数理统计部分 数理统计主要内容 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验 数理统计是具有广泛应用的一个数学分支.它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律作出种种合理的估计和判断。 数理统计主要内容 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验

第六章 样本及其抽样分布 第1节 总体与样本

数理统计学的任务就是如何获得样本和利用样本，从而对事物的某些未知方面进行分析、推断并作出一定的决策。 数理统计学是一门以数据为基础的学科. 数理统计学的任务就是如何获得样本和利用样本，从而对事物的某些未知方面进行分析、推断并作出一定的决策。 3

例如：生产厂家声称他们生产的灯泡平均寿命不低于6000小时，如何验证厂家说法的真伪？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡进行检验，通过这部分灯泡的寿命数据来推断整批灯泡的平均寿命。以部分数据信息来推断整体未知参数，就是数理统计研究问题的基 本方式。 4

无限总体：容量无限的总体，通常将容量非常大的有限总体也按无限总体处理。 总体：研究对象的全体；或试验全部观察值 个体：总体中的成员/每个可能的观察值 总体的容量：总体中包含的个体数； 有限总体：容量有限的总体； 无限总体：容量无限的总体，通常将容量非常大的有限总体也按无限总体处理。 5

例：1）了解某校大学生“做过家教（包括正在做家教）”的比例。 总体是该校大学生全体。这是一个有限总体，每个大学生有许多指标，比如性别，年龄，身高，体重，高考成绩…。现在我们关心的是学生是否“做过家教”这一指标。 6

3）药厂研究某种药物在人体中的吸收情况。总体是全体国民，这是一个有限总体，但数量非常巨大，我们常把它看成无限总体。 2）了解某城市的空气质量情况，关注该城市的PM2.5值。总体是城市上空一定范围内的空气，这是一个无限总体，描述空气质量有许多指标，而我们仅关心PM2.5值。 3）药厂研究某种药物在人体中的吸收情况。总体是全体国民，这是一个有限总体，但数量非常巨大，我们常把它看成无限总体。 7

为了采用数理统计方法进行分析，首先要收集数据，数据收集方法一般有两种。 （1）通过调查、记录收集数据。如为了调查大学生是否“做过家教”，可以进行问卷调查；要了解PM2.5值，需要在城市设立若干监测站点，定时收集PM2.5数据。 8

（2）通过实验收集数据。如为了了解药物吸收情况，首先要进行试验设计，并征集若干志愿者，按试验设计方案将他们分成若干组，监测他们服药后不同时间点身体中药物含量，记录相应的数据。 关于数据的收集（调查数据和实验数据）可以根据数据本身的特点有多种不同的方法和设计，有专门的课程讲授，本课程不作详细介绍。 9

实际中人们通常只关注总体的某个（或几个）指标。 总体的某个指标X, 对于不同的个体来说有不同的取值, 这些取值构成一个分布, 因此X可以看成一个随机变量. 有时候直接将X称为总体. 假设X的分布函数为F(x), 也称总体X具有分布F(x). 10

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需要从总体中抽取一部分个体, 根据这部分个体的数据，并利用概率论的知识等作出分析推断. 方 法 如何推断总体分布的未知参数（或分布）？ 需要从总体中抽取一部分个体, 根据这部分个体的数据，并利用概率论的知识等作出分析推断. 方 法 被抽取的部分个体叫做总体的一个 样本. 12

简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称为容量是n的简单随机样本。 1 代表性: 每个Xi与X同分布； 2 独立性: X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量。 [说明]：后面提到的样本均指简单随机样本。 13

获得简单随机样本的抽样称为简单随机抽样。如何进行简单随机抽样? 对于有限总体, 采用放回抽样. 但当总体容量很大的时候,放回抽样有时候很不方便, 因此在实际中当总体容量比较大时,通常将不放回抽样所得到的样本近似当作简单随机样本来处理. 对于无限总体, 一般采取不放回抽样. 14

解：(1) X 88 75 70 63 p ¼ ¼ ¼ ¼ 15

（88，88） （88，75） （88，70） （88，63） （75，88） （75，75） （75，70） （75，63） （70，88） （70，75） （70，70） （70，63） （63，88） （63，75） （63，70） （63，63） 16

(2) 对样本进行一次观测，得到实际数值(n个) 称为样本观察值（或样本值）. (3)一般情形下，两次观测，样本值是不同的. 17

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第2节 统计量与常用统计量

样本中包含了许多信息。 对于推断总体的参数或分布而言，有些是有用 的，重要的信息，有些则并不重要。 上例的样本至少提供了两种信息： 1）10个灯泡的平均寿命; 2）灯泡寿命的序号(如6394是第1个). —有用且重要的信息 —不重要信息

从样本中提取有用的信息来研究总体的分布及各种特征数.——构造统计量. 统计量：样本的不含任何未知参数的函数。 23

常用统计量： 样本方差与样本均值，都是随机变量，都有自己的分布，也都可能有自己的期望与方差。取分母n-1，可使样本方差的期望等于总体方差，即这种定义的样本方差是总体方差的无偏估计。 简单理解，因为算方差用到了均值，所以自由度就少了1，自然就是除以(n-1)了。 再不能理解的话，形象一点，对于样本方差来说，假如从总体中只取一个样本，即n=1，那么样本方差公式的分子分母都为0，方差完全不确定。这个好理解，因为样本方差是用来估计总体中个体之间的变化大小，只拿到一个个体，当然完全看不出变化大小。反之，如果公式的分母不是n-1而是n，计算出的方差就是0——这是不合理的，因为不能只看到一个个体就断定总体的个体之间变化大小为0。 24

常用统计量： 25

例2 接上一讲例2，总体为88，75，70，63，总体 均值为74，总体方差为83.5.计算全部16个样本的 样本均值，样本方差和样本二阶中心矩. 样本编号 样本 样本均值 样本方差 样本中心矩 1 (88,88) 88 2 (88,75) 81.5 84.5 42.25 3 (88,70) 79 162 81 4 (88,63) 75.5 312.5 156.25 5 (75,88) 6 (75,75) 75 27

与总体均值74相同 与总体方差83.5相同 比总体方差小 样本编号 样本 样本均值 样本方差 样本中心矩 7 (75,70) 72.5 12.5 6.25 8 (75,63) 69 72 36 9 (70,88) 79 162 81 10 (70,75) 11 (70,70) 70 12 (70,63) 66.5 24.5 12.25 13 (63,88) 75.5 312.5 156.25 14 (63,75) 15 (63,70) 16 (63,63) 63 平均 74 83.5 41.75 与总体均值74相同 与总体方差83.5相同 比总体方差小 28

当总体数字特征未知时 这些非常直观的想法，有什么理论依据吗？这部分内容我们会在后面介绍。 29

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第3节

在数理统计中, 用于描述抽样分布的分布函数，除了正态分布外，最重要的三个分布分别为: 下面分别给出这三个分布的定义，密度函数，图形，性质和分位数等等。 32

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X^2(6) =1.237, alpha=0.95 37

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William Gosset (1876-1937) 1908年提出t-分布 40

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T(10)= 43

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第4讲 单个正态总体的抽样分布

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（2）证略. 51

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说明：S2除以(n-1)主要是为了保证对方差的无偏估计 E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ²+μ² 说明：S2除以(n-1)主要是为了保证对方差的无偏估计 57

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第5节 两个正态总体的抽样分布

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思考: 65

—第42讲例2 66