振 动 习 题 习题总目录 15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7 15-8 15-9 15-10 15-11 15-12 15-13 15-14 15-15 15-16 15-17 15-18 15-19 15-20 15-21 15-22 15-23 15-24 15-25 15-26 15-27 15-28 15-29 15-30 15-31 15-32 15-33 15-34 15-35 15-36 15-37 习题总目录 结束

π 15-1 质量为10g的小球与轻弹簧组成的 系统，按 3 0.5cos(8 x m t ) + = 的规律而振动，式中t以s为单位,试求: (1)振动的角频率、周期、振幅、初相、 速度及加速度的最大值; (2)t=1s、2s、10s等时刻的相位各为多 少? (3)分别画出位移、速度、加速度与时间 的关系曲线。 结束 返回

π π ω π ω π ω π ω π ω π ω π ω π 解： 3 0.5cos(8 x m t ) + = T 0.25s 2 = φ A =0.5m 0.15=12.6m/s m v × = ω A 8 π 2 m a = ω A ( ) =316m/s × 8 π 0.5 t =1s ( ) + = ω φ t 8 π 3 25 × ( ) + = ω φ t π 3 49 8 2 t =2s × ( ) + = ω φ t π 3 241 8 10 t =10s 返回

π π π v x a~t t o a v~t x~t φ x~t曲线 = 3 5 φ v~t曲线 = 6 4 φ a~t曲线 = 3 返回 结束 返回

沿x 轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余弦函数表示。若t =0 时，球的运动状态为: (1)x0=-A; (2)过平衡位置向x 正方向运动; 15-2 有一个和轻弹簧相联的小球， 沿x 轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余弦函数表示。若t =0 时，球的运动状态为: (1)x0=-A; (2)过平衡位置向x 正方向运动; (3)过x=A/2处向 x 负方向运动; 2 A (4)过 处向 x 正方向运动; 试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写 出振动表式。 结束 返回

π π π π φ A = (1) x 3 2 φ = A (2) x 3 φ = A (3) x 7 4 φ = A (4) x 返回 结束 返回

(3)由起始位量运动x = l2cm处所需的最少 时间; (4)在x=12cm处，物体的速度、动能以及 系统的势能和总能量。 15-3 一质量为10g的物体作简谐振动， 其振幅为24cm，周期为4.0s，当t =0时， 位移为+24cm。求: (1) t =0.5s时，物体所在位置; (2) t =0.5s时，物体所受力的大小与方向; (3)由起始位量运动x = l2cm处所需的最少 时间; (4)在x=12cm处，物体的速度、动能以及 系统的势能和总能量。 结束 返回

π π π π π ω 2 T = 4 =1.57s-1 = 2 A =0.24m 解： x = A =0.24m v = φ = t =0 = A =0.24m v = φ = t =0 t cos x = 0.24 2 π 振动方程为： t =0.5s ( ) × cos x = 0.24 2 π 0.5 cos = 0.24 π 0.25 × =0.17m 2 = 0.24 结束 返回

π π π π π ω =0.5s t 2 cos ( ) a = 0.5 A = 0.17 1 4 = 0.419m/s = f ma = × a = 0.5 ω A × = 0.17 1 4 π 2 = 0.419m/s 2 = f ma = 10×10- 3×(-0.419) = -0.419×10- 3 N ( ) cos = 0.24 0.12 2 π t = 1 ( ) cos 2 π t = 2 π t 3 = t 3 2 s 结束 返回

π π π ω ω A v sin = ( ) 2 t 0.24 = 3 2 sin =-0.326m/s 1 2 E mv = = 1 2 × = 3 π 2 sin =-0.326m/s 1 2 E mv k = = ×10×10-3×(0.326)2 1 2 =5.31×10- 4 J 1 2 E kx P = 1 2 m = ω x × = ×10×10-3 1 2 ×(0.12)2 ( ) π =1.77×10- 4 J E k = p + =7.08×10- 4 J 结束 返回

15-4 一物体放在水平木板上，此板沿 水平方向作简谐振动，频率为2Hz，物体与 板面间的静摩擦系数为0·50。问: 15-4 一物体放在水平木板上，此板沿 水平方向作简谐振动，频率为2Hz，物体与 板面间的静摩擦系数为0·50。问: (1)要使物体在板上不致滑动，振幅的最 大值为若干? (2)若令此板改作竖直方向的简谐振动， 振幅为0.05m，要使物体一直保持与板接触 的最大频率是多少? 结束 返回

π ω ω (1)为使物体和板不发生相对滑动，由最 大静摩擦力带动物体和板一起振动,所以有： mg = ma A m = g A = 2 ( × =0.031m = 0.5×9.8 结束 返回

π π ω ω ω n (2)物体作垂直振动时有： N mg N mg = ma 为使物体不脱离板必须满足 N N =0 在极限情况时有： ≥ N =0 在极限情况时有： mg = ma m ω A 2 ∴ g ω A = m g ω A 2 = m n 2 1 π g A = =2.2Hz 2 1 π 9.8 = 5.0×10-2 结束 返回

15-5 在一平板上放质量为m =1.0kg的 物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周 期为T =O.5s，振幅A=O.O2m。试求: (1)在位移最大时物体对平板的工压力； (2)平板应以多大振幅作振动才能使重物 开始跳离平板。 m 结束 返回

π ω ω ω ω (1)当物体向上有最大位移时有： N mg x o N mg = ma a A = ( ) m N g = A ( ) 2 = ( ) m N g = ω A 2 ( ) = 2 0.5 π 1.0× 9.8 0.02× =6.64N 当物体向下有最大位移时有： N mg = ma m a m ω A 2 = + ( ) m N g = ω A 2 =1.0(9.8+3.16) =12.96N 结束 返回

π ω ω (2)当物体向上脱离平板时有： N mg x o mg = m A g = A ( ) =0.062m = 9.8 4 返回 2 结束 返回

m/min匀速下降时，机器发生故障，钢丝 绳突然被轧住。此时， 钢丝绳相当于劲度系 数 k = 5.78×1O6 N/m 的弹簧。求因重物的 15-6 图示的提升运输设备，重物的质 量为1.5×1O4kg，当重物以速度v = l5 m/min匀速下降时，机器发生故障，钢丝 绳突然被轧住。此时， 钢丝绳相当于劲度系 数 k = 5.78×1O6 N/m 的弹簧。求因重物的 振动而引起钢丝绳内 的最大张力。 m 结束 返回

ω ω ω ω ω ω 解：取物体突然停止时的位置作为坐 标的原点（物体的静平衡位置），并以此 时刻作为计时零点。 mg T t =0： x =0 v =0.25m/s = ω v k = ω m ω A 2 + = x v T m 2 mg = A ω + T m 2 mg = A ω + m mg = ω v + mg = m k v =1.5×104×9.8+0.25 5.78×106×1.5×104 =2.21×105 N 结束 返回

15-7 一落地座钟的钟摆是由长为 l 的轻 杆与半径为 r 的匀质圆盘组成，如图所示， 如摆动的周期为1s，则 r 与 l 间 的 关系如 何? r l 结束 返回

» » 解： q sin r l q mg q M mg r l sin ( ) + = q mg r l ( ) + J r m + = 2 + = 1 l ( ) 2 d M J = q dt q r mg m l 2 ( ) + = 1 d dt + q r g l 2 ( ) =0 d dt 结束 返回

π π ω ω ω + q r g l ( ) =0 d dt + q =0 d dt 比较上两式得到： = r g l ( ) + = 2 由： = r g l 2 ( ) + = 1 可得 r 与 l 的关系式： r 2 =0 g l + 6 π 4 lr 8 返回

. ω 15-8 如图所示，两轮的轴互相平行，相 距为2d，其转速相同，转向相反，将质量为 m 的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的 15-8 如图所示，两轮的轴互相平行，相 距为2d，其转速相同，转向相反，将质量为 m 的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的 摩擦系数均为m ，当木板偏离对称位置后， 它将如何运动?如果是作简谐振动，其周期 是多少? 2d ω 1 2 C . 结束 返回

. 解： o N f g m x N g m + = f = N x d ( ) + N = f = N 从上述四式解得： x d ( ) C . o N 1 2 f g m x N g m 1 + = 2 f m 2 = N x d ( ) + N 1 = 2 f m 1 = N 从上述四式解得： x d ( ) g m 2d = N 1 + = N 2 x d ( ) g m 2d x d ( ) g m 2d = f 1 + = f 2 x d ( ) g m 2d 结束 返回

π π ω ω x d ( ) g m 2d = f + = f x d ( ) g m 2d d = f m x t d = m x t 1 + = f 2 x d ( ) g m 2d d = f 2 1 m x t d = m x t 2 + ( ) g 2d + =0 g d m x t 2 = ω 2 g d m = T ω π 2 = g d m π 2 结束 返回

15-9 如图所示，轻质弹簧的一端固定， 另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量 为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下 15-9 如图所示，轻质弹簧的一端固定， 另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量 为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下 自由振动。已知弹簧的劲度系数为k,滑轮半 径为R 转动惯量为J。 (1)证明物体作简谐振动; (2)求物体的振动周期； (3)设t = 0时，弹 簧无伸缩，物体也无 初速，写出物体的振 动表式。 M k m 结束 返回

解： g T m T x o b 在静平衡时有： T b k = T b k = g m =0 T = g m b k R =0 T m k J k m g T 2 m 静平衡位置 T 2 1 x o b 在静平衡时有： T b k 1 = T b k 2 = 1 g m =0 T 2 = g m b k R =0 T 2 1 结束 返回

ω a g T m T x o b 取静平衡位置为坐标原点 x 在任意位置时有： T b k ( ) + = x J + d x =0 t 2 m T 2 1 静平衡位置 x o b 取静平衡位置为坐标原点 x 在任意位置时有： T b k 1 ( ) + = x J 2 + d x =0 t kx m R a 2 d x = R t a J R = T 2 1 ω = J 2 + k m R 结束 返回

π π π π ω ω = J + k m R = T 2 + = 2 J k m R 由初始条件： x = g m b k =0 t v =0 t v =0 = A g m k = φ π 得： 振动方程为： + J 2 k m R coc x = g t π 结束 返回

π 4 γ V m p = S T 15-10 如图所示，绝热容器上端有一截面积 为S 的玻璃管，管内放有 一质量为m 的光滑小球 15-10 如图所示，绝热容器上端有一截面积 为S 的玻璃管，管内放有 一质量为m 的光滑小球 作为活塞。容器内储有体积为V、压强为p 的某种 气体，设大气压强为p0 。开始时将小球稍向下移， 后放手，则小球将上下振动。如 果 测出小球作简 谐振动时的周期 T，就可以测定气体的比热容比热 容比γ。试证明 ： π 4 γ V m p 2 = S T (假定小球在振动过程中， 容器内气体进行的过程可看 作准静态绝热过程) 结束 返回

p mg x o 解：在静平衡时： g m + = S p 当小球下降 x (任意位置)时： + d x t m = S p mg p 1 mg x o 解：在静平衡时： 静平衡位置 g m + = S p 任意位置 当小球下降 x (任意位置)时： + d x t 2 m = S p mg 1 由上两式可得到： d x t 2 m = S p 1 设过程是绝热的，所以： = V γ p 1 V x 1 = S 1 ( ) = V γ p x S 结束 返回

» ( ) = p V x S ( ) = p V x S = p V x 1 S V x S < + = 1 V x S + 1 γ ∵ + = 1 V γ x S ... ∴ + 1 γ V x S » 1 = p V γ x S = p + 1 γ V x S 结束 返回

π π ω ω ω p = + γ V x S d x t m = S p 前面已得到： = d x t m = S p + γ V x + 1 p = + γ V x S d x t 2 m = S p 1 前面已得到： = d x t 2 m = S p 1 + γ V x + = d x t 2 m p S γ V = ω 2 m p S γ V = ω m p S γ V 2 = T ω m p S γ V 2 π π 4 γ V m p 2 = S T 结束 返回

为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。 在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为 p，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活 15-11 1660年玻意耳把一段封闭的气 柱看成一个弹簧，称为“空气弹簧”如图所 示，有一截面积为S 的空心管柱，配有质量 为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。 在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为 p，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活 塞将作上下振动，求系 统的固有角频率。 可利用这空气弹簧 作为消振器。 p h m 结束 返回

o p mg 解：在静平衡时： x g m + = S p 当活塞下降 x (任意位置)时： x + d t m = S p mg p 1 mg 解：在静平衡时： 静平衡位置 x g m + = S p 任意位置 当活塞下降 x (任意位置)时： x + d t 2 m = S p mg 1 由上两式得到： d x t 2 m = S p 1 设过程是等温的 V p 1 = V h = S p 1 = h x ( ) S V 1 h x ( ) = S 结束 返回

» ω p = h x ( ) S p = h x ( ) p = x ( ) h 1 p x ( ) h 1 + ( ) h x < ∵ d x t 2 m = S p 1 d x t 2 m = S p ( ) h 1 + d x t 2 m = S p h + m = S p h ω = m h g + S p 结束 返回

π 15-12 设想沿地球直径凿一隧道，并设 地球为密度ρ=5.5×l03kg/m3的均匀球体。 试证: 15-12 设想沿地球直径凿一隧道，并设 地球为密度ρ=5.5×l03kg/m3的均匀球体。 试证: (1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作 简谐振动； (2)物体由地球表面落至地心的时间为 π ρ 3 G t = 4 1 式中G是引力常量。 (提示，物体在地球内部所受引力的计算， 与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似) 结束 返回

ò ò π π π π π π F G m r = M 解：由万有引力定律： 和静电场类似，引入万有引力场场强 K m K = F G r 2 解：由万有引力定律： 和静电场类似，引入万有引力场场强 K m K = F G r = M 2 和静电场类似，引入引力场的高斯定理 = G r M 2 π 4 . ò = K S d π 2 r 4 = G M π 4 在地球内部作一半径为 r 的高斯面 ρ = G π 4 3 r . . ò = K S d π 2 r 4 π ρ = G 4 r 3 K 得到该处的场强： 结束 返回

π π π π π π π π ω ω ρ = G 4 r 3 K = m ρ G 4 r 3 d x t m = = F m K + ρ 2 m = = F m K + ρ G π 4 r 3 d t 2 = = ω ρ G π 4 3 = T ω π 2 = π ρ G 3 ρ G π 4 3 = 2 = t T 4 = π ρ G 3 4 1 3×3.14 6.67×10-11×5.5×103 = 4 1 =1267s 结束 返回

有一小珠。试求在Rω2>g的情形下， (1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆 心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示); 的角速度ω绕其竖直的直径旋转，圆环上套 有一小珠。试求在Rω2>g的情形下， (1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆 心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示); (2)小珠在平衡位置 附近作小振动的角频 率。 结束 返回

ω ω2 ω2 ω 解：(1)在平衡位置时 q N mg F mg = Ncosq0 Nsinq0 = mR sinq0 g = cosq0 (2)当小球偏离平衡位置时 + = q q0 Δ 小球除了受正压力N，重力作用mg 外， 还受到一惯性力作用 ω mR sinq 2 F I = 结束 返回

» » ω ω ω dv = mR sinq cosq mg m dt d = mR dt q = d dt q sinq cosq g R 2 mg m dt d = mR dt q 2 = d dt q 2 sinq cosq ω g R Δ q = d dt 2 sin(q0 + ) ( cos(q0 + ω g R Δ q sin(q0 + ) Δ q 因为 很小 + Δ q sin(q0 + ) cosq0 sinq0 » Δ q cos(q0 + ) sinq0 cosq0 » 将这两式代入上式可得： 结束 返回

ω ω ω ω ω ω = ( ) cos q0 1 g + cosq0 R R 1 2 g ( ) + = R g = = d dt Δ sinq0 ω g R + cosq0 sinq0 Δ q ( ) g = cosq0 sinq0 ω 2 R ( ) g + cosq0 sin q0 ω 2 ( cos q0 R ) Δ q = 2 ( ) cos ω q0 1 g + cosq0 R R 1 2 ω 4 g ( ) + = R 2 ω 4 g = 结束 返回

棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴oo´ 作小角度的摆动，试测定其振动周期。 15-14 一长为 l 质量为m的均匀细棒， 用两根长为L的细线分别拴在棒的两端，把 棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴oo´ 作小角度的摆动，试测定其振动周期。 2 L l 结束 返回

» » » j j j j j j j j 解：当棒偏转一个角度j 时 2 q L l 2 q L l 2 q L l 1 F mg tg = 2 q = 1 mg 2 L j l 1 mg 2 q » = mg 4 L j l F T mg q M × = 2 F l = mg 4 L l 2 j = F l = 2 j t d J M J 2 = 1 m 12 l 2 = 1 m 12 l j t d mg 4 L 结束 返回

π π ω ω j j = 1 m 12 l t d mg 4 L + t d = 3 g L = g L 3 = T 2 = 2 g L ω = g L 3 = T ω π 2 = π 2 g L 3 结束 返回

15-15 一质量为M的盘子系于竖直悬 挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为 k 现有 一质量为m的物体自离盘 h 高处自由落下掉 在盘上，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时 作为计时起点，求盘子 的振动表式。(取物体 掉在盘子后的平衡位置 为坐标原点，位移以 向下为正，) M m h 结束 返回

ω 解：设盘子挂在弹簧下的静平衡位置为x01 M g x k = 当物体落入盘上后新的平衡位置为x02 m ( ) + M g x k = o x h x0 系统将以此平衡位置 为中心进行振动。 振动的圆频率ω为： ω = m + M k 返回

设碰撞时刻(t=0)盘的位 M m x02 x01 o x h x0 置为x0 ( ) = x = M g k m ( ) + = m g 02 01 = M g k m ( ) + = m g k 碰撞是完全弹性的，所以： 2 m = gh ( ) + M v 2 m = gh ( ) + M v 得： 结束 返回

ω x = m g k 2 m = gh ( ) + M v A + = x v + = m g k ghm ( ) M + = m g k = m g k 2 m = gh ( ) + M v ω A 2 + = x v + = m g k 2 ghm ( ) M + = m g k 2 kh ( ) M 1 结束 返回

ω ω x = m g k 2 m = gh ( ) + M v = m + M k = tg φ x v = 2 m gh ( ) + M = m g k 2 m = gh ( ) + M v ω = m + M k = tg φ ω x v = 2 m gh ( ) + M g k . = 2 kh m ( ) + M g + = m g k 2 kh ( ) M 1 x cos t tg 结束 返回

的劲度系数为k，所系物体的质量为M，振幅 为A。有一质量为m的小物体从高度h处自由 下落。当振子在最大位移处，物体正好落在 15-16 一个水平面上的弹簧振子，弹簧 的劲度系数为k，所系物体的质量为M，振幅 为A。有一质量为m的小物体从高度h处自由 下落。当振子在最大位移处，物体正好落在 M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、 振幅和振动能量有何 变化？如果小物体是 在振子到达平衡位置 时落在M上，这些量 又怎样变化? m o h M x = A 结束 返回

π π π ω ω ω ω = M k 解： (1)弹簧振子的圆频率为： m o h M x = A 当物体m落下时 振子的速度v1= 0 = A 当物体m落下时 振子的速度v1= 0 1 = ω A 2 + x v 当物体m落下后 ω = m + M k 1 系统的圆频率为： 系统的振动周期为： 1 = T ω π 2 = m + M k π 2 > T = M k π 2 返回

π ω ω ω 系统的振 1 2 kA = E = 1 2 kA E 动能量为： (2)当振子在平衡位置时m 落下,由动量守恒 = M k + v = v A ω = M 2 m ( ) + v = M m ( ) + A k 2 ω A + = v ω = m + M k 2 1 2 = m + M k T π 1 结束 返回

ω ω = v M m ( ) + A k = m + M k v A = = M m ( ) + A k = m + M A > 1 2 v M m ( ) + A k ω = m + M k 2 1 2 v ω A = × = M m ( ) + A k = m + M A > 1 2 kA = E 1 2 = kA m + M E > 1 2 kA = 结束 返回

I =2×10-3 kg·m/s。设摆角向右为正。如以 刚打击后为t =0，求振 动的初相位及振幅； (2)若冲量是向左的， 15-17 一单摆的摆长l =1m，摆球质量 m =0.01kg。开始时处在平衡位置。 (1)若给小球一个向右的水平冲量 I =2×10-3 kg·m/s。设摆角向右为正。如以 刚打击后为t =0，求振 动的初相位及振幅； (2)若冲量是向左的， 则初相位为多少? m l q 结束 返回

π π ω ω 解： q = φ = 2 > d q t t = 由动量原理： m l q I m = v I m = v l = d q = φ = 2 π > d q t t = 由动量原理： m l q I m = v I m = v l = d q t m l = ω q m I m l = ω q g l I m = = 2×10-3 0.01×1 1 9.8 = 6.39×10-2rad =3.660 φ = 2 π 若冲量向左，则： 结束 返回

15-18 一弹簧振子由劲度系数为k 的弹 簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶 板相连，如图所示。开始时物块静止，一颗 质量为m、速度为v0的子弹由下而上射入物 块，并留在物块中。 (1)求振子以后的振 动振幅与周期； (2)求物块从初始位 置运动到最高点所需的 时间。 M x02 x01 o x x0 m + 结束 返回

ω 解：在初始位置 + M x02 x01 o x x0 m Mg x k = m ( ) + M g x k = = m k g = x 10 = m ( ) + M g x k 20 = = m k g = x 02 01 (1) 由动量守恒 = m v ( ) + M = m v ( ) + M 得到： ω = m + M k 振子的频率为： 结束 返回

ω ω x = m k g = m v ( ) + M = m + M k A + = x v ( ) + = m k g v M . + = m k g = m v ( ) + M ω = m + M k ω A 2 + = x v ( ) + = m k g 2 v M . + m k g v 2 ( ) M 1 = 结束 返回

π π ω ω ω ω x = m k g = m v ( ) + M = m + M k = tg φ x v = m + M k v . = m k g = m v ( ) + M ω = m + M k = tg φ ω x v = m + M k v . g = v g m + M k + = ω t φ Φ 2 π = v g m + M k 1 tg = ω t φ 2 π v g m + M k 1 tg = t 结束 返回

15-19 一弹簧振子作简谐振动，振幅A =0.20m，如弹簧的劲度系k =2.0N/m，所 系物体体的质量m =0.50kg。试求: (1)当动能和势能相等时，物体的位移 多少？ (2)设t =0时，物体在正最大位移处，达 到动能和势能相等处所需的时间是多少？ (在一个周期内。) 结束 返回

ω ω ω ω ω 解：设谐振动方程为： φ A x t cos ( ) + = = t 时刻，物体在正方向最大处 = φ = m k = = t 时刻，物体在正方向最大处 = φ ω = m k = 2 0.5 = 2 s-1 A=0.2m 2 x t cos = 0.2 1 2 E m v k = 2 sin A 1 m = ω t 1 2 E k x p = 2 cos A 1 m = ω t E k = p 当 = sin ω t 2 cos 结束 返回

π π π π π π ω ω ω + = t 4 2 k = sin t cos + = t 4 2 k + = 4 2 k + = 8 =0,1,2,3 k 当 = t 8 π 3 5 7 , t =0.39s,1.2s,2s,2.7s x cos = 0.2 4 π =0.141m 结束 返回

体经过平衡位置向右运动时速度v =1.0m/s， 周期T =1.0s。求再经过1/3 s时间，物体的 动能是原来的多少倍。弹簧的质量不记。 15-20 一水平放置的弹簧振子，已知物 体经过平衡位置向右运动时速度v =1.0m/s， 周期T =1.0s。求再经过1/3 s时间，物体的 动能是原来的多少倍。弹簧的质量不记。 结束 返回

π π ω ω ω ω 解：经平衡位置向正方向运动时， 最大动能为 E = A 1 经 T/3 后， 物体的相位为 6 ( ) + 1 2 m = 2 A 1 ω 经 T/3 后， 物体的相位为 6 π ( ) + 1 2 E m v k = sin A ω t φ ( ) 2 sin A 1 m = ω 6 π 1 4 2 A m = ω . E m = 1 4 结束 返回

k=100N/m，摩擦系数m 满足mg =2m/s2， 今把物体拉伸Δl =0.07m然后释放，由静止 15-21 在粗糙的水平面上有一弹簧振子， 已知物体的质量m=1.0kg，弹簧的劲度系数 k=100N/m，摩擦系数m 满足mg =2m/s2， 今把物体拉伸Δl =0.07m然后释放，由静止 开始运动如图所示。求物体到达最左端B点所 需的时间。 m k Δl b 结束 返回

m k b A C B 解： A→B 应用功能原理 1 2 mg l b k Δ ( ) + = 1 2 k ( ) = b l Δ + 1 结束 返回

mg m 1 2 = ( ) b l Δ k g m = b l Δ k 2 = 0.07 100 2×2×1 =0.03m 结束 返回

m k b A C B A→C 应用功能原理 1 2 mg l x m Δ ( ) + = v k = 2 v g l x Δ ( ) + 结束 返回

v = g x + k ( ) l Δ 令： 2 g = A = 2×2 =4 k m B = =100 100 1 ( ) l Δ g k C = = 100×(0.07)2 4×0.07 0.21 dx dt 2 v = x + A B C 结束 返回

ò ò dx dt v = x + A B C dx dt < 由于 dx dt = x + A B C dt dx = x + A 2 v = x + A B C dx dt < 由于 dx dt = x + 2 A B C dt dx = x + 2 A B C t = dt ò dx x + 2 A B C = ò l Δ b 结束 返回

ò dx x + A B C = t B BC x A 2 1 sin = 4 + arc l Δ B BC A 2 1 sin 4 + 结束 返回

π π C = 0.21 l Δ B BC A 2 1 sin + arc t = B = 100 4 = A B BC A 2 1 sin × 2×100×0.07 100 ( ) 10 1 sin arc 0.21 4 2 × 2×100×0.03 100 ( ) 10 1 arc sin(1)-arc sin(-1) = 10 1 = 10 1 2 π ( ) π = 10 =0.314s 结束 返回

在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中， 它的振动周期为T=0.5πs；求当速度为0.01 m/s时，物体在阻尼介质中所受的阻力。 15-22 质量为m =5.88kg的物体，挂 在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动。 在无阻尼情况下，其振动周期为T =0.4πs； 在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中， 它的振动周期为T=0.5πs；求当速度为0.01 m/s时，物体在阻尼介质中所受的阻力。 结束 返回

π π π π π ω ω ω 解： β T = β T = β T = T = = 2 0.4 0.5 = 25 16 =3(s-1 ) = π 2 ω β T = π 2 ω β T = π T 2 = π = 2 π 0.4 0.5 = 25 16 =3(s-1 ) = r β 2 m =2×3×5.88 =3.53(kg.s-1) F = r v =3.5×1.0×10-2 = 0.353N 结束 返回

15-23 一摆在空中振动，某时刻，振 幅为 A0= 0.03m，经过t1=10s后，振幅变 15-23 一摆在空中振动，某时刻，振 幅为 A0= 0.03m，经过t1=10s后，振幅变 为 A1=0.01m，问:由振幅为 A0时起，经多 长时间，其振幅减为 A2=0.003m ？ 结束 返回

解： A e = = lnA t 1 = ln t A 1 = ln 10 0.03 0.01 =0.110 1 = ln t A = 1 β A e = t = lnA β t 1 = ln β t A 1 = ln 10 0.03 0.01 =0.110 1 2 = ln β t A = 1 0.11 ln 0.03 0.003 =20.9(s) 结束 返回

15-24 试用最简单的方法求出下列两组 简谐振动合成后所得合振动的振幅： 第一组： x = 0.05cos(3t+π/3)m x = 15-24 试用最简单的方法求出下列两组 简谐振动合成后所得合振动的振幅： 第一组： 0.05cos(3t+π/3)m x 1 = 0.05cos(3t+7π/3)m x 2 = 第二组： 0.05cos(3t+π/3)m x 1 = 0.05cos(3t+4π/3)m x 2 = 结束 返回

π π 解： x = 0.05cos(3t+π/3)m (1) 0.05cos(3t+7π/3)m 7 Δ Φ 2 = 3 A = A1+A2= 0.05 + 0.05 =0.10(m) 0.05cos(3t+π/3)m x 1 = 0.05cos(3t+4π/3)m 2 (2) = 3 π 4 Φ Δ A = A1-A2= 0 结束 返回

15-25 一质点同时参与两个在同一直线 上的简谐振动: x = 0.04cos(2t+π/6)m x = 15-25 一质点同时参与两个在同一直线 上的简谐振动: 0.04cos(2t+π/6)m x 1 = 0.03cos(2t-5π/6)m x 2 = 试求其合振动的振幅和初相位(式中x以m 计, t 以s计) 。 结束 返回

π = 解： φ2 A1 A cos ( ) + = A2 φ1 =0.01m arc tg + = φ1 A1 sin φ2 A2 cos 3 0.04× 1 = π 6 ( ) 3 arc tg = 1 结束 返回

15-26 有两个同方向的简谐振动，它们 的表式如下： x = 0.05cos(10t-3π/4)m x = (1)求它们合成振动的振幅和初相位； (2)若另有一振动 0.07cos(10t+φ0)m x 3 = 问φ0为何值时x1+x3的振幅为最大； φ0为何值时x2+x3的振幅为最小。 (式中 x 以 m计; t 以 s计) 结束 返回

解： (1) φ2 A1 A cos ( ) + = A2 φ1 = =0.078m arc tg + = φ1 A1 sin φ2 A2 0.05× 0.06× ( ) arc tg = 11 ( ) = 84048´ 结束 返回

(2) φ3 = 3 4 π φ3 = 3 4 π π 4 φ3 = φ3 = 5 4 π 结束 返回

15-27 两个同方向的简谐振动，周期相 同，振幅为A1=0.05m， A2=0.07m，组成 一个振幅为A=0.09m的简谐振动。求两个分 15-27 两个同方向的简谐振动，周期相 同，振幅为A1=0.05m， A2=0.07m，组成 一个振幅为A=0.09m的简谐振动。求两个分 振动的相位差。 结束 返回

解： φ2 A1 A cos ( ) + = A2 φ1 φ2 A1 A cos ( ) + = A2 φ1 = =0.1 φ2 ( ) = (0.09)2-(0.05)2- -(0.05)2 2×0.05×0.07 =0.1 φ2 ( ) = φ1 84016´ 结束 返回

式中t以s为单位。求各分振动的角频率和合 15-28 当两个同方向的简谐振动合成为 一个振动时，其振动表式为： x =Acos2.1t cos50.0t 式中t以s为单位。求各分振动的角频率和合 振动的拍的周期。 结束 返回

π π ω ω ω ω ω ω ω 解： x =Acos2.1t cos50.0t 2 A x cos + = t 两式比较得： =2.1 =50 + ω 2 1 =47.9 ω 1 =52.1 ω 2 拍频为： =4.2 ω 2 1 = 2 T ω 1 π = 4.2 2 π =1.5(s) 结束 返回

15-29 三个同方向、同频率的谐振动为 x = 0.1cos(10t+π/6)m x = 0.1cos(10t+π/2)m x = 15-29 三个同方向、同频率的谐振动为 0.1cos(10t+π/6)m x 1 = 0.1cos(10t+π/2)m x 2 = 0.1cos(10t+5π/6)m x 3 = 试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。 结束 返回

π π 解： = A 0.1 = 5 6 φ3 2 φ2 φ1 A φ2 + = A ´ = A + φ1 A ´ x o φ3 + = A 0.2 = 2 π φ 0.2cos(10t+π/2)m x = 结束 返回

15-30 一质点同时参与两个互相垂直的 简谐振动，其表式分别为: φ0 x A cos(ωt+ ) = φ0 y 2A cos(2ωt+ 15-30 一质点同时参与两个互相垂直的 简谐振动，其表式分别为: A cos(ωt+ x = φ0 ) 2A cos(2ωt+ y = φ0 ) 若φ0 =π/4,试用消去法求出合振动的轨 迹方程，并判断这是一条什么曲线。 结束 返回

π π ω ω ω ω ω ω ω 解： A x t cos ( ) + = 4 2 t cos ( ) = sin ω 2 ( ) 1 = (1) y = ω A t cos ( ) + 2 π 2 ( ) = ω A t sin = 2 ω t cos sin A . = A 2 y ω cos t sin (2) 结束 返回

ω ω ( ) A x 1 = t cos sin (1) = A 2 y cos t sin (2) 由式(1)、(1)得： 1 2 A + = y = 4 + 1 2 A y 4 A x 2 = y 结束 返回

15-31 质量为0.1kg的质点同时参与互 相垂直的两个振动，其振动表式分别为： x = 0.06cos(πt/3 +π/3)m y = 求: (1)质点的运动轨迹; (2)质点在任一位置所受的作用力。 结束 返回

π π π ω ω ω ω 解：(1) 处 6 把时间零点取在y轴振动的初相为 t ´ = 1 2 即： 两振动方程改写为： A cos ( + = 2 π x t ´ sin = ω A t ´ ω B cos = y t ´ B =0.03 A =0.06 = 3 π ω 其中 + A x 2 = B y 1 + x 2 = y 1 (0.06)2 (0.03)2 返回

π ω ω ω ω ω A B r t sin cos + = ´ (2) d A B r t sin cos + = ´ d A B r j ´ (2) d ω A B r t i sin cos + = j ´ d ω A B r t i sin cos = j 2 ´ = ω r 2 F = m d r t 2 ´ = ω r 2 m 9 π × = 0.1 2 r = 0.11 r 结束 返回

15-32 一质点同时作两个相互垂直的振 动。设 此 两 振动的振幅相同，频率之比为 2：3，初相都为零，求该质点的运动轨。 结束 返回

ω ω ω ω ω ω ω 2 A x cos = t 解：设 3 A y sin = t 4 ( ) = A cos t y 改写： ( 1 x 改写： x + = ω 2 cos t A 2A = ω cos t x + A 2A y = x + A 2A 4 . 3 ( ) = x + A 2A 3A 2 ( ) = x + A 2A 2 结束 返回

15-33 设一质点的位移可用两个简谐振 动的叠加来表示: x A sinωt+ B sin 2ωt = 15-33 设一质点的位移可用两个简谐振 动的叠加来表示: A sinωt+ B sin 2ωt x = (1)写出这质点的速度和加速度表式； (2)这质点的运动是不是简谐振动? (3)画出其 x ~ t 图线。 结束 返回

ω ω ω 解： + 2 B sin t A x = t d x + 2 B cos A = t d x 2 B sin A = 4 x y 结束 返回

我们想使LC振荡的频率与旋钮旋转的角度而 作线性变化，如果旋钮旋转1800角，振荡频 15-34 把一个电感器接在一个电容器 上，此电容器的电容可用旋转旋钮来改变。 我们想使LC振荡的频率与旋钮旋转的角度而 作线性变化，如果旋钮旋转1800角，振荡频 率就自2.0×105Hz变到4.0×105Hz ，若L= 1.0×10-3H，试绘出在转角1800的范围内， 电容C与角度的函数曲线。 结束 返回

π π 解： f Δ q 与 成正比 L =1.0×10-3H 1 C = 4 f L 1 LC = 2 f 2.0×105 C(pf) f (Hz) 00 q 2.5×105 450 3.0×105 900 3.5×105 1350 4.05×105 1800 640 410 280 210 160 500 400 300 200 100 o C(pf) q 结束 返回

ε . 15-35 如图所示，将开关K揿下后，电 容器即由电池充电，放手后，电容器即经由 线圈L 放电。 (1)若L=0.010H，C =1.0mF,ε =1.4V， 求L中的最大电流(电阻极小，可略); (2)当分布在电容和电感间的能量相等时， 电容器上的电荷为多少? (3)从放电开始到电荷 第一次为上述数值时， 经过了多少时间? . K L C ε 结束 返回

ε ω . = 1 LC L 解：(1) C = L L x = 1.0×10-6 = 0.01 =100(Ω) I x = = 1.4 m ε x = L = 1.4 100 =1.4×10-2 ( A ) (2)当磁场能量和电场能量相等时： 2 C = m I L 1 Q = m I Q LC 2 1 W = 2 C = 1 Q m W B E = 此时： = Q 2 m LC 2 m I = 结束 返回

ε ε π π C L x = I x = I = C L = Q 2 C 2 = C 2 = I L LC = 2 I =1.4×1.0× m ε x = L I m = C L ∵由前面得到 = Q 2 m ∴ C ε 2 = C 2 = m I L LC = 2 m I =1.4×1.0× 10-6 2 =1.0×10-6 (C) (3) = Q m φ 2 T π cos + t t = 0 当 = Q m φ = = Q m 2 T π cos t ∴ 结束 返回

π π π π π = Q 2 T cos t = Q 2 将式 代入得到： 2 Q = T cos t 4 + 2 T t = n m 2 T π cos t = Q 2 m 将式 代入得到： 2 m Q = T π cos t 4 π + 2 T t = n (n=0,1,2,…) 最少时间为： T t 2 π = 8 1 LC π = 4 × 0.01×1×10-6 =7.5×10-5 (s) 结束 返回

. 15-36 图中16mF的电容器已被充电至 l00V，而1mF的电容器未被充电，试具体地 说明如何适当应用开关K1，及K2，将1mF电 C1 C2 结束 返回

π π π π 解：首先将K1闭合1/4周期 4 T = 2 LC 10×16×10-6 = 2 =0.02(s) 经过T/4后C1上电量全部放完变为电感线 圈内的磁场能量 W m = 2 I L 1 2 C = m 1 Q 2 1 U C = 然后迅速闭合K2同时打开K1 ，待K2闭合 1/4周期 4 T 2 = π LC 10×10-6 = 2 π =0.005(s) L上的磁场能量又转换为C2上的电场能量 返回

L上的磁场能量又转换为C2上的电场能量 W 2 U C 1 = = 2 I L 1 2 U C = U C = = 10×10-6 10-6 e 2 U C 1 = = 2 m I L 1 2 1 U C = 2 U C = 1 = 10×10-6 10-6 ×100 =400(V) 结束 返回

15-37 由一个电容C =4.0mF 的电容器 和一个自感为L=10mH的线圈组成的LC电 路，当电容器上电荷的最大值Q 0= 6.0×10-5 C时开始作无阻尼自由振荡。试求： (1)电场能量和磁场能量的最大值; (2)当电场能量和磁场能量相等时，电容 器上的电荷量。 结束 返回

ω ω ω ω ω 解： Q q t cos = sin Q I t = W = 2 C Q 36×10-10 2×4×10-6 = cos = sin ω Q I t = W emax = 2 C Q 36×10-10 2×4×10-6 = =4.5×10- 4 (J) = W mmax W = 2 C q e = 2 C Q ω t cos W m = 2 L I 1 = 2 L 1 sin ω Q t sin ω t 2 = C Q 结束 返回

ω ω ω ω ω W = 2 C Q t cos W sin t = C Q W = 当 时： = t cos 2 m = t cos e = 2 C Q ω t cos W m sin ω t 2 = C Q W = e m 当 时： = ω t cos 2 m = ω t cos 2 sin ω Q q t cos = =6×10- 2× 2 m 4.3×10- 5 (C) = m 结束 返回

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ε σ ò ò π π µ » γ π ρ τ δ . ¹ ¶ n ω ∝ a l h = = = = = = = = = = = = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 3 π 2 3 π 2 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × φ w + t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞ µ » ¹ £ ³ ¶ sin cos tg ctg sec csc § Å ´ ¥ A B C I J D E F G H K L M N O P Q R S T U V W a b c d e f g h i j k m n o p l q r s t u v w y z ε ò γ π ρ σ τ a δ z h q l m n φ ψ ω c β ξ Φ Ψ Ω ∝ o Δ Σ h a b c d x y z X Y Z ò a i j k b c d 2 3 . ∵ ∴ m m + = > < ( ) ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ×