6.2 线性变换的运算 授课题目：6.2 线性变换的运算 授课时数：2学时 教学目标：掌握线性变换的三种运算及 运算规律、可逆线性变换的逆变换的性质、 线性变换的多项式 教学重点与难点：三种运算及算律

一. 线性变换的三种运算 L(V) 线性空间V的一切线性变换所 组成的集合. 记号: σ∈L(V) σ是V的一个线性变换. 1 加法 设σ,τ∈ L(V)，规定它们的和σ+ τ 为 (σ+τ)(α)＝σ(α)+τ(α), α∈V. 则σ+τ也是V 的一个线性变换.

证　(σ+ τ)(α +β)＝σ(α +β)+ τ(α +β) ＝(σ(α)+σ(β))+(τ(α)+τ(β)) ＝(σ(α)+τ(α))+(σ(β)+τ(β)) ＝(σ+τ)(α)+(σ+τ)(β)， (σ+τ)(k α)=σ(kα)+τ(kα) =kσ(α)+ τ(k α)=k(σ(α)+ τ(α)) =k(σ+τ)(α). 其中α,β是V中任意向量，k是F 中的任意数.

2 数乘 设σ∈L(V), k∈F, 定义k与σ的数乘积kσ为 (kσ)(α) = kσ(α), α∈V. 容易验证，kσ也是V的一个线性变换. L(V)中的加法与数乘运算满足线性空间的八条 基本规律： （2）σ+τ＝τ+σ；　　

（3）σ+θ＝σ；　 （4）对每个σ∈L(V)，定义它的负变换-σ为 (-σ)(α)＝-σ(α)，α∈V. 容易证明，-σ也是V的线性变换，且有 σ+(-σ)＝θ； (5) k（σ+τ）=kσ+kτ; (6) ( k+l ) σ=kσ+lσ; (7) ( kl ) = k( lσ);

(8) 1σ=σ. 其中,σ,τ, ∈L(V) ,θ是V的零变换，k,l∈F. 这说明L(V)对上面定义的加法和数乘法构成数 域 F 上的一个线性空间. 还可规定 L(V) 中的减法： σ- τ＝σ+（-τ）．

3 乘法 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形可以 定义乘法（映射的合成）. 设σ,τ∈L(V)，定义它们的乘积στ为 στ(α)＝σ(τ(α)),α∈V 则στ也是V的线性变换.

证　对任意的α、β∈V，k∈F (στ)(α+β)＝σ(τ(α+β)) ＝σ(τ(α)+τ(β)) ＝σ(τ(α))+σ(τ(β)) ＝(στ)(α)+(στ)(β); (στ)(kα)＝σ(τ(kα)) ＝σ(kτ(α)) ＝kσ(τ(α)) ＝k(στ)(α)

与矩阵的乘法一样，线性变换的乘法满足： 1）结合律：σ（τ 　）　　　　　； ＝（στ） 2）对于k∈F，有 k（στ）＝（kσ）τ＝σ（kτ）；　　 3）左、右分配律成立： σ（τ+ ）＝στ+σ （σ+τ） ＝σ +τ 4）乘法有单位元ι，使σι＝ισ＝σ；

5）在一般情况下，στ≠τσ；　　 6）乘法有零因子存在，即由στ＝θ， 　不能断定必有σ＝θ或τ＝θ. 　因而，消去律不成立. 上面的σ，τ，　是V的线性变换，θ是 零变换，ι是V的单位变换，k是F中的数.

二. 线性变换的逆变换 设V是数域F上的线性空间，如果σ是 V的可逆线性变换，那么它的逆σ-1也是V 的线性变换. 证 对任意的α，β∈V 和 k∈F，有 σ -1(α+β)= σ -1((σ σ -1))(α)+(σ σ -1(β)) = σ -1(σ(σ -1(α)+ σ -1(β))) = σ -1 σ(σ -1(α)+ σ -1(β))= σ -1(α)+ σ -1(β).

σ-1(kα)= σ-1(k(σσ-1)( α)) 三、线性变换的多项式 1. 线性变换的幂 由三个线性变换的乘法的结合律成立，可推得 n(≥3)个线性变换乘法的结合律成立. 因此，我们可以合理地定义线性变换的n次幂:

其中, N 表示正整数集,ε为恒等变换. 2. 线性变换的多项式 设 f(x) = a0+a1 x+…+anxn∈F[x],σ∈L(V), 以σ代替x，以a0ε代替a0，得到V的一个线性 变换：f(σ)＝a0ε+ a1σ+…+anσn 叫做σ的多项式.

3. 线性变换多项式的可代入性 如果在F［x］中，u ( x ) = f ( x ) + g ( x ), v ( x ) = f ( x ) g ( x ). 则 u (σ) = f (σ)+g (σ), v (σ) = f (σ) g (σ). 例　对于R2中的线性变换σ,τ σ( x , y) = ( 0 , x) , τ( x , y ) = ( x , 0 ) (x , y) ∈R2, 求στ，τσ，σ-3τ，σ2和τ2.

解　对任意的( x , y ) ∈R2. στ(x , y)= σ(τ(x , y))= σ(x, 0)=(0, x); τσ(x , y)= τ(σ(x , y))= τ(0 , x)=(0 , 0); (σ-3τ)(x , y)=σ(x , y)+(-3τ) (x , y) =(0 , x)-(3x , 0)=(-3x , x); σ2(x , y)= σ(σ(x , y))= σ(0 , x)=(0 , 0); τ2(x , y)= τ(τ(x , y))=(x , 0)=(x , 0).

从这个例子中我们可以看出： （1）στ≠τσ， 　　故线性变换的乘法不满足交换律. （2）τσ＝θ，但σ≠θ，τ≠ θ ， 　　即线性变换的乘法有零因子.　　 （3）τσ＝σ2，σ≠θ，但τ≠σ， 　　故线性变换的乘法不满足消去率.

　　最后我们指出，由于在L(V)中引入了三种 简单的线性变换表示，正如一些较复杂的函数 可通过函数的运算用初等函数表示一样. 习题　6.2 1.设σ、τ是线性空间F［x］的线性变换， σ(f(x))＝f′(x),τ(f(x))＝x f(x)，f(x) ∈F［x］.　证明：（1）στ≠τσ，（2）στ-τσ＝ε.

2.设σ,τ为线性空间V的两个线性变换.证明： 如果στ-τσ=ι，则对任意自然数n都有 σnτ-τσn=nσn-1. 3.设σ∈L(V).如果σk-1(α) ≠0.但σk(α)=0. 证明：α, σ(α), …, σk-1(α)(k>0)线性无关.