本講義為使用｢訊號與系統，王小川編寫，全華圖書公司出版」之輔助教材 講義 七 拉普拉斯轉換 本講義為使用｢訊號與系統，王小川編寫，全華圖書公司出版」之輔助教材 SAS-07

7.1 連續時間系統的複數指數輸入與拉普拉斯轉換 7.2 拉普拉斯轉換的收斂區域 7.3 基本訊號的拉普拉斯轉換 7.4 拉普拉斯轉換的特性 第七章 拉普拉斯轉換 7.1 連續時間系統的複數指數輸入與拉普拉斯轉換 7.2 拉普拉斯轉換的收斂區域 7.3 基本訊號的拉普拉斯轉換 7.4 拉普拉斯轉換的特性 7.5 逆向拉普拉斯轉換 7.6 以拉普拉斯轉換分析線性非時變系統 7.7 單邊拉普拉斯轉換 7.8 連續時間線性非時變系統的狀態變數描述 SAS-07

7.1 連續時間系統的複數指數輸入與拉普拉斯轉換 對一個連續時間的線性非時變系統 ，給予輸入訊號 其輸出為 把 換成一般的訊號 ，延伸成 這就是拉普拉斯轉換(Laplace transform) 當 ，即 時，就回到傅立葉轉換。 SAS-07

逆向拉普拉斯轉換(inverse Laplace transform) s-平面(s-plane) 逆向拉普拉斯轉換(inverse Laplace transform) SAS-07

7.2 拉普拉斯轉換的收斂區域 轉換的條件是 要收斂 一個指數函數 SAS-07

一個逆向時間的指數函數 一個完整的拉普拉斯轉換關係描述如下， SAS-07

收斂區域(Region of convergence), ROC 例題7.1 兩個極點的 函數收斂區域 SAS-07

因為 與 的收斂區域有部分重疊，在 s-平面上有s 值可以讓 成立。 SAS-07

因為 與 的收斂區域有部分重疊，在 s-平面上有s 值可以讓 成立。 SAS-07

因為 與 的收斂區域有部分重疊，在 s-平面上有s 值可以讓 成立。 SAS-07

因為 與 的收斂區域不重疊，在 s-平面上沒有一個 s 值可以讓 成立。 SAS-07

7.3 基本訊號的拉普拉斯轉換 (1)脈衝函數(Impulse function) (2)步進函數(Step function) SAS-07

(3)逆向時間的步進函數(Reversed step function) (4)指數函數(Exponential signal) SAS-07

(5)逆向時間的指數函數(Reversed exponential signal) SAS-07

例題7.2 逆向時間的衰減訊號 SAS-07

(6)弦波訊號(Sinewaves) 餘弦函數 SAS-07

正弦函數 SAS-07

(7)衰減的弦波訊號(Attenuated sinewaves) 在時域中衰減的餘弦函數為 SAS-07

例題7.3衰減的餘弦函數 SAS-07

在時域中衰減的正弦函數 SAS-07

例題7.4逆向時間的正弦函數 SAS-07

7.4 拉普拉斯轉換的特性 (1)線性特性(Linearity) SAS-07

在時域中訊號作時間偏移，在s-域中的拉普拉斯轉換 就被乘上一個指數 ，收斂區域沒有改變。 (2)時間偏移(Time shift) 在時域中訊號作時間偏移，在s-域中的拉普拉斯轉換 就被乘上一個指數 ，收斂區域沒有改變。 例題7.5 時間偏移 SAS-07

作了時間偏移 SAS-07

(3) s-域偏移(Shift in s-domain) 例題7.6 s-域偏移 SAS-07

(4)時間的比例調整(Time scaling) SAS-07

例題7.7 時間的比例調整 SAS-07

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(5)共軛特性(Conjugation) SAS-07

時域中兩個訊號的捲積演算，對應在s-域中是兩個拉普拉斯轉換相乘，收斂區域是原來兩個收斂區域的交集。 (6)捲迴特性(Convolution) 時域中兩個訊號的捲積演算，對應在s-域中是兩個拉普拉斯轉換相乘，收斂區域是原來兩個收斂區域的交集。 SAS-07

(7)對時間的微分(Differentiation in time) (8) s- 域的微分 (Differentiation in s-domain) SAS-07

(9)對時間的積分(Integration in time) SAS-07

7.5 逆向拉普斯轉換 通常一個訊號 的拉普拉斯轉換 可以寫成多項式的分數， 解分母多項式的根，得到一組極點， ，我們可以將分母多項式改寫成 解分母多項式的根，得到一組極點， ，我們可以將分母多項式改寫成 SAS-07

分母的階次比分子的階次為高，做部分因式展開，得到 如果 分母的階次比分子的階次為高，做部分因式展開，得到 SAS-07

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如果分母多項式的根含有共軛複數，其中的一組共軛複數根所對應的部份因式展開 ， 則其拉普拉斯轉換關係就是 SAS-07

如果分母多項式有實數根 的 r 次重根，這個重根所引出的部份因式展開是 其中的 m 階項，對應的時域函數是 SAS-07

例題7.8 系統轉移函數的逆向拉普拉斯轉換 SAS-07

例題7.9 訊號的逆向拉普拉斯轉換 SAS-07

7.6 以拉普拉斯轉換分析線性非時變系統 LTI系統的拉普拉斯轉換 如果收歛區域包含了 (1)因果律(Causality) (2)穩定性(Stability) SAS-07

一個連續時間的LTI系統可以用微分方程式來描述， 零點(zero) 極點(pole) 一個連續時間的LTI系統可以用微分方程式來描述， 一個符合因果律的穩定性系統(causal stable system)，其極點 都會在 軸的左邊，其收歛區域包含 軸，它的頻率響應就是 LTI系統的轉移函數 SAS-07

◆例題7.10 波德繪圖 SAS-07

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SAS-07

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◆例題7.11 波德繪圖 SAS-07

SAS-07

SAS-07

SAS-07

7.7 單邊拉普拉斯轉換 一個符合因果律的系統，這個系統的脈衝響應必須滿足以下的條件， 單邊拉普拉斯轉換是針對 的訊號，這些訊號一定是右邊訊號，所以它的拉普拉斯轉換收斂區域一定是在 的最右極點的右邊，一般是不再特別標示其收斂區域。 也就是說系統的脈衝響應一定是正向時間的函數。 單邊拉普拉斯轉換(unilateral Laplace transform) 如果我們只考慮 的訊號，其拉普拉斯轉換運算的積分下限改為 ， 初始值的時間 初始條件的時間 SAS-07

(1)線性特性(Linearity) SAS-07

(2)時間偏移(Time shifting) 例題7.12 時間偏移 SAS-07

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(3) s-域偏移(Shifting in s-domain) 例題7.13 s-域偏移 SAS-07

(4)時間的比例調整(Time scaling) SAS-07

(5)捲迴特性(Convolution) SAS-07

例題7.14 捲迴特性 SAS-07

SAS-07

(6)對時間的微分(Differentiation in time) SAS-07

例題7.15 對時間的微分 SAS-07

(7) s-域微分 (Differentiation in s-domain) SAS-07

例題7.16 s-域的微分 SAS-07

(8)對時間的積分(Integration in time) SAS-07

例題7.17 對 作時間的積分 對 作時間的積分 SAS-07

(9)初始值原理與終值原理(Initial value theorem and Final value theorem) SAS-07

初始值原理(initial value theorem) 例題7.18 計算訊號的初始值 初始值原理(initial value theorem) 終值原理(final value theorem) SAS-07

單邊拉普拉斯轉換常用以解微分方程式，或是微分方程式所描述的系統。 ◆例題7.19 以s-域描述RLC電路 SAS-07

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解得 SAS-07

在電路元件上的電壓電流關係，可以將其在時域中的描述，作單邊拉普拉斯轉換之後，在 s-域中表示。 (1)電阻(R) (2)電感(L) SAS-07

(3)電容(C) SAS-07

◆例題7.20解電路問題 SAS-07

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◆例題7.21 解微分方程式 SAS-07

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7.8 連續時間線性非時變系統的狀態變數描述 方塊圖表示法 兩個子系統的並聯 兩個子系統的串聯 典型的回授系統方塊圖 SAS-07

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一個連續時間的線性非時變系統，是以積分單元為其基本組成單元。 對一個訊號 的積分， 以微分方程式描述一個線性非時變系統， 作單邊拉普拉斯轉換 SAS-07

若 ，初始條件為 連續積分 N 次的結果，我們得到 表示對 作 k 次微分 作單邊拉普拉斯轉換 表示對 作 k 次積分 SAS-07

假設一個二階系統 SAS-07

方塊代表一個積分單元 直接型第一式(direct form I ) SAS-07

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直接型第二式(direct form II ) SAS-07

◆例題7.22 系統的方塊圖描述 SAS-07

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圖中的一個結點可以看成是一個變數，描述在此結點上的狀態。 連續時間LTI系統的狀態變數描述 圖中的一個結點可以看成是一個變數，描述在此結點上的狀態。 SAS-07

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狀態方程式(state equation) 狀態向量(state vector) 狀態方程式(state equation) 輸出方程式(output equation) SAS-07