝛻 × 𝐸 𝑖 ∙∆ 𝐴 𝑖 → 𝛻 × 𝐸 ∙𝑑 𝐴 鄰近正方形接觸邊的線積分因路徑方向相反，故互相抵消，只剩最外圍 𝐸 ∙𝑑 𝑠 = 𝛻 × 𝐸 ∙𝑑 𝐴 數學上的史塔克定律

法拉第定律： 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =− 𝑑 Φ 𝐵 𝑑𝑡 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝐵 ∙𝑑 𝐴 數學上的史塔克定律 𝐸 ∙𝑑 𝑠 = 𝛻 × 𝐸 ∙𝑑 𝐴 得到法拉第定律的微分形式： 𝛻 × 𝐸 =− 𝜕 𝐵 𝜕𝑡

散度透過高斯定律對應到面積分！旋度透過史塔克定律對應到線積分！ 𝐸 ∙𝑑 𝐴 = 𝑞 𝜀 0 𝛻 ∙ 𝐸 = 𝜌 𝜀 0 𝐵 ∙𝑑 𝐴 =0 𝛻 ∙ 𝐵 =0 𝐸 ∙𝑑 𝑠 =− 𝑑 Φ 𝐵 𝑑𝑡 𝛻 × 𝐸 =− 𝜕 𝐵 𝜕𝑡 𝐵 ∙𝑑 𝑠 = 𝜇 0 𝑖+ 𝜇 0 𝜀 0 𝑑 Φ 𝐸 𝑑𝑡 𝛻 × 𝐵 = 𝜇 0 𝑗 + 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 𝐸 𝜕𝑡

電容 Capacitor

電容外的電場為零！ 電容為儲存電場的裝置。

當電位是𝑉時儲存於電容中的能量： 增加電荷時必須提供能量𝑞𝑉。 注意電位𝑉隨電荷𝑞一直增加： 能量密度只與當地電場有關！ 能量可看成是儲存於電場之中！

介電質 Dielectrics

極化的電介質效果如同兩片平面電荷。 引發的電場與原來的電場成正比，但方向通常相反

κ > 1 介電常數

在均勻電介質中：

電場是一個方便的計算工具 電場的引進使得電力可以不再是超距力 電場越來越有個性，本身越來越像就是物理實體 電場可以攜帶能量