6.1.1 控制系统校正的概念 控制系统是由为完成给定任务而设置的一系列元件组成，其中可分成被控对象与控制器两大部分。 设计控制系统的目的，在于将构成控制器的各元件和被控对象适当地组合起来，使之能完成对控制系统提出的给定任务。通常，这种给定任务通过所谓的性能指标来表达。这些性能指标常常与控制精度、阻尼程度和响应速度有关。

闭环系统的控制部分一般包括测量元件、比较元件、放大元件、执行元件等。 加热电阻丝 -220V 调压器 热电偶 给定信号 比较 电压 放大器 功率 执行 电动机 减速器 u2 u1 + u 恒温箱自动控制系统

测量、给定、比较、放大及执行元件与被控对象一起构成系统的基本组成部分(固有部分)，固有部分除增益可调外，其余结构和参数一般不能任意改变。 由固有部分组成的系统往往不能同时满足各项性能的要求，甚至不稳定。尽管增益可调，但大多数情况下，只调整增益不能使系统的性能得到充分地改变，以满足给定的性能指标，因此需要对原系统的性能进行改善。

校正(补偿)：通过改变系统结构，或在系统中增加附加装置或元件(校正装置)，对已有的系统（固有部分）进行再设计使之满足性能要求。 校正是控制系统设计的基本技术，控制系统的设计一般都需通过校正这一步骤才能最终完成。从这个意义上讲，控制系统的设计本质上是寻找合适的校正装置。

当将上面选定的控制器与被控对象组成控制系统后，如果不能全面满足设计要求的性能指标时，在已选定的系统不可变部分基础上，还需要再增加些必要的元件，使重新组合起来的控制系统能够全面满足设计要求的性能指标。这就是控制系统设计中的综合与校正问题。 本章主要讨论单输入单输出定常系统的校正与设计问题。

6.1.2、控制系统的校正方式 控制系统校正元件的形式及其在系统中的位置，以及它和系统不可变部分的联接方式，称为系统的校正方案。在控制系统中，经常应用的基本上有两种校正方案，即串联校正与反馈校正。 如果校正元件与系统不可变部分串接起来，如图6-1所示，则称这种形式的校正为串联校正。

图6-1 串联校正系统方框图 图中G0(s)与Gc(s)分别为不可变部分及校正元件的传递函数。

如果从系统的某个元件输出取得反馈信号，构成反馈回路，并在反馈回路内设置传递函数为Gc(s)的校正元件，见图6-2，则称这种校正形式为反馈校正。 图6-2 反馈校正系统方框图

应用串联校正或（和）反馈校正，合理选择校正元件的传递函数，可以改变控制系统的开环传递函数以及其性能指标。一般来说，系统的校正与设计问题，通常简化为合理选择串联或（和）反馈校正元件的问题。

串联校正和反馈校正，是控制系统工程中两种常用的校正方法，在一定程度上可以使已校正系统满足给定的性能指标要求。然而，如果控制系统中存在强扰动，特别是低频强扰动，或者系统的稳态精度和响应速度要求很高，则一般的反馈控制校正方法难以满足要求。目前在工程实践中，例如在高速、高精度火炮控制系统中，还广泛采用一种把前馈控制和反馈控制有机结合起来的校正方法。这就是复合控制校正。

复合校正中的前馈装置是按不变性原理进行设计的，可分为按扰动补偿和按输入补偿两种方式。 按扰动补偿的复合控制系统如图6-3所示。 图6-3 按扰动补偿的复合控制系统

图6-3 按扰动补偿的复合控制系统 图中，N(s)为可量测扰动，G1(s)和G2(s)为反馈部分的前向通路传递函数，Gn(s)为前馈补偿装置传递函数。复合校正的目的，是通过恰当选择Gn(s)，使扰动N(s)经过Gn(s)对系统输出C(s)产生补偿作用，以抵消扰动N(s)通过G2(s)对输出C(s)的影响。

图中，G(s)为反馈系统的开环传递函数，Gr(s)为前馈补偿装置的传递函数。 按给定补偿的复合控制系统如图6-4所示。 图6-4 按给定补偿的复合控制系统 图中，G(s)为反馈系统的开环传递函数，Gr(s)为前馈补偿装置的传递函数。

前馈补偿装置Gr(s)的存在，相当于在系统中增加了一个输入信号Gr(s)R(s)，其产生的误差信号与原输入信号R(s)产生的误差信号相比，大小相等而方向相反。由于G(s)一般均具有比较复杂的形式，故在工程实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿条件，或者在对系统性能起主要影响的频段内实现近似全补偿，以使Gr(s)的形式简单并易于物理实现。

综上所述，控制系统的校正与设计问题，是在已知下列条件的基础上进行的，即 （1）已知控制系统不可变部分的特性与参数； （2）已知对控制系统提出的全部性能指标。 根据第一个条件初步确定一个切实可行的校正方案，并在此基础上根据第二个条件利用本章介绍的理论与方法确定校正元件的参数。

1、控制系统的设计方法 分析法（试探法） 直观、设计的校正装置物理上易于实现。 综合法（期望特性法） 根据性能指标要求确定系统期望的开环特性，再与原有开环特性进行比较，从而确定校正方式、校正装置的形式及参数。 分析法或者综合法都可应用根轨迹法和频率响应法实现

2、控制系统设计的性能指标 稳态精度：稳态误差ess 过渡过程响应特性 时域：上升时间tr、超调量Mp、调节时间ts 频域：谐振峰值Mr、增益交界频率c、谐振 频率r、带宽b 相对稳定性：增益裕量Kg、相位裕量(c) 扰动的抑制：带宽（如截止带宽）

6.2 基本控制规律分析 6.2.1 比例（P）控制规律(Proportion) 控制系统中的控制器，常常采用比例、微分、积分（ PID：Proportional Integral Derivative）等基本控制规律，或采用这基本控制规律的某些组合，如比例加微分、比例加积分、比例加积分加微分等复合控制规律，以实现对被控对象的有效控制。 6.2.1 比例（P）控制规律(Proportion) 具有比例控制规律的控制器称为P控制器。P控制器的输出信号m(t)成比例地反应其输入信号ε(t)，即 （6-1）

其中Kp为比例系数，或称P控制器的增益。控制器的方框图如图6-5所示。

P控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。在控制系统中，增大比例系数可减小系统的稳态误差以提高其控制精度。 对于单位反馈系统，0型系统响应阶跃R0·1(t)的稳态误差与其开环增益K近似成反比，即

这里开环增益K中包含P控制器的增益Kp。Ⅰ型系统响应匀速信号R1(t)的稳态误差与开环增益Kv成反比，即 而在Kv中无疑将包含P控制器的增益Kp 。由此可见，具有P控制器的系统，其稳态误差可通过P控制器的增益Kp来调整。

-180° -90° 0°  () L() dB -20 -40 未校正 已校正  (c)  ('c) c 'c  (rad/s)

若原系统频率特性为L0()、0()，则加入P控制串联校正后： Kp>1 开环增益加大，稳态误差减小； 幅值穿越频率增大，过渡过程时间缩短； 系统稳定程度变差。只有原系统稳定裕量充 分大时才采用比例控制。 Kp<1 与Kp>1时，对系统性能的影响正好相反。

6.2.2 比例加微分（PD）控制规律(Differential) 具有比例加微分控制规律的控制器称为PD控制器。PD控制器的输出信号m(t)既成比例地反应输入信号ε(t)，又成比例地反应输入信号ε(t)的导数，即 （6-2）

其中Kp为比例系数，τ为微分时间常数。 Kp 与τ二者都是可调的参数。PD控制器的方框图如图6-6所示。

微分控制规律由于能反应输入信号的变化趋势，故在输入信号的量值变得太大之前，基于其敏感变化趋势而具有的预见性，可为系统引进一个有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而提高系统的稳定性。 通过图6-7所示PD控制器对于匀速信号的响应过程，可清楚地看到微分控制规律相对比例控制规律所具有的预见性，其中微分时间常数τ便是微分控制规律超前于比例控制规律的时间。

图6-7 微分控制规律的预见性

-180° 0° 90° L()/dB () -20 -40 已校正 PD校正装置 未校正 c  (c)  ('c) 1/Td -90° -270° -60 +20 'c  (rad/s)

相位裕量增加(因为c()>0)，稳定性提高； Kp＝1时，系统的稳态性能没有变化； 高频段增益上升，可能导致执行元件输出饱 和，并且降低了系统抗干扰的能力。 综上所述，PD控制通过引入微分作用改善了系统的动态性能。 但须注意，微分控制仅仅在系统的瞬态过程中起作用，一般不单独使用。

6.2.3 积分（I）控制规律(Integral) 具有积分控制规律的控制器称为控制器。I控制器的输出信号m(t)成比例地反应输入信号ε(t)的积分，即 （6-3）

或者说，输出信号m(t)的变化速率与输入信号ε(t)成正比，即 （6-4） 其中Ki是一个可调的比例系数。 图6-9 I控制器的方框图

由于I控制器的作用在于对输入信号ε(t)进行积分，故在输入信号ε(t)消失后，其输出信号m(t)有可能是一个不为零的常量。 由于存在积分控制，PI控制器具有记忆功能。 t t0 Kp u(t) 只有P控制 PI控制 1  (t)

在控制系统中，采用I控制器可以提高系统的型别，以消除或减弱稳态误差，从而使控制系统的稳态性能得到改善。

但需注意，如果系统不可变部分已经含有串联积分环节，见图6-10，则对这类系统仅采用单一的积分控制规律，表面上可将原系统提高到Ⅱ型，似可收到进一步改善控制系统稳态性能之效，但由于这时的特征方程代表不稳定系统，所以在这类系统中采用单一的I控制器是不能保证闭环稳定性的。在这类系统中，只有采用比例加积分控制规律才有可能达到既使闭环系统稳定又能提高其型别的目的。

图6-10 含I控制器的I型系统方框图

6.2.4 比例加积分（PI）控制规律 具有比例加积分控制规律的控制器，称为PI控制器，其输出信号m(t)同时成比例地反应输入信号ε(t)和它的积分，即 （6-5）

其中Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，二者都是可调参数。PI控制器的方框图如图6-11所示。

PI控制器对单位阶跃信号的响应如图6-12所示。由于PI控制器的输出不仅反应输入信号而且还反应输入信号的积分，所以当输入信号具有阶跃形式时，PI控制器的输出信号将具有随时间线性增大的特性，见图6-12。 图6-12 PI控制器的输入、输出信号

Kp＝1 系统型次提高，稳态性能改善。 相位裕量减小，稳定程度变差。 已校正 未校正 L()/dB -20 c 1/Ti -40 L()/dB -20 -40 已校正 PI校正装置：Kp＝1 未校正 c 1/Ti -180° -90° 0° () 1(c) 2(c)  (rad/s) 系统型次提高，稳态性能改善。 相位裕量减小，稳定程度变差。

Kp< 1 -270° -90° 0° L()/dB () -20 -40 已校正 未校正 c  (c)  ('c) -270° -90° 0° L()/dB () -20 -40 已校正 未校正 c  (c)  ('c) -180° -60 'c 1/Ti  (rad/s) PI校正装置：Kp< 1

系统型次提高，稳态性能改善 系统从不稳定变为稳定 c减小，快速性变差 显然，由于 ，导致引入PI控制器后，系统的相位滞后增加，因此，若要通过PI控制器改善系统的稳定性，必须有Kp< 1，以降低系统的幅值穿越频率。 综上所述：PI控制器通过引入积分控制作用以改善系 统的稳态性能，而通过比例控制作用来调节积分作用所导致相角滞后对系统的稳定性所带来的不利影响。

6.2.5 比例加积分加微分（PID）控制规律 比例加积分加微分控制规律是一种由比例、积分、微分基本控制规律组合而成的复合控制规律。这种组合具有三个基本控制规律各自的特点。具有比例加积分加微分控制规律的控制器称为PID控制器。PID控制器的运动方程为 （6-6）

其中ε(t)、m(t)分别为PID控制器的输入、输出信号。PID控制器的传递函数由式（6-6）求得为 （6-7）

PID控制器的方框图如图6-14所示。 图6-14 PID控制器的方框图 PID控制器的传递函数可改写成

当4τ/Ti <1时，上式还可写成 （6-8） 式中

从式（6-8）看出，比例加积分加微分控制规律除可使系统的型别提高一之外，还将提供两个负实零点。与比例加积分控制规律相比，它不但保留改善系统稳态性能的特点，还由于多提供一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面具有更大的优越性。这也是比例加积分加微分控制规律在控制系统中得到广泛应用的主要原因之一。

-270° -90° 0° L()/dB () -180°  (rad/s) 90° -20 已校正 未校正 c  (c)  ('c) PID校正装置 -40 -60 'c 1/Ti 1/Td +20

PID控制器综合了比例控制、积分控制和微分控制各自的优点：

6.3 常用校正装置及其特性 6.3.1 超前校正装置 相位超前校正装置可用如图6-15所示的电网络实现，它是由无源阻容元件组成的。 设此网络输入信号源的内阻为零，输出端的负载阻抗为无穷大，则此相位超前校正装置的传递函数将是： 图6-14 PD控制器的方框图

PD校正装置的特性 采用PD校正装置进行串联校正时，整个系统的开环增益将下降 i 倍。为满足稳态精度的要求，必须提高放大器的增益予以补偿。若该增益衰减量已通过放大器进行了补偿，则PD校正装置的频率特性可写为： 转折频率： ,

Lc()/dB c()  (rad/s) 0° 40° 80° -30 -20 -10 i = 20 i = 2 i = 5 i = 10 20lgi +20 m 1=1/T1 2=i /T1 m 10lgi

从Bode图可见，PD校正装置在整个频率范围内都产生相位超前，故也称之为相位超前校正。其超前的相位角为： 令： 可求出最大超前相角对应的频率： 易见： 在对数坐标中，则有：

即：m是两个转折频率1和2的几何中心。 最大超前相角： 由图可见，i越大，m就越大，即相位超前越多。当i等于20时，所能获得的最大超前角约为65。 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 30 40 50 60 70 i m°

相位超前校正装置具有高通滤波特性，i 值过大对抑制系统高频噪声不利，因此，在选择i值时，还需要考虑系统高频噪声的问题。为了保持较高的系统信噪比，通常选择i＝10左右较为适宜，此时，所能获得的最大相位超前角约为55。

6.3.2 滞后校正装置 相位滞后校正装置可用图6-19所示的RC无源网络实现，假设输入信号源的内阻为零，输出负载阻抗为无穷大，可求得其传递函数为： 图6-19 相位滞后RC网络

Lc()/dB c()  (rad/s) 0° -40° -60° -20° 'm 1=1/(jT2) 2=1 /T2 m -20 -30 -10 -80° 20lgi j = 2 10lgi j = 5 j = 10 j = 20

由Bode图可见，该校正装置在整个频率范围内相位都滞后，故PI 校正也称为相位滞后校正。其滞后的相角为： 令： 可求出最大滞后相角对应的频率为： 即：m是两个转折频率1和2的几何中心。

此外，滞后校正装置实质上是一个低通滤波器，它对低频信号基本上无衰减作用，但能削弱高频噪声，j 越大，抑制噪声能力越强。通常选j = 10左右为宜。

6.3.3 滞后—超前校正装置 相位滞后—超前校正装置可用图6-22所示的网络实现。设此网络输入信号源内阻为零，输出负载阻抗为无穷大，则其传递函数为 图6-22 相位滞后—超前RC网络

迟后-超前校正装置的特性 迟后部分 超前部分 迟后-超前网络特点： 幅值衰减，相角超前

-30 -20 -10 -80° -40° 0° 40° 80° Lc()/dB c()  (rad/s) 1/(T2) 1 /T2 1 /T1  /T1 20  = 2  = 5  = 10  = 20

由Bode图可见，PID校正装置频率特性的前半段是相位滞后部分，由于具有使增益衰减的作用，所以允许在低频段提高增益，以改善系统的稳态性能。而频率特性的后半段是相位超前部分，可以提高系统的相位裕量，加大幅值穿越频率，改善系统的动态性能。

6.4 采用频率法进行串联校正 6.4.1 超前校正 超前校正的基本原理是利用超前校正网络的相角超前特性去增大系统的相角裕度，以改善系统的暂态响应。因此在设计校正装置时应使最大的超前相位角尽可能出现在校正后系统的剪切频率处。

用频率特性法设计串联超前校正装置的步骤大致如下： （1）根据给定的系统稳态性能指标，确定系统的开环增益K； （2）绘制在确定的K值下系统的伯德图，并计算其相角裕度 ； （3）根据给定的相角裕度 ，计算所需要的相角超前量 其中 上式中的 ，是因为考虑到校正装置影响剪切频率的位置而留出的裕量；

（4）令超前校正装置的最大超前角 ，并按下式计算网络的系数 值 如 大于60º，则应考虑采用有源校正装置或两级网络； （5）将校正网络在 处的增益定为10lg(1/a)，同时确定未校正系统伯德曲线上增益为-10lg(1/a)处的频率即为校正后系统的剪切频率 ；

（6）确定超前校正装置的交接频率 （7）画出校正后系统的伯德图，验算系统的相角稳定裕度。如不符要求，可增大 值，并从第3步起重新计算； （8）校验其他性能指标，必要时重新设计参量，直到满足全部性能指标。

1 10 100 1000 520 -20dB/dec -40dB/dec -60/dec 控制系统开环频率响应Bode图

（3）根据 计算相位超前参数a （4）根据未校正系统的开环幅频特性计算相 位超前参数a （4）对应的相角频率为 由于 故取

6.4.2 滞后校正 串联滞后校正装置的作用有二，其一是提高系统低频响应的增益，减小系统的稳态误差，同时基本保持系统的暂态性能不变。其二是滞后校正装置的低通滤波器特性，将使系统高频响应的增益衰减，降低系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。

用频率特性法设计串联滞后校正装置的步骤大致如下： （1）根据给定的稳态性能要求去确定系统的开环增益； （2）绘制未校正系统在已确定的开环增益下的伯德图，并求出其相角裕度 ； （3）求出未校正系统伯德图上相角裕度为 处的频率 。其中 是要求的相角裕度，而 则是为补偿滞后校正装置在 处的相角滞后。 即是校正后系统的剪切频率；

（4）令未校正系统的伯德图在 处的增益等于 ，由此确定滞后网络的 值； （5）按下列关系式确定滞后校正网络的交接频率 （6）画出校正后系统的伯德图，校验其相角裕度； （7）必要时检验其他性能指标，若不能满足要求，可重新选定 值。 但 值不宜选取过大，只要满足要求即可，以免校正网络中电容太大，难以实现。

6.4.3 滞后—超前校正 由于串联滞后校正的作用在于提高系统的稳态控制精度，以及串联超前校正主要用来改善系统的动态性能，所以从系统的频率响应角度来看，前者用来校正开环频率响应的低频区特性，而后者的作用在于改变中频区特性的形状与参数，因此确定两者参数的过程基本上可以彼此独立地进行，其中关于确定校正参数的步骤和仅采用串联滞后校正或串联超前校正参数，这时的系统开环增益允许采取低于给定性能指标要求的任何值。

在此基础上再根据给定性能指标中的稳态要求确定串联滞后校正参数。需注意，确定串联滞后校正参数时应尽量不影响经串联超前校正系统的动态指标，而在确定串联超前校正参数时应为校正系统的动态指标留有一定裕量，以补偿串联滞后校正降低系统相对稳定性的影响。

串联滞后—超前校正的设计步骤如下： （1）根据稳态性能要求确定开环增益K。 （2）绘制待校正系统的对数幅频特性，求出待校正系统的截止频率 相角裕度 及幅值裕度һ(dB)。 （3）在待校正系统对数幅频特性上，选择斜率从-20dB/dec变为-40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率 。

（4）根据响应速度要求，选择系统的截止频率 和校正网络衰减因子1/α。要保证已校正系统的截止频率为所选的 　，下列等式应成立： （6-21） 式中 ， ；可由待校正系统对数幅频特性的-20dB/dec延长线在 处的数值确定。因此，由式(6-21)可以求出α值。 （5）根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的交接频率。 （6）校验已校正系统的各项性能指标。

6.4.4 按系统期望频率特性进行校正 系统期望特性通常是指满足给定性能指标的系统开环渐近幅频特性 。由于这种特性只通过幅频特性来表示，而不考虑相频特性，故期望特性概念仅适用最小相位系统。 基于系统期望特性确定串联校正参数，通常给定的性能指标除开环增益K等表征系统稳态性能的指标外还有开环频率响应的相角裕度 、剪切频率 、幅值裕度 ，或闭环频率响应的相对谐振峰值 、谐振频率 ，截止频率 等频域指标。在一般破情况下，根据下列频域指标，应用开环频域指标的Bode图确定串联校正参数是很方便。另外，如有必要，还需绘制校正系统的Nichols图，验算闭环系统的频域指标： ， 及 。

根据给定性能指标绘制系统期望特性的步骤如下： （1）根据对系统型别及稳态误差要求，通过性能指标v及开环增益K绘制期望特性的低频区特性。 （2）根据对系统响应速度及阻尼程度要求，通过剪切频率 及相角裕度 ，中频区宽度h及中频区特性的上下限角频率 与绘制期望特性的中频区特性。

为确保系统具有足够的(如+45°左右)相角裕度，取中频区特性斜率等于-20dB/dec。

（4）根据对系统幅值裕度20lgKg及抑制高频干扰的要求，绘制期望特性的高频区特性。一般，为使校正环节具有比较简单的特性以便于实现，要求期望特性的高频区特性在斜率上尽量与满足抑制高频干扰要求的系统不可变部分幅频特性在这一频带里的斜率一致，或使两者的高频区特性完全相同。 （5）绘制期望特性的中、高频区特性间的过渡特性，其斜率一般取-40dB/dec。