第五章 线性系统的根轨迹法 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析 5.1 根轨迹的基本概念 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

本章重点 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 根轨迹的基本绘制规则 等效传递函数的概念 根轨迹的简单应用 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

5.1 根轨迹的基本概念 一、一个例子 例5-1 解 一单位负反馈系统的开环传递函数为： 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在S平面上的分布情况。 例5-1 解 系统的闭环特征方程： 特征方程的根是： 设 的变化范围是〔0, ∞﹚ 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

性能 当 时, 当 时, 与 为不相等的两个负实根； 当 时， 为等实根； 当 时， 共轭复根。 当 时, 当 时, 与 为不相等的两个负实根； 当 时， 为等实根； 当 时， 共轭复根。 该系统特征方程的根，随开环系统参数k从0变到∞时，在S平面上变化的轨迹如图所示。 性能 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

二、根轨迹与系统性能 稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 动态性能 当 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

三、根轨迹的概念 即： 设系统的开环传递函数为: 为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数) 其中: 可得到系统的闭环特征方程式为: 开环的零点 开环的极点 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。 由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为： 幅值条件: 相角条件: 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程的根——即闭环极点。 存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条件可确定此时系统对应的 值。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

5.2 根轨迹的绘制规则 通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为普通根轨迹（或 180°根轨迹），简称根轨迹。 规则一 根轨迹的起点 当 ,必有 由根轨迹的幅值条件可知： 此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点称为根轨迹的起点。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点 。 规则二 根轨迹的终点 由根轨迹的幅值条件可知： 当 时，必有 此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把开环零点称为根轨迹的终点。 结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点 。 如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n 条根轨迹起始于S平面的无穷远处。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。 规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点） 在s平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由例5-1 看出，系统开环根轨迹增益 （实变量）与复变量s有一一对应的关系。 当 由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。 由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

规则四 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分别为： 则: 即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。 规则四 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分别为： 则: 即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

规则五 渐近线 当开环极点数 n大于开环零点数m时, 系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条, 且它们交于实轴上的一点。 渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为: 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等 （1）根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件： 当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等 得到 所以渐近线的倾角： 因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

（2）渐近线与实轴的交点 幅值条件： 当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成： 上式左边展开： 上式右边展开 当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成： 上式左边展开： 上式右边展开 比较对应 s 幂项系数相等，求得： 所以渐近线相交于同一点 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

例5-2 解 已知系统的开环传递函数,试画出该系统根轨迹的渐近线。 1渐近线：系统有n=4,m=1,n-m=3 三条渐近线与实轴交点位置为： 实轴正方向的交角分别是 渐近线如图所示。 B C A -4 -3 -2 -1 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

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规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点 根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点和会合点处必有闭环特征重根,令闭环特征方程为: 规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点 根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点和会合点处必有闭环特征重根,令闭环特征方程为: 如果令 即可求得 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。 故在重根处有: 因为： 所以： 即： 分离点/会合点: 和 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

事实上，分离点还可由下式确定 因为 即 其中 所以 - 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

一般来说: 如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点)之间；则出现分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。 四重分离点 复数分离点 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

例5-3 解 绘制开环系统传函数为 的单位负反馈系统的(180°)根轨迹。 1）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为： 2）渐近线： 根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当 分别从开环极点 出发， 时趋向无穷远处，其渐近线夹角为： 渐近线与实轴的交点为 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

分离点必位于0至-1之间的线段上，故 为分离点d的坐标。 由上式可求 上式的根为 求分离点： 分离点必位于0至-1之间的线段上，故 为分离点d的坐标。 图形修正 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

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规则七、根轨迹的出射角和入射角 由相角条件可直接得到 入射角： 出射角: 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

规则八 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。 (1) 用 代入特征方程可得 规则八 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。 (1) 用 代入特征方程可得 令此方程中虚部为零，即可求得 根轨迹与虚轴的交点处的频率为 。用 代入实部方程，即可求出系统开环根轨迹临界值 。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

规则九、根轨迹的走向 开环传递函数： 特征方程： 当满足n-m≥2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通常把 称为极点的“重心”。 当n-m≥2满足时，随着Kg增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。 开环传递函数： 特征方程： 当满足n-m≥2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通常把 称为极点的“重心”。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

例 当 Kg变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

规则十、 根轨迹上kg值的计算 根轨迹上任一点S1处的kg可由幅值条件来确定。即 = 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

绘制根轨迹图的法则 序号 内 容 规 则 1 起点终点 起始于开环极点（含无限极点），终止于开环零点（含无限零点）。 2 分支数、 内 容 规 则 1 起点终点 起始于开环极点（含无限极点），终止于开环零点（含无限零点）。 2 分支数、 对称性、连续性 分支数等于开环传递函数的极点数 n（n  m）， 或开环传递函数的零点数 m（m > n）。 对称于实轴且具有连续性。 3 渐近线 n – m条渐近线相交于实轴上的同一点： 坐标为： 倾角为： 4 实轴上的分布 实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

kg计算 序号 内容 规 则 5 分离（会回合）点 实轴上的分离（会合）点 ——（必要条件） 6 出射角 入射角 规 则 5 分离（会回合）点 实轴上的分离（会合）点 ——（必要条件） 6 出射角 入射角 复极点处的出射角： 复零点处的入射角： 7 虚轴交点 （1）满足特征方程 的 值； （2）由劳斯阵列求得（及kg相应的值）； 8 走向 当 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。 9 kg计算 根轨迹上任一点处的kg： 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

例5-4 系统开环传递函数为 试绘制根轨迹图 解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j 开环零点：-2，3个无限零点 (1)渐近线：应有n-m=4 -1=3条渐近线，渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： (2) 实轴上的根轨迹：[0 -2]，[-∞ -3] 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

(3)极点-p3的出射角 ：不难求得极点-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分别 、 、 ,有限零点-z1到－p3的幅角为 所以 同理不难求得极点-p4处的出射角： (4)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ： 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

实部方程： 虚部方程： 解得： 方法二：由劳斯阵列求： 列出劳斯阵列 令s1行为零，即 (舍去) 得Kg =7，再根据 行s2得辅助方程： 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

[S] jω σ -3 -2 -1+j -1-j 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

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5.3 广义根轨迹 例5-5 解 前面介绍的根轨迹绘制法则,只适用于以放大系数 为参量的情况,如果变化参数为其它参数情况将如何处理？ 前面介绍的根轨迹绘制法则,只适用于以放大系数 为参量的情况,如果变化参数为其它参数情况将如何处理？ 例5-5 ,绘制以T为参数的根轨迹。 设某系统的开环传递函数为： 解 根据根轨迹的定义,根轨迹是闭环极点随某个参量变化在s平面上留下的轨迹,故根轨迹上的点满足闭环特征方程 ： 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

具有相同的闭环特征方程,则随T从 变化,其根轨迹 是一样的,我们将具有相同闭环特征方程的开环传递函数称为相互等效的开环传递函数（简称为等效传递函数）。 总有一种等效开环传递函数,可将变化参数位于放大系数 的位置.这时就可利用前面的规则了。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

例5-6 解 绘制 的根轨迹，确定: 为何值系统非振荡稳定,振荡稳定,不稳定? (2) 求使系统闭环主导极点具有阻尼比 ,确定 。 (2) 求使系统闭环主导极点具有阻尼比 ,确定 。 (3) 在该系统中增加一个怎样的环节,可使系统不论 怎样变化都稳定。 (4) 为使系统对速度输入的稳态误差为零,加怎样的环 节可使系统稳定。 (1)①分离点: 解 ②渐近线: 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

③与虚轴交点: ④分离点处 的值 由此可见: 振荡稳定 无振荡稳定 临界稳定 不稳定 (2)在 时,极点为: 代入闭环特征方程: ④分离点处 的值 由此可见: 振荡稳定 无振荡稳定 临界稳定 不稳定 (2)在 时,极点为: 代入闭环特征方程: 解得:s=-0.45+j0.45, 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

(3)增加一零点(s+a)有可能使系统完全稳定,此时渐近线: 否则,在 时,根轨迹有可能与纵轴相交。 (4)如果使系统速度输入误差为零,则系统应是II型的,那么从开环零,极点分布图上可见:应该附加两个零点, 系统才可能完全稳定下来。渐近线: (一般a>0,d>0为好,是最小相位系统) 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

例5-7 解 开环传递函数为： 绘制根轨迹, 并证明有一段根轨迹为圆（a,p为实数)。 根据相角条件可知： 令 两边取正切变换： 令 两边取正切变换： 解此题 圆心 ， 半径 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

下面验证半径是零点到分离点或汇合点的距离： 分离点：由 ，得 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

5.4 零度根轨迹 前面讨论的根轨迹均是满足 的相角条件,此根轨迹称为 根轨迹。 如果系统的开环传递函数的放大系数 为负, 5.4 零度根轨迹 的相角条件,此根轨迹称为 根轨迹。 前面讨论的根轨迹均是满足 如果系统的开环传递函数的放大系数 为负, 设开环传递函数为： 其闭环特征方程为: 相角条件为: 对应的即是零度 根轨迹。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

规则三 实轴上的根轨迹 规则四 渐近线 在绘制 根轨迹时，只需在 根轨迹的画法规则中，与相角条件有关的规则作相应的修改。 在绘制 根轨迹时，只需在 根轨迹的画法规则中，与相角条件有关的规则作相应的修改。 规则三 实轴上的根轨迹 实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为偶数，则此线段为根轨迹的一部分。 规则四 渐近线 渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为： 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

规则六、根轨迹的出射角和入射角 由相角条件可直接得到: 出射角: 入射角： 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

例5-8 解 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是由0至+∞线段和由-1至-2线段。 已知正反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 例5-8 解 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是由0至+∞线段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向的夹角分别是: 0°(k = 0)、120°(k = 1)、-120° (k = 2)。 渐近线与实轴的交点为-1。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

由规则五求出的极值方程的解有两个，即 ， ， 由规则五求出的极值方程的解有两个，即 ， ， 由于是正反馈，实轴上的根轨迹改变了。因为 不在实轴根轨迹上，舍去。可见，虽然规则五没改变，但在确定分离点时应考虑规则三变化。 s [s] w j 1 ) ( P K r = ¥ ® ° 120 - -1 3 2 -2 a 根轨迹如图所示。可看出，有一条从起点到终点全部位于S平面右半部的根轨迹，这意味着无论Kr为何值，系统都存在S平面右半部的闭环极点，表明系统总是不稳定的。在开环传递函数相同的情况下，负反馈系统的稳定性比正反馈系统好。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

闭环主导极点指的是闭环极点中离虚轴最近，而附近有无其它闭环零、极点或闭环偶极子的实数或共轭复数极点。 5.5 系统性能分析 一、闭环主导极点的概念 在工程实际中，常常用主导极点的概念对系统进行分析，这样可使系统分析简化。下面研究闭环传递函数的系统。 闭环主导极点指的是闭环极点中离虚轴最近，而附近有无其它闭环零、极点或闭环偶极子的实数或共轭复数极点。 闭环偶极子 是一对彼此相近的闭环零点和闭环极点，偶极点若不十分靠近坐标原点，即可以认为零点和极点的影响彼此相消。 闭环的极点和零点 对闭环系统的响应都有影响，但它们影响程度是不一样的，对闭环响应影响最大的是主极点。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

例5-9 解 从下面的例子中，可看到附加开环零点对根轨迹的影响。 已知系统的开环传递函数为： 二、增加开环零点对根轨迹的影响 从下面的例子中，可看到附加开环零点对根轨迹的影响。 已知系统的开环传递函数为： 试用根轨迹法分析系统的稳定性。如果给该系统增加一个开环零点，试分析附加开环零点对根轨迹的影响。 例5-9 解 ⑴原系统的根轨迹有两条根轨迹分支完全位于S平面的右半部，故该系统无论 为何值都是不稳定的。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

⑵如果给原系统增加一个负开环实零点 （b＞0），则开环传递函数为: 当b＞a时，根轨迹的渐近线与实轴的交点为 ，与原系统相比较，虽然根轨迹的形状发生了变化，但仍有两条根轨迹全部位于S平面右半部，系统仍然是不稳定的。 当b＜a时，根轨迹的渐近线与实轴的交点为 ，它们与实轴正方向的夹角分别为90°和-90°，三条根轨迹均在S平面左半部。这时无论开环根轨迹增益Kg为何值，系统都是稳定的。 分析可知，附加开环零点能使不稳定的系统变为稳定系统，但附加零点的取值要适当，否则便达不到预期的目的。 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

原系统的根轨迹 附加零点的根轨迹 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系

本章小结 根轨迹的有关概念 幅值条件；相角条件；等效传递函数； 根轨迹； 根轨迹 根轨迹的绘制 根轨迹的绘制、 根轨迹的绘制 根轨迹的应用 根轨迹； 根轨迹 根轨迹的绘制 根轨迹的绘制、 根轨迹的绘制 根轨迹的应用 判定稳定性；确定系统稳定的参数取值 范围；确定系统振荡稳定、非振荡稳定的 参数取值范围；附加零极点对系统的影 响 2019/7/15 北京科技大学自动化学院自动化系