1906--2010 再谈三角函数的周期性

型如 的图像和性质。 型如 的图像和性质。 型如 的图像和性质。 象这样的函数模型是由许多自然现象抽象而来的……

1.自然中有许多运动变化都有周而复始,循环往复的特点,比如星体的环绕运动,月圆与月缺,潮汐,弹簧振子…用数学语言可以说这些现象具有周期性。 2. 三角函数是刻画周期变化的典型函数模型，刚演示过的几种现象就可以用正弦型函数模型来研究.

正弦函数y=sinx(x∈R)： 自变量x连续增加或减少2π时，函数值不断重复地出现。 规律：诱导公式sin(2k+x)=sinx -2 X X+2π 2 4 自变量x连续增加或减少2π时，函数值不断重复地出现。 规律：诱导公式sin(2k+x)=sinx 即：f(x+2kπ) =f(x)

周期函数定义： 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 思考1：下列说法是否正确？ （1） 时， 则 一定不是 的周期 （∨） （2） 时， 则 一定是 的周期 （×）

思考2： 由诱导公式 ，是否可 以说 的周期为2π? 针对f(x+T)＝f(x)中自变量x本身所加的常量T才是周期！

思考3：周期函数的定义域有什么特点？ 判断下列说法是否正确 周期函数中x 定义域D，则必有x±T D； ①函数f(x)=sinx（x≥0）是周期函数( ) ②函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是周期函数( ) ③函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是周期函数( ) 周期函数中x 定义域D，则必有x±T D； 周期函数f(x)的定义域必为无界数集 (至少一端是无界的);

思考4: 1.函数 的周期有多少个？ 有最小正周期吗？ 2.所有的周期函数都有最小正周期吗？ 否！如常数函数

如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ) 的周期是多少？ 思考5: 如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ) 的周期是多少？ 所以当函数y=f(x)的周期是T时， 函数y=f(ωx＋φ)的周期是

思考6： 函数 在R上是否为周期函数? 讨论 的情况 x y o

思考7: 是否只有三角函数才具备有周期性？ y x o . 2 -2 -4 4 -6 …

应用1 已知函数是定义在R上且周期为3的奇函数.若 ，分别求出的 值. 已知函数是定义在R上且周期为3的奇函数.若 ，分别求出的 值. 已知函数是定义在R上且周期为3的奇函数.若 ，分别求出的 值. 已知函数是定义在R上且周期为3的奇函数.若 ，分别求出的 值. 已知函数是定义在R上且周期为3的奇函数.若 ，分别求出的 值.

若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示： 应用2： 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示： (1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度 1 2 3 t h o 10 50 20

应用3.画出函数 的图象并观察其周期. y x O 下证之: 所以,函数 是以π为周期的函数.

应用4.(1)求函数 的最小正周期 故函数最小正周期是

应用5 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0， 试判断f(x)是否为周期函数？ 解：由已知有：f(x＋2)= -f(x) ∴f(x+4)= 即 f(x＋4) f(x) ∴由周期函数的定义知，f(x)是周期函数. =-[-f(x)]= -f(x＋2) f[(x＋2)+2]=

1. 了解周期函数的定义应注意的问题 4．回顾小结 2. 三角函数的最小正周期的求法 3. 周期函数的图像与应用 4. 要善于用数学的角度观察世界

1、物理情景—— ①单摆振动、圆周运动， ②星体的环绕运动 2、地理情景—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 ③地震 ④涨潮与退潮 3、心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 4、日常生活现象—— 　 ① 股票变化 …………

5.课外思考： 1.(1)已知函数是周期为1的周期函数，若 则___________ (2) 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)=f(x－1)， 且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值. 2.下列函数是周期函数吗？如果是，能找出它的 最小正周期吗？ （1） （2） (3)

作业； 电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次。请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期。 2. 请调查你所在区的每天的用电情况，制定一项合理的电价方案。 3. 一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论。

谢 谢 大 家！