第八章 多元函数积分学 一 二重积分的概念及简单性质 二 二重积分的计算

第一节 二重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结

一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积 柱体体积 = 底面积 × 高 特点：平顶. 柱体体积 = ？ 特点：曲顶. 曲顶柱体

回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积. 则 如图 xi xi+1  i y = f (x) f ( i) 　　其中 i[xi, xi+1], xi = xi+1  xi , 表小区间[xi, xi+1]的长, f ( i) xi表示小矩形的面积. x y

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

一、例 y z x z = f (x,y) D 1.求曲顶柱体的体积V. 　　设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高. 如图

(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. z = f (x,y) 如图 z = f (x,y) y z x D Di Di

(ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体 可近似看作小平顶柱体. f ( i , i) ( i , i) Di z = f (x,y) ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记  i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i)  i  小曲顶柱体体积

(iii)因此, 大曲顶柱体的体积 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值会无限接近于精确值V. 若 存在 则

其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. (iv) 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. 如图 x y Di 其中 ( i , i) Di ,  i = Di 的面积.

求曲顶柱体体积的方法： 分割、取近似、 求和、取极限。

步骤如下： 1. 分割 2. 取近似 3. 求和 4. 取极限

２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量

二、二重积分的概念

面积元素 积分区域 被积函数 积分变量 ------ 被积表达式

对二重积分定义的说明：

二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．

在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D， D 则面积元素为 故二重积分可写为

三、二重积分的性质 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 当 k 为常数时， 性质２

性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 性质５ 若在D上 则有 特殊地

性质６ （二重积分估值不等式） 性质７ （二重积分中值定理）

思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.

思考题解答 定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关． 不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函 数为定义在区间上的一元函数; 二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数．

第二节 二重积分的计算法（1） 利用直角坐标计算二重积分

利用直角坐标系计算二重积分 先讨论积分区域为： ［X－型］ X 型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域 边界相交不多于 两个交点. 其中函数 、 在区间 上连续.

一般地， 积分区域为： ［X－型］ --- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分

如果积分区域为： ［Y－型］ --- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分

当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算. 1. 若D既是 x—型区域, 又是 y—型区域. 比如 x y 则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分. 等等, 此时, 当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.

2. （1）如果积分区域是矩形 （2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩 形区域， 则

设D：a  x  b, c  y  d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积， 则 y x d c a b

比如，

3. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使 用积分公式

例1 将 化为二次积分。 其中 D 由直线 围成。 解 1： 先画出积分区域 D 。 D 是 Y－型。 于是，

解 2： 于是，

例2 计算 其中 D 由直线 围成。 解 先画出积分区域 D 。 D 是 X－型。 于是，

于是，

例3

解 积分区域为 于是，

解 设 则

设 于是，

解

解

例9. 求 解：由于 是“积不出”的，怎么办？ 要改换积分次序. 先画积分区域D的图形. 由积分表达式知，D： y  x  1, 0  y  1 画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1. 如图： y x D y = x 故 原式 =

　　由例8，例9知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。

1. x y y=x y=x2 解: 先画区域D的图形. 法1. 先对y积分.

法2. 先对 x 积分. x y y=x y=x2 1 y

2. 解: 先画D的图形. 先对 x 积分. x y y=x+2 y=x2 1 2

x y y=x+2 y=x2 1 2 所以, 原式 = 问, 若先对 y 积分, 情形怎样?

3. 改换 解：写出D的表达式， 画 D 的图形 改为先对x再对y的积分 y x D 2 4

第二节 二重积分的计算（2） 一、利用极坐标系计算二重积分 二、小结

一、利用极坐标系计算二重积分 面积元素

二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 D：

区域特征如图 D：

二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 D：

二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 极坐标系下区域的面积

例1 将 化为在极坐标系下的二次积分。 1） 2） 3） 4）

解 1） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 2） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为

2） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 3） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为

3） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 4） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为

4） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为

解

解

解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用 极坐标积分。 例4. 求 其中D：x2+y2  1 解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用　　极坐标积分。 令x=rcos, y=rsin, 则 x y x2+y2  1 x2+y2  1的极坐标方程为r = 1. 由(2) D*: 0  r  1, 0    2

另由几何意义：

解

二、小结 二重积分在极坐标下的计算公式

5 利用极坐标计算二重积分

D：由 所围成区域（第一象限部分）

第三节 二重积分的应用

一、立体的体积 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．

例1 计算由曲面 及 xoy 面所围的立体 体积。 解 设立体在 第一卦限上 的体积为 V1。 由立体的对称性，所求立 体体积 V = 4V1 。 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为

立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为 它的底为 于是，

所求立体的体积

例2 求两个圆柱面 所围 的立体在第一卦限部分的体积。 解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为 它的底为

它的底为 它的曲顶为 于是，立体体积为

三、平面薄片的重心

解

计算 解：D 如图, 其中D: x2+y2a2(a>0). 由于D关于x轴，y 轴都对称， 即f (x, y)也关于x轴，y轴对称. 故 x y x2+y2 = a2 a D1 D r = a

解：这是一个在“概率论”中很重要的积分，用 通常方法无法算出. 例：计算广义积分 解：这是一个在“概率论”中很重要的积分，用　　通常方法无法算出. 由广义积分定义

其中S: 0  y  R, 0  x  R x y x2+y2=R2 R 下用“夹逼定理”求 作D1： x2+y2  R2

令R+，上式两端的极限均为 故.