第一节 矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵的概念 四、初等矩阵的应用

本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法.再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大.

一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组

解

用“回代”的方法求出解：

于是解得 (2)

小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换 （1）交换方程次序； （　与　相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以　　　替换　） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以　　　　替换　）

3．上述三种变换都是可逆的． 　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．

　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．

二、矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换

等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价

用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：

特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行，台阶 数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元。

注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．

例如，

特点： 所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.

三、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.

四、初等矩阵的应用 性质1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵

性质2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 证 即 推论1 方阵A可逆的充分必要条件是

利用初等变换求逆阵的方法：

例１ 解

即 初等行变换

例２ 解

列变换 行变换

五、小结 1.初等行(列)变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同. 2. 初等变换 3.矩阵等价具有的性质

4. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 5. 利用初等变换求逆阵的步骤是:

作业： P77 1(1)；2；4；5

思考题 1、已知四元齐次方程组 及另一四元齐次方程组 的通解为

思考题解答 1、解

2、解 可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换, 而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为:

由初等方阵的性质得

第二节 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法

一、矩阵秩的概念 矩阵的秩

例1 解

例2 解

例3 解 计算A的3阶子式，

另解 显然，非零行的行数为2， 此方法简单！

二、矩阵秩的求法 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 引理 设A~B，则A与B中非零子式的最高阶数相等． (证明见P67) 定理2　设A~B，则R(A)=R(B) ．　(证明见P68)

初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 解

由阶梯形矩阵有三个非零行可知

则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.

例5 解 分析：

三、矩阵的秩的性质 1. 2. 3. 4. 5. （证明见P70）

6. 7. 8.

四、小结 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).

作业： P78　10(1)(2)；12

思考题

思考题解答 答 相等. 即 由此可知

第三节 线性方程组的解 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法

一、线性方程组有解的判定条件 问题： 定理3 n元线性方程组Ax=b (1)无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b); (2)有惟一解的充分必要条件是R(A)= R(A,b)=n; (3)有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n.

( ) ( ) ( ) ( ) 定理4 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n. 证 必要性. , D A R 阶非零子式 中应有一个 则在 设 = 从而 ( ) , 根据克拉默定理 个方程只有零解 所对应的 n D 这与原方程组有非零解相矛盾， ( ) . n A R < 即 ( ) , n r A R < = 设 充分性.

( ) ( ) . 个自由未知量 从而知其有 r n - 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 . 定理5 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b). ( ) , B R A < 设 , 有解 设方程组 b Ax = 证 必要性． 其中B=(A,b),则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，这与方程组有解相矛盾. ( ) . B R A = 因此

( ) ( ) , B R A = 设 充分性. , n r B R A £ = 设 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余 个作为自由未知量, 并令 个自由未知量全取0， r n - 即可得方程组的一个解． 证毕

定理6 矩阵方程组Ax=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B). 这是定理5的推广 定理7 设AB=C，则R(C)≤min{R(A),R(B)}.

二、线性方程组的解法 例1 求解齐次线性方程组 解

即得与原方程组同解的方程组

由此即得

例２ 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换， 故方程组无解．

例３ 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵B进行初等变换

故方程组有解，且有

所以方程组的通解为

例４ 解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为

由于原方程组等价于方程组 由此得通解：

例５ 设有线性方程组 解

其通解为

这时又分两种情形：

三、小结 ( ) ( ) 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 n B R A = Û n B R A < = Û 有无穷多解. b Ax

作业： P78　13(2)；14(1)(2)；17

思考题

思考题解答 解

故原方程组的通解为