認識函數
認識函數 在日常生活中,各式各樣的販賣機,隨處可見。它提供了人們購物的便利性,想一想,當我們操作販賣機時,是不是只要在入口處投入足夠的硬幣,就會有商品從出口處掉下來呢?而這和數學的函數又有關係呢? 圖片取自網路圖片
主題1:函數 1、函數的定義: 若用x、y表示兩個可改變的數,且任一個x值,恰好只有一個y值與它對應,這種對應關係就稱為y是x的函數。記作y=f(x), 並稱x為自變數,y為應變數。
例如:杰倫每天都存100元,則x天後可以在y元, 那麼y與x之間有下列關係: 2 3 4 5 ….. Y(元) 100 200 300 400 500 每一天(x值)都只有一個y值與之對應, 所以 y是x的函數。
2.函數的判別: x y (1) 一、函數的關係:當x對y的關係為「一對一」或 「多對一」時,y是x的函數。 一對一 ○ b c 1 2 3 一對一 ○ x y (1) 1 2 3 a b c
函數的判別: (2) 多對一 ○ x y a b c 6
函數的判別: (3) x y 多對一 ○ 1 2 3 x y
函數的判別: 二、非函數的關係:當x對y的關係為「一對多」或 「一對無」時,y不是x的函數。 (4) x y 一對多 × 1 a b c
函數的判別: (5) 一對無 × x y 3 5 a b c
函數的判別: (6) x y 一對多 、一對無 × a b c 3 9 2
下表列出兩變數 x、y 之間的對應關係,哪一 組的 y 不是 x 的函數? x 1 2 3 4 牛刀小試 下表列出兩變數 x、y 之間的對應關係,哪一 組的 y 不是 x 的函數? 答:(A)(B)(C) (B) (A) x 1 2 3 4 y x 1 2 3 4 y (C) (D) x 1 2 3 4 y x 2 y 1 3 4
以下我們再看幾個日常生活中的例題,看看兩種量之間是否有函數關係。 <例題1>爸爸的年齡比兒子大 26 歲,如果以 x 代表兒子的年齡,y 代表爸爸的年 齡,那麼 y 是 x 的函數嗎?
解:依題意可列出關係式為 y=x+26,x 與 y 之間 的對應關係可列表如下: 1 2 3 4 5 6 爸爸年齡(y歲) 27 28 29 30 31 32 由表中可以發現,給定一個 x 值,都恰有一個 y 值與它對應,所以爸爸的年齡 y 是兒子年齡 x 的函數。
<例題2> 長方形的長、寬與面積的關係 如果長方形的長為 12 公分,寬為 x 公分, 面積為 y 平 方公分,則: (1)x、y的關係式為何 ? (2)y 是 x 的函數嗎 ? (3)當x=5時,對應的y值為何 ? 解: (1)長方形面積 =長 × 寬 , 則 y =12x (2) y是x的函數 (3) y = 12 × 3 =36
<牛刀小試> 1. 如果 y 與 x 成正比,則 y 是否為 x 的函數? 解: 1.如果 y 與 x 成正比,則 y=kx(k≠0), 給定一個 x 值,恰有一個 y 值與之對應, 所以 y 是 x 的函數。 2.如果 y 與 x 成反比,則 xy=k(k≠0), 給定一個 x 值,恰有一個 y 值與之對應, 所以 y 是 x 的函數。
<例題3> 若閏年時,x 月分的天數是 y 天,如下表, 請問: (1) y 是 x 的函數嗎? 解: (1) 是。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天數 (y) 31 29 30 請問: (1) y 是 x 的函數嗎? 解: (1) 是。 給定一個 x 值,都恰有一個 y 值與它對應, 所以天數 y 是月分 x 的函數
(2) x 是 y 的函數嗎? 解: (2) 不是。 當天數為31天時,月份有1、3 、5、7、8 、10、12 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 天數 (y) 31 29 30 (2) x 是 y 的函數嗎? 解: (2) 不是。 當天數為31天時,月份有1、3 、5、7、8 、10、12
<例題4> 一火車行駛中的時間與距離關係如下: (1)距離是時間的函數嗎? (2)時間是距離的函數嗎? 時間(小時) 1 2 3 4 距離(公里) 80 160 240 320 (1)距離是時間的函數嗎? (2)時間是距離的函數嗎? 答: 距離 = 80 × 時間 (1)是,每一個時間都只對到一個距離 (2)是,每一個距離都只對到一個時間
在y是x的函數關係中,當x=a時,對應的y值稱為函數f在x=a的函數值,記為f(a),即y= f(a)。 主題2:函數值 函數值 在y是x的函數關係中,當x=a時,對應的y值稱為函數f在x=a的函數值,記為f(a),即y= f(a)。
例題: 若f(x)=-2x+3,求f(1)之值。 解: 當x=-1時, 對應的函數值是f(1)= -2 × 1+3=1
設函數f(x)=3x-5,則f(2)-f(7)=? <牛刀小試> 設函數f(x)=3x-5,則f(2)-f(7)=? 解: 因為 f(2)=3 × 2 - 5=1 f(7)=3 × 7 - 5=16 所以f(2) -f(7)=1 - 16=-15
某地區自來水管因地震破裂,導致每分鐘漏水20 公升,若以x表示漏水時間(小時),y表示漏水的數 量(公升),設y=f(x),則: <例題5> 某地區自來水管因地震破裂,導致每分鐘漏水20 公升,若以x表示漏水時間(小時),y表示漏水的數 量(公升),設y=f(x),則: (1)試以x列出f(x)的關係式。 (2) f(0.5)=?又f(3)=? 解: (1)每分鐘漏水20公升,所以每小時1200公升, 由題意可列式為y=f(x)=1200x (2)f(0.5)=1200 ×0.5=600 f(3)=1200 ×3=1800
<牛刀小試> 已知一長方形的長為x公分,寬為y公分,且 周長為24公分,設y=f(x),則: (1)試以x列出f(x)的關係式 (2)f(2)=?f(8)=? f(-2)=? 解: 由題意 2(x+y)=24,可得 y=12 - x, 即f(x)=12-x。 (2) f(2)=12 - 2=10 f(8)=12 - 8=4 f(-2) 無意義(因為x代表長度,一定是正數)
若函數 y=2x-3 與 y=3x-7在x=a時的 函數值相等,則a為多少? <例題6> 解: 函數 y=2x-3 在x=a時的函數值為y=2a -3 ; 函數 y=3x-7 在x=a時的函數值為y=3a -7 ; 所以 2a -3 = 3a -7 ,得a=4。
<牛刀小試> 若函數 與 在x=a時的函數 值相等,則a為多少? 解: 在 x=a時, 與 的函數值相等, 所以 = , 所以 = , a-3=3a+5,2a=-8,a=-4
作業: 1.下列何種關係,y不是x的函數? (A) x為七年五班的學生,y為其導師 (B) x為七年五班的學生,y為其身高 (C)依琳每天存30元,x天後共存y元 (D)平年中y月份有x天 2.若y台斤與x公斤等重,且1台斤=0.6公斤, 則下列敘述何者不正確? (A) y與x成正比 (B) y=20時,x=12 (C) y是x的函數 (D) y=0.6x
作業: 3、下列哪一個x、y的關係式,y不是x的函數? (A) (B) (C) (D) x 1 2 3 4 5 y x 1 2 3 4 y 9 16 25 x 1 2 3 4 5 y
作業: 5.已知函數y=f(x)=2x-9,在x=a時, 4.求函數值: 已知f(x)=3x-4,求f(5)與f(-3)。
作業解答: 1、D 2、D 3、B 4、f(5)=11,f(-3)= -13 5、a=4