2．1.2 演绎推理
【课标要求】 1．理解演绎推理的意义． 2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系． 【核心扫描】 1．了解演绎推理的含义并能利用“三段论”进行简单的推 理．(重点) 2．对演绎推理的考查．(重点)
自学导引 1．演绎推理 (1)定义：从 ，推出某个特殊情况下的结论．我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是从 的推理． (3)模式：三段论． 一般性的原理出发 一般到特殊
想一想：演绎推理的结论一定正确吗？ 提示 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．
2．三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式 (1)三段论的结构：①大前提——已知的 ；②小前提——所研究的 ；③结论——根据一般原理，对 做出的判断． (2)“三段论”的表示：①大前提—— ；②小前提—— ；③结论—— . (3)三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元素都具有性质P，②S是M的一个子集，③那么S中所有元素也都具有性质P. 一般原理 特殊情况 特殊情况 M是P S是M S是P
想一想：如何分清大前提、小前提和结论？ 提示 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．
名师点睛 1．关于演绎推理的理解 (1)①演绎的前提是一般性的原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中； ②演绎推理是一种收敛性的思考方法，少创造性，但具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
(2)对于“三段论”应注意两点： ①“三段论”的模式包括三个判断：第一个判断是大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫做小前提，它指出了一种特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断——结论． ②应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
2．合情推理与演绎推理的关系 合情推理 演绎推理 归纳推理 类比推理 推理形式 一般→特殊 结论 类比推理和归纳推理的结论都是不一定正确的，有待于进一步证明 在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的
题型一 用三段论的形式表示演绎推理 【例1】 把下列演绎推理写成三段论的形式． (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
[思路探索] 解答本题的关键在于分清大、小前提和结论，还要准确利用三段论的形式． 解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃， 大前提 在一个标准大气压下把水加热到100 ℃， 小前提 水会沸腾． 结论 (2)一切奇数都不能被2整除， 大前提 2100＋1是奇数， 小前提 2100＋1不能被2整除． 结论 (3)三角函数都是周期函数， 大前提 y＝tan α是三角函数， 小前提 y＝tan α是周期函数． 结论
规律方法 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
【变式1】 试将下列演绎推理写成三段论的形式： (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 ，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行； (2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热； (3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
解 (1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 小前提：海王星是太阳系里的大行星； 结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行． (2)大前提：所有导体通电时发热； 小前提：铁是导体； 结论：铁通电时发热． (3)大前提：一次函数都是单调函数； 小前提：函数y＝2x－1是一次函数； 结论：y＝2x－1是单调函数．
(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q； 结论：数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
题型二 演绎推理的应用 【例2】 正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G. (1)求证：A1B⊥AD； (2)求证：CE∥平面AB1D. [思路探索] (1)证明A1B⊥AB1，A1B⊥GD即可； (2)证明四边形CEGD为平行四边形即可．
证明 (1)连接BD. ∵三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱， ∴A1ABB1为正方形， ∴A1B⊥AB1. ∵D是C1C的中点， ∴△A1C1D≌△BCD， ∴A1D＝BD， ∵G为A1B中点，∴A1B⊥DG， 又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D. 又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.
规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略． (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．
题型三 合情推理、演绎推理的综合应用 【例3】 如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影． (1)求证：O为△BCD的垂心； (2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三 棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明． 审题指导 (1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的垂心． (2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．
【题后反思】 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
方法技巧 数形结合思想在演绎推理中的应用 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．
单击此处进入 活页规范训练