5.7 探索直角三角形全等的条件

教学目标 　　1. 经历直角三角形全等判定条件的探索过程，训练学生的作图技能，发展学生动手实验的意识，主动探究的习惯，让学生逐步了解说理的基本方法. 2. 探索直角三角形全等判定的条件，并能应用它来判定两个直角三角形是否全等. 重点 　　直角三角形全等判定条件的探索和应用. 难点 　　让学生了解逐步说理的基本方法，并能初步的进行说理.

如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 请看下面的问题 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. ⑴ 你能帮他想个办法吗？ 方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)

⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？ 下面让我们一起来验证这个结论.

做一做 c α a 已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c. 如何作呢？是否先画画草图.

按照下面的步骤做一做： ⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; C M N C M N B ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A; ⑷ 连接AB. C M N B A C M N B A ⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？ ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？

直角三角形全等的条件 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.

想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.

练一练 ⒈ 填空题 ⑴两直角三角形两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“_______”条件. ⑵两直角三角形斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等“______”条件. ⑶两直角三角形一个锐角和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两个三角形全等的“_____”或“______”条件. ⑷两直角三角形全等的特殊条件是______和_______对应相等. SAS AAS ASA AAS 斜边 直角边

⒉ 如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由： ⑴___________( ) ⑵___________( ) ⑶___________( ) ⑷___________( ) AC=BD HL A B C D BC=AD HL ∠CAB=∠DBA AAS ∠CBA=∠DAB AAS

⒊ 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？ 解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,有 C D A B AB=AB, AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD (全等三角形对应边相等).

4. 如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出∠AOB的角平分线？说出作法和理由. 作法：⑴ 在OA、OB上量得OM=ON； A O B ⑵ 用三角板过M、N分别作OA、OB的垂线,相交于P点； M N ⑶ 作射线OP. 则OP就是∠AOB的平分线. P 理由：因为，Rt△OMP≌ Rt△ONP (HL), 所以，∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等).

议一议 例1. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ ∠ABC+∠DFE=90°.

解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,有 AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). 又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.

例2. 如图，画一个两条直角边相等的直角三角形ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B、C作射线AD的垂线BE、CF，垂足分别为E、F，量出BE、CF和EF长；改变D点的位置，重复上面的操作.你是否发现BE、CF和EF的长度之间有某种关系？你能否说清其中的奥秘？ A B C D E F 发现：BE+EF=CF .

∴△CFA为直角三角形. ∴∠ACF+∠EAC=90°. ∴∠ACF=∠BAE (同角的余角相等). 解：∵∠BAC=90°, ∴∠BAE+∠EAC=90°. 又 CF⊥AE, ∴△CFA为直角三角形. ∴∠ACF+∠EAC=90°. A B C D E F ∴∠ACF=∠BAE (同角的余角相等). 在△AEB和△CFA中，有 ∠AEB=∠CFA=90°, ∠BAE=∠ACF , AB=CA . ∴△AEB≌△CFA（AAS）. ∴BE=AF ,AE=CF, (全等三角形对应边相等). ∴BE+EF=CF .

小结 1. 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”. 通过这节课的学习你有何收获？ 2. 两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）.

作业： ⒈ 阅读课本P153-155； ⒉ P156 随堂练习 2 ； ⒊ P156习题 5.13 1 ， 2；