政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 課程名稱：應用計量分析--中國財政研究 授課老師：黃智聰 授課內容： 最小平方估計式的性質、 簡單迴歸模型之推論 參考書目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期：2017年3月27日 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 加入誤差項 y：迴歸模型的依變數（dependent variable） 依變數y可以被分解成兩個部分： 1. 規律性的部分：E(y) 不是隨機的 2. 隨機部分：y與 E(y) 之間的差，稱為隨機誤差項e（random error term） e=y-E(y|x)=y-β1 -β2x y=β1 +β2x +e x：獨立變數 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 由誤差項e來說明迴歸模型的假設 1. 對於各個x值來說，y值為y=β1 +β2x +e 2. 隨機誤差e的平均值為 E(e)=0，因為假設E(y) = β1 +β2 x 3. 隨機誤差e的變異數為 Var(e)= 2 =Var(y) 因為y和e只相差一個常數，而此常數不會改變其變異數。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 4. 任何一對隨機誤差ei 和ej 的共變數為 Cov (ei , ej ) =Cov (yi , yj)=0 5. 變數x並非隨機的，且必須至少有2個不同的值。 6. (選擇性的) e值常態地分配於其平均值0的附近 e~N(0, 2 ) 。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 對誤差項e的另一種解釋方式 y 是可以觀察的，e 是無法觀察的。 給予任一個y值，我們可以計算出 e=y -β1 -β2 x e 表示除了x之外，會影響y的其他因素。 在食物支出的例子裡，什麼因素可能會導致支出y與其平均值 E(y|x)之間的不同呢? 1. 在任何經濟模型中，我們想把所有重要且相關的解釋變數都包含在模型裡。 2. 誤差項e包含了任何可能出現的近似誤差，因為我們假設的線性函數形式可能只是實際的近似值而已。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 3. 誤差項包括可能出現於個別隨機行為中的任何情況。對於所有影響個人食物支出的變數之瞭解，可能不足以完全地預測支出。而無法預測之隨機行為的部分，也有可能包含在e裡面。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 估計支出關係的參數 1.我們假設表3.1中的支出資料是隨機變數yt , t=1,…,40，且滿足假設 SR1-SR5。 2.我們把40個資料點記為 (yt ,, xt), 其中t=1,…40，並畫出它們的位置，我們可以得到圖3.6中的散佈圖（scatter diagram）。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 3.估計平均支出線E(y)=β1 +β2 x的位置。我們期望這條線位於所有資料點的中間某處，因為它代表平均的行為。 4.要估計β1 與β2 ， 我們可以簡單的畫出一條通過資料中間的直線，然後用尺衡量其斜率和截距。 問題: 不同的人可能畫出不同的線，而因此缺乏正式的準則。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 方法2：從所得最小的那一個點畫到所得最大那一點。 問題:忽略了其餘38個觀察值確實位置之資訊。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

最小平方原理（The Least Squares Principle） 這個原理主張，為了找出一條適合資料值的直線，我們應該找出一條直線，使得各點到此直線垂直距離之平方和越小越好。 距離的平方可以避免正的距離被負的距離抵消。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 食物支出函數的估計值 估計值的解釋 b2=0.1283 當 x 上升 100, y將會增加大約12.83。 b1=40.7676 當x為零，時y的估計值。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 彈性（elasticity） y=bxb2 logy=logb+b2logx logy=b1+b2logX 彈性: Y變動的百分比 X變動的百分比 = 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 預測（Prediction） 估計的等式可以被用在預測或預言的目的上，將x帶入估計的等式就可以得到y值。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 最小平方估計式為隨機變數 b1和 b2是隨機變數，因為它們的值決定於隨機變數y，而y的值在樣本被收集之前是未知的。 收集資料之後，最小平方估計值即為計算出來的數值。由於它們並非隨機的量，所以不具有統計的性質。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 最小平方估計式的抽樣性質 最小平方估計式 b1 和 b2 為隨機變數，而且它們具有機率分配的特性，因此我們可以在收集任何資料之前研究。 在本節中我們將決定最小平方估計式 b1 與 b2 的平均值及變異數。 真正的參數值,未知 估計式 不偏的 and 兩個假設!!! 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 若E(et)0且E(b2)  2， b2 並非不偏的! et 包含了其他影響 yt 但卻被經濟模型所遺漏的因素。如果我們忽略了任何重要的東西，則我們將可預期 E(et)0 並且E(b2)  2 。 b2 為不偏的這個事實，並未暗示任何一個樣本皆可能有此特性。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 Note: 個別的估計值（數值） b2 可能會接近或遠離 β2 。 但是E(b2)=2 同樣地, 我們可以計算 var(b2) 和 var(b2) 具有相同的平均值但不同的變異數。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

抽樣精確度 （Sampling Precision） 估計式的變異數越小，該估計式的抽樣精確度越高。 1.若 var(y) var(b2) 精確度越小。 2.若 var(x) var(b2) 精確度越高。 3.若 T var(b2) 精確度越高。 4. ΣX2 var (b2) 精確度越小。 5. X＞ 0 Cov(b1,b2) ＜0 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 X X b2 but b1 If X ＜0 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 最小平方估計式的機率分配 若 e～N(0, σ2) 則 b1～N(β1, σ2b1) b2～N(β2, σ2b2) 假設 b1 , b2 ～N 如果假設 SR1~SR5 成立, 且樣本數 T 夠大, 則最小平方估計式的分配會趨近常態分配。 例: 食物支出的資料。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 簡單迴歸模型的推論 b~N(β, σb2 ) ~N(0,1) 卡方隨機變數是在標準常態分配 N(0,1) 隨機變數平方下所產生的。 未知 未知 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 若 Z~N(0,1) 而 V~x2 (m) 且若 Z 和 V 為獨立， 則 P(t≧tc )=P(t≦- tc)=α/2 m 為自由度 T分配是對稱的！！ i=1,2 我們預測的變異數 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 P(- tc ≦t ≦ tc)=1-α P[- tc ≦(b2-2)/SE(b2)≦ tc ]=1-α P[b2- tcSe (b2) ≦β2 ≦ b2+ tcSe(b2) ]=1-α 在區間的兩個端點，和 b2 與 Se(b2) 皆為隨機變數，因為它們的值在取得樣本資料之前都是未知的。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 b2± tcSe(b2) 稱為 β2 的 (1-α) ×100% 的區間估計值，或者相當於所謂的 (1-α) ×100%信賴區間。 所有建立出來的區間中，有 (1-α) ×100% 會包含真正的參數β2。而在任何資料確實收集到之前，我們就已經知道這一點了。 若區間為 [0.0666,0.1900], 則β2 落在這個區間嗎?我們不知道，而且我們永遠都不會知道！！我們知道的是，在得自同一母體的許多隨機樣本資料時，所有建立的區間估計值中，有95％將會包含真正的參數。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

假設檢定（Hypothesis Testing） 假設檢定的組成要素 1. 虛無假設 H0。 2. 對立假設 H1。 3. 檢定統計量。 4. 拒絕域。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 1. H0:β2=c, c 為常數, 並且在迴歸模型中是一個重要的值。 2. H1:β2≠c H1:β2＞c 因為理論上 β2 不能為負值。 H1:β 2＜c 當在 β2 不可能大於c時。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 3.檢定統計量（The test statistic） Ex: H0:β2=c H1：β1≠c 注意：若β2=1，但是須無假設為H0：β2=C，C 1，則 因為 不等於0 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 因此， 並非標準常態分配。且在形成一個隨機變數t時，標準常配分配是必要的。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

拒絕域（The rejection Region） 拒絕域是一個導致虛無假設被拒絕的檢定統計量之數值範圍。 也就是說，拒絕域是當虛無假設為真時，不太可能或發生機率很低的檢定統計量之數的集合。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

雙尾檢定（Two-tailed Test） 要避免說 “我們接受虛無假設”，而應該以 “我們無法拒絕虛無假設” 來替代。這樣的敘述意味著我們正在推論說個虛無假設為真。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

假設檢定的格式（Format for Testing Hypothesis） 決定虛無假設與對立假設。 確立當虛無假設為真時的檢定統計量及它的分配。 選擇 α 並決定拒絕域。 計算檢定統計量的樣本數值。 敘述你的結論。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰 型 I 與 型 II 錯誤 假設檢定的 P 值 1. 利用P值，與顯著水準α的比較，我們可以決定是否該拒絕虛無假設。 2. 假設檢定的拒絕法則：若 P＜α，則檢定的過程會拒絕虛無假設。 食物支出模型的顯著性檢定 1.存在於x 與 y之間的統計的顯著關係。 2.若 α 越有可能拒絕 H0 如何決定 α ？ 0.1, 0.05, 0.01 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

單尾檢定（One-tailed Test） H0:βk=c H1:βk＜c or βk＞c 電腦是以雙尾來計算的 所以若兩尾算出 P=0.08時， 單尾 P=0.04。 所以在兩尾檢定α=0.05時 接受H0。 但是單尾檢定時，拒絕H0。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰