1-4 和角公式與差角公式 差角公式與和角公式 1 倍角公式 2 半角公式 3 1-4 和角公式與差角公式 page.1/23

1 差角公式與和角公式 餘弦的差角公式： 對於任意角α與β， cos (α-β) = cosαcosβ+ sinαsinβ。 1-4 和角公式與差角公式 page.2/23

1 試求下列各值： cos 77°cos 17°+sin 77°sin 17° cos 15° 。 (2) cos 15°= cos (45°-30°) = cos 45°cos 30°+ sin 45°sin 30° 。 1-4 和角公式與差角公式 page.3/23

1 差角公式與和角公式 正弦、餘弦的和角公式與差角公式： 對於任意角α與β， sin (α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ， cos (α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ， cos (α-β) = cosαcosβ+ sinαsinβ。 1-4 和角公式與差角公式 page.4/23

2 試求下列各值： sin 15° cos 13°cos 47°-sin 13°sin 47° (2) cos 13°cos 47°- sin 13°sin 47°= cos(13°+ 47°) = 1-4 和角公式與差角公式 page.5/23

3 設0°<α< 90°， 0°<β< 90°，且sinα= ，cosβ= ，試求： α+β的度數。 (1) 我們可先求出 cosα與 sinβ，再利用和角公式求值。 由平方關係可得 又因為 0 °<α< 90°， 0 °<β< 90°， 所以 1-4 和角公式與差角公式 page.6/23

3 設0°<α< 90°， 0°<β< 90°，且sinα= ，cosβ= ，試求： α+β的度數。 再由和角公式可得 1-4 和角公式與差角公式 page.7/23

3 設0°<α< 90°， 0°<β< 90°，且sinα= ，cosβ= ，試求： α+β的度數。 (2) 因為 0°<α< 90°， 0 °<β< 90°， 所以 0°<α+β< 180°， 又由cos (α+β) = 故得α+β=120° 1-4 和角公式與差角公式 page.8/23

1 差角公式與和角公式 正切的和角公式與差角公式： 當 tanα，tanβ， tan (α+β) ， tan (α-β)均有意義時， 1-4 和角公式與差角公式 page.9/23

4 試求 tan 15°的值。 設 0°<α< 90°，90°<β< 180°，且 tanα= ，tanβ= ， 1-4 和角公式與差角公式 page.10/23

4 試求 tan 15°的值。 設 0°<α< 90°，90°<β< 180°，且 tanα= ，tanβ= ， 又因為 0 °<α< 90°， 90 °<β< 180°， 所以 90 °<α+β< 270°，故得α+β=135 ° 1-4 和角公式與差角公式 page.11/23

2 倍角公式 二倍角公式： 1-4 和角公式與差角公式 page.12/23

5 設 90 °<θ< 180°，且sinθ= ，試求： 的值。 又 90 °<θ< 180°，所以cosθ= ， 故由二倍角公式可得 1-4 和角公式與差角公式 page.13/23

5 設 90 °<θ< 180°，且sinθ= ，試求： 的值。 由二倍角公式可得 (註：此題也可以利用第(1)小題的結果由 直接求得。) 1-4 和角公式與差角公式 page.14/23

6 試證三倍角公式： 由和角公式及倍角公式，分別可得 (1) 1-4 和角公式與差角公式 page.15/23

6 試證三倍角公式： (2) 1-4 和角公式與差角公式 page.16/23

7 利用三倍角公式求 sin 18°的值。 令θ=18°，則 = 90°，即 = 90°- ， 兩邊取正弦可得 ° ， 令θ=18°，則 = 90°，即 = 90°- ， 兩邊取正弦可得 ° ， 分別用二倍角及三倍角公式可將此式化為 因為cosθ= cos18° 0，可將兩邊消去cosθ，得 再由平方關係得 整理得 1-4 和角公式與差角公式 page.17/23

7 利用三倍角公式求 sin 18°的值。 由根的公式得 但 sinθ= sin 18° > 0， 故得 sin 18° 1-4 和角公式與差角公式 page.18/23

3 半角公式 半角公式： 等號右邊取正或取負由 所在的象限決定。 1-4 和角公式與差角公式 page.19/23

8 試求 sin 22.5°，cos 22.5°及 tan 22.5°的值。 因為 22.5 °為第一象限角， 故由半角公式可得 sin 22.5° cos 45° cos 22.5° cos 45° 1-4 和角公式與差角公式 page.20/23

8 試求 sin 22.5°，cos 22.5°及 tan 22.5°的值。 cos 45° tan 22.5° cos 45° 1-4 和角公式與差角公式 page.21/23

9 設 270 °<θ< 360°，且 sinθ= ，試求 sin ，cos 及 tan 的值。 因為 135 °< < 180°， 所以 sin > 0，cos < 0，tan < 0， 1-4 和角公式與差角公式 page.22/23

9 設 270 °<θ< 360°，且 sinθ= ，試求 sin ，cos 及 tan 的值。 由半角公式可得 1-4 和角公式與差角公式 page.23/23