固定收益证券定价

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现金流贴现法 现金流贴现法/收入资本化法/绝对定价法 贴现率的选择 风险匹配：货币的时间价值＋风险溢酬 现金流结构匹配 即期利率：匹配现金流发生的时点 到期收益率：匹配到期期限和现金流结构（金额分配和频 率）

固定利率债券定价 要点3： 要点1：贴现率的选择 要点2：贴现率的单位与时间（期数）的单位匹配 理论定价VS市场价格 风险匹配:货币的时间价值＋风险溢酬 现金流匹配 即期利率：匹配现金流期限 到期收益率：匹配到期期限和现金流结构（每期金额分配和现金流 频率） 要点2：贴现率的单位与时间（期数）的单位匹配 要点3： 理论定价VS市场价格 隐含的到期收益率VS要求收益率

固息债价格特征(I) 固息债价格和到期收益率（YTM）一一对应且反向变动 国债是一个可定价的资产。 利率都以年利率表示

固息债价格特征（II） 平价债券、溢价债券与折价债券 到期时债券价格都将回归面值 仅仅是时间的推移也可能导致债券价格的变动 给定债券，利率的变化和时间的推移可能导致债券 价格变化

固息债价格特征(III)(IV) 不同的债券，利率提高降低时，价格变动幅度不同 债券 面值 息票率 期限 付息频率 A 100 3% 5 1 B 5% C 6 债券 YTM=4% YTM＝3% YTM=2% A 95.55 -4.45% 100.00 104.71 +4.71% B 104.45 -4.31% 109.16 114.14 +4.56% C 94.76 -5.24% 100 105.60 +5.60%

固息债价格特征（V） 贴现率下降导致的债券价格上升的幅度大于贴 现率上升相同基点导致的债券价格下降的幅度 价格－收益率曲线是非线性且凸向原点的

利率上升，债券价格一定下跌吗？

浮动利率债券定价 若浮动利率债券的票面利率是相应现金流的合 理贴现率 如果浮动利率始终等于该债券的合理贴现率， 浮动利率债券每次重新浮动实际上都等于重新 发行了一个新的浮动利率债券 浮动利率债券的利率风险（价格波动）很小

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远期利率协议（ Forward Rate Agreement ） 远期利率协议（ FRA ）是买卖双方同意从未 来某一商定的时刻开始的一定时期内按协议利 率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义 本金的协议。

FRA 特征 在 T 时刻进行现金结算，结算金额为利差的贴 现值。 名义本金 头寸：Long / Short Long: Fixed-rate payer 报价： 3 × 9 LIBOR 7.86

FRA 定价：远期利率 远期利率（如何进行套利操作？） 期限结构与远期利率

FRA 定价：FRA 的价值 I 考虑时刻 t 的两个远期利率协议，它们的名义 本金均为 A ，约定的未来期限均为 T* − T ， 第一个 FRA 的协议利率采用市场远期利率 rF ，第二个 FRA 的协议利率为 rK 。 t 时刻第二个 FRA 与第一个 FRA 的价值差异 就是 T*时刻不同利息支付的现值

FRA 定价：FRA 的价值 II 由于第一个 FRA 中的协议利率为理论远期利 率，其远期价值应为零。则第二个 FRA 多头 的价值 该公式适合于任何协议利率为 rK 的远期利率 协议价值的计算。

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远期/期货定价： 远期/期货价格 反证：如果市场价格不满足公式？

远期/期货定价： 远期/期货价值

非完美市场上的定价：存在交易成本 存在交易成本： 假定每一笔交易的费率为𝑌 ，那么不存在套利机会 的远期价格就不再是确定的值，而是一个区间

非完美市场上的定价：借贷存在利差 借贷存在利差： 如果用 𝑅 𝑏 表示借入利率，用 𝑅 𝑙 表示借出利率，对非 银行的机构和个人，一般是 𝑅 𝑏 > 𝑅 𝑙 。这时远期和 期货的价格区间为：

非完美市场上的定价：存在卖空限制 现货持有者不一定套利，同时存在卖空限制： 因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有 的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。 假设由于卖空限制增加的成本比例为𝑋 ，那么均衡 的远期和期货价格区间应该是：

非完美市场上的定价：综合考量 如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区 间为： 完美市场可以看成是𝑋 = 0, 𝑌 = 0, 𝑅 𝑏 = 𝑅 𝑙 =𝑅 的特殊情况。

同一时刻远期（期货）价格与标的资产现货价格的关系 同一时刻的两者价格高低取决于持有成本 标的资产的现货价格对同一时刻的远期（期货） 价格起着重要的制约关系（案例3.7 ） 远期（期货）与现货的相对价格只与持有成本有 关，与预期未来现货的涨跌无关。 价格的领先滞后关系（价格发现功能）。

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利率互换的含义 互换（ Swaps ）是两个或两个以上当事人按照商 定条件，在约定的时间内交换一系列现金流的合 约。 互换可以看作是一系列远期的组合 在利率互换中，双方同意在未来的一定期限内根 据同种货币的相同名义本金交换现金流，其中一 方的现金流根据事先选定的某一浮动利率计算， 而另一方的现金流则根据固定利率计算。

案例：兴业－花旗利率互换协议 协议时间：2007年1月18日 交易双方：兴业银行与花旗银行 利率互换期限：自2007.1.18起期限为一年 约定：每三个月交换一次现金流如下

案例：兴业－花旗利率互换协议 协议时间：2007年1月18日 交易双方：兴业银行与花旗银行 利率互换期限：自2007.1.18起期限为一年 约定：每三个月交换一次现金流如下 兴业银行 花旗银行 2828

利率互换的分解 考虑一个 2011 年 9 月 1 日生效的两年期利 率互换，名义本金为 1 亿美元。甲银行同意支 付给乙公司年利率为 2.8% 的利息，同时乙公 司同意支付给甲银行 3 个月期 LIBOR 的利息 ，利息每 3 个月交换一次。

利率互换的分解——不考虑名义本金 固定端2.8%，浮动端3M LIBOR，假设事后利率 互换多头（甲银行）每100美元名义本金的现金 流如下： 日期 LIBOR(%) （1） 浮动端现金流 （2） 固定端现金流 （3） 净现金流 （4） 2005.9.1 2.13   2005.12.1（I） 2.47 ＋0.53 －0.7 －0.17 2006.3.1（II） 2.67 ＋0.62 －0.08 2006.6.1（III） 2.94 ＋0.67 －0.03 2006.9.1（IV） 3.27 ＋0.74 ＋0.04 2006.12.1（V） 3.64 ＋0.82 ＋0.12 2007.3.1（VI） 3.86 ＋0.91 ＋0.21 2007.6.1（VII） 4.12 ＋0.97 ＋0.27 2007.9.1（VIII） 4.75 ＋1.03 ＋0.33

利率互换的分解——考虑名义本金 日期 LIBOR(%) （1） 浮动端现金流 （2） 固定端现金流 （3） 净现金流 （4） 2005.9.1 2.13 －100  ＋100 0  2005.12.1（I） 2.47 ＋0.53 －0.7 －0.17 2006.3.1（II） 2.67 ＋0.62 －0.08 2006.6.1（III） 2.94 ＋0.67 －0.03 2006.9.1（IV） 3.27 ＋0.74 ＋0.04 2006.12.1（V） 3.64 ＋0.82 ＋0.12 2007.3.1（VI） 3.86 ＋0.91 ＋0.21 2007.6.1（VII） 4.12 ＋0.97 ＋0.27 2007.9.1（VIII） 4.75 ＋1.03 ＋0.33 －100

利率互换的复制定价 本质：未来现金流的组合 复制定价 浮息债与固息债的多空组合 一系列远期利率协议的组合

利率互换价值：债券组合复制定价法 互换多头价值 互换空头价值 固息债定价 标准浮息债定价

利率互换价值：FRA组合复制定价法 利率互换可视为普通FRA的组合，因此其价值 等于FRA价值之和

举例 假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构 支付 3 个月期的 LIBOR ，同时收取 4.8% 的年 利率（ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美 元。互换还有 9 个月的期限。目前 3 个月、 6 个 月和 9 个月的 LIBOR （连续复利）分别为 4.8% 、 5% 和 5.1% 。 试计算此笔利率互换对该金融 机构的价值。

2019/7/24 债券组合复制定价法 k = 120 万元，因此 因此，对于该金融机构而言，此利率互换的价值为 9975.825 − 10000 = −24.175万元 对该金融机构的交易对手来说，此笔利率互换的价 值为正，即 24.175 万元。

同一个例子 假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支 付 3 个月期的 LIBOR ，同时收取 4.8% 的年利率 （ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美元。互 换还有 9 个月的期限。目前 3 个月、 6 个月和 9 个 月的 LIBOR （连续复利）分别为 4.8% 、 5% 和 5.1% 。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值 。 首先可得 3 个月计一次复利的 4.8% 对应的连 续复利利率为

两者的内在一致性 利率互换的定价，等价于计算债券组合的价值 ，也等价于计算 FRA 组合的价值。 由于都是列（ 4 ）现金流的不同分解，这两 种定价结果必然是等价的。 注意这种等价未考虑信用风险和流动性风险 的差异。FRA组合的信用风险和流动性风险与 利率互换本身更一致。

合理互换利率的确定 合理的互换利率就是使得利率互换价值为零的 固定利率，即

例子 假设在一笔 2 年期的利率互换协议中，某一 金融机构支付 3 个月期的 LIBOR ，同时每 3 个 月收取固定利率（ 3 个月计一次复利），名义本 金为 1 亿美元。 目前 3 个月、6 个月、 9 个月、 12 个月、 15 个月、 18 个月、 21 个月与 2 年的贴现率（连续 复利）分别为 4.8% 、 5% 、 5.1% 、5.2% 、 5.15% 、 5.3% 、 5.3% 与 5.4% 。第一次支付的 浮动利率即为当前 3 个月期利率 4.8% （连续复 利）。试确定此笔利率互换中合理的固定利率。

令 k = 543 美元，即固定利率水平应确定为 5.43%（3个月计一次复利）。

合理互换利率 合理的互换利率应使得利率互换协议价值为零 现实中的互换利率是市场以一定的计息频率为 基础、就特定期限形成的互换中间利率。在市 场有效时，市场的真实互换利率就是理论上合 理的互换利率。

互换利率与互换即期利率 互换利率并非即期利率，而是一个平价到期收 益率（加权平均值） 息票剥离法可得到互换即期利率

互换收益率曲线 次贷危机前业界多采用 LIBOR 作为贴现率为 互换定价，这时浮动端为LIBOR的互换利率就 是与 LIBOR 期限结构对应的平价到期收益率 互换利率与国债平价到期收益率之差被称为互 换价差（ Swap Spread ），主要体现了银行间 市场的信用风险与流动性风险 互换收益率曲线就是一个与LIBOR对应的平价 到期收益率曲线（ the Term Structure of Swap Rate or the Swap Curve ）

互换收益率曲线优势 相对LIBOR最长1年，互换曲线能够提供更多 到期期限的LIBOR利率信息。 特定期限的互换利率具有延续性，几乎每天都 有特定期限的互换利率。 互换是零成本合约，其供给是无限的，不会受 到发行量的制约和影响。

LIBOR即期利率期限结构 LIBOR最长期限1年 利率互换是有凸性的产品 欧洲美元期货是无凸性的产品 LIBOR互换的信息功能：次贷危机之前很多产品 用LIBOR作为贴现率，因此LIBOR互换向市场提 供了重要的LIBOR贴现率信息

无套利定价 衍生品的无套利定价/相对定价/风险中性定价 期货等于人们对未来价格的预期值吗？ 假设黄金现货价格1000美元，市场普遍认为1年后 黄金现货价格会涨到2000美元，请问：1年期黄金 期货目前的价格应为1000美元左右还是2000美元左 右？

当前远期（期货）价格与标的资产预期的未来现货价格的关系

期货价格与期货市场的本质 在一个无套利的有效市场中，标的资产和其冗余 证券期货之间具有一体化性质，期货的预期收益 率总是正好等于标的资产的风险溢酬。 转移风险和管理风险是期货市场的最本质功能。

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利率衍生品VS债券衍生品 标的可交易VS 标的不可交易 标的可交易：风险中性期望值的无风险现值 标的不可交易：通过相应的可交易资产

欧式债券期权：基于Black模型

风险中性定价法 一定条件下，连续对冲可实现无风险组合，从而适用风险 中性定价法 在风险中性测度下，假设到期债券价格对数正态分布 风险中性定价：风险中性期望值的无风险现值

债券期权定价公式

一个常用公式 对于任意服从对数正态分布的随机变量 X T 和 常数 K，在任意测度下都有

课后阅读：证明

利率上下限期权：基于LFM模型

利率顶（Caps） 子期权的到期回报

单个利率顶的定价 在特定的远期测度下，假设到期实际即期 利率服从如下对数正态分布 则利率顶定价公式为

单个利率底的定价 在特定的远期测度下，假设到期实际即期 利率服从如下对数正态分布 则利率底定价公式为

欧式互换期权：基于LSM模型

欧式互换期权（Swaption） 利率顶和利率底：一系列期权的组合 利率互换期权：一系列现金流组合的期权 到期回报：一个到期标的利率

欧式互换期权的定价 在对应的互换测度下，假设到期实际互换利率服 从如下对数正态分布 则欧式互换期权定价公式为

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CDS定价 CDS卖方现值 CDS买方现值 没有违约： 有违约： CDS费率：Q为风险中性违约概率