第一章 三角函数 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
***复习回顾*** y x O 1
物理中简谐振动的相关物理量
探究： 对函数图象的影响 y=sin(x+)与y=sinx的图象关系: 试研究 与 的图象关系. y 1 -1 O x
一、函数y=sin(x+)图象: 平移变换 y=sinx y=sin(x+) 的变化引起图象位置发生变化(左加右减) 所有的点向左( >0) 或向右( <0)平移 | | 个单位 y=sinx y=sin(x+) 的变化引起图象位置发生变化(左加右减)
探究： 对函数图象的影响 y=sinx与y=sinx的图象关系: 作函数 及 的图象. x x y 1 x O -1 p 2p 2 3 作函数 及 的图象. p 2p 2 3 x 2 1 p 2p 2 3 4 p 2 3 x p 2p 3p 4p x x 2 1 sin 1 -1 1 -1 y O x -1 1
函数 、 与 的图象间的变化关系. -1 y O x 1
所有的点横坐标缩短(>1)或伸长(0< <1) 1/倍 二、函数y=sinx(>0)图象: 周期变换 函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/倍(纵坐标不变)而得到的. 所有的点横坐标缩短(>1)或伸长(0< <1) 1/倍 y=sinx y=sinx 纵坐标不变 决定函数的周期:
探究： A 对函数图象的影响 y=Asinx与y=sinx的图象关系: 作下列函数图象: x O 1 -1 y 2 -2 x sinx
函数 、 与 的图象间的变化关系. x O 1 -1 y 2 -2
所有的点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0< A<1) A倍 三、函数y=Asinx(A>0)图象: 振幅变换 函数 y=Asinx(A>0且A1) 的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的. y=Asinx，xR的值域是[－A, A]， 最大值是A，最小值是－A. 所有的点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0< A<1) A倍 y=sinx y=Asinx 横坐标不变 A的大小决定这个函数的最大(小)值
例4.用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简图. 解: 1 1 -1 -1 3sin(2x+π/3) 0 3 0 -3 0 3sin(2x+π/3) 0 3 0 -3 0 -3 o x 1 2 -1 -2 3 y π 12
用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤(先平后缩): 向左平移π/3个单位长度 y=sinx的图象 y=sin(x+π/3)的图象 第1步: 横坐标缩短到原来的1/2倍 第2步: y=sin(x+π/3)的图象 y=sin(2x+ π/3)的图象 (纵坐标不变) 纵坐标伸长到原来的3倍 y=sin(2x+ π/3)的图象 y=3sin(2x+ π/3)的图象 第3步: -3 o x 1 2 -1 -2 3 y (横坐标不变) y=3sin(2x+ π/3) y=sinx y=sin(x+π/3) y=sin(2x+ π/3)
变换法作Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)简图的步骤: 左 右 ①把y=sinx的图象向___ (φ>0时)或向___(φ<0时)平移 |φ|个单位长度得到y=sin(x+ φ)的图象. 缩短 伸长 ②把所得图象各点的横坐标____(ω>1时)或___(0< ω<1时) 到原来的___倍(纵坐标不变),得到y=sin(ωx+φ)的 图象. 1/ω 伸长 缩短 ③再把所得图象各点的纵坐标___(A>1时)或___(0<A<1时) 到原来的_____倍(横坐标不变),而得的Y=Asin(ωx+φ) 的图象. A
归纳: 步骤1 沿x轴 平行移动|φ|个单位 步骤2 横坐标 伸长或缩短1/ω 步骤3 纵坐标 伸长或缩短A倍 步骤4 沿x轴 扩展 步骤5
巩固练习: 1.如何由y=sinx的图象得到y= 3sin( x - )的图象? 解: 向右平移π/4个单位长度 第1步: y=sinx 的图象 y=sin(x - )的图象 各点的横坐标伸长到原来的2倍 第2步: y=sin(x - )的图象 y=sin( x - )的图象 (纵坐标不变) 各点的纵坐标伸长到原来的3倍 第3步: y=sin( x - )的图象 y=3sin( x - )的图象 (横坐标不变)
B 练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( )而得到. A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变. D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变. 想一想? 问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到 y=sin(2x+ )的图象? 3 p
课堂小节: 1.Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)中,A叫振幅,φ叫初相.A,ω的变化引起______变换,φ的变化引起______变换. 伸缩 平移 (横向变换可简记为:左加右减,小伸大缩.)
2.变换法作Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)简图的步骤: 左 右 ①把y=sinx的图象向___ (φ>0时)或向___(φ<0时)平移 |φ|个单位长度得到y=sin(x+ φ)的图象. 缩短 伸长 ②把所得图象各点的横坐标____(ω>1时)或___(0< ω<1时) 到原来的___倍(纵坐标不变),得到y=sin(ωx+φ)的 图象. 1/ω 伸长 缩短 ③再把所得图象各点的纵坐标___(A>1时)或___(0<A<时) 到原来的_____倍(横坐标不变),而得的Y=Asin(ωx+φ) 的图象. A
3、 步骤1 沿x轴 平行移动 步骤2 横坐标 伸长或缩短 步骤3 纵坐标 伸长或缩短 步骤4 沿x轴 扩展 步骤5
第二课时 例1:如何由 变换得 的图象？
方法1:(按 先平移后变周期的顺序变换) 1 -1 2 -2 o x 3 -3 y
总结: 方法1:按先平移后变周期的顺序变换 y=Asin(x+) y=sinx y=sin(x+) y=sinx 向左>0 (向右<0) y=sin(x+) y=sinx 平移||个单位 横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 y=sin(x+) 纵坐标不变 横坐标不变 y=Asin(x+) 纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
步骤1 沿x轴 平行移动 步骤2 横坐标 伸长或缩短 步骤3 纵坐标 伸长或缩短 步骤4 沿x轴 扩展 步骤5
方法2:(按先变周期后平移顺序变换) 1 -1 2 -2 o x 3 -3 y
总结: 方法2:按先变周期后平移顺序变换 y=Asin(x+) y=sinx y=sinx y=sinx y=Asin(x+) 横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 y=sinx y=sinx 纵坐标不变 向左>0 (向右<0) 平移||/个单位 横坐标不变 y=Asin(x+) 纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ 例2:右图是某简谐运动的图象。 (1)这个简谐运动 的振幅、周期与 频率各是多少？ x/s y/cm O A B C D E F 2- 0.4 0.8 1.2 (2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)求这个简谐运动的函数表达式.
例3:已知函数y=Asin(x+)(>0, A>0) 的图像如下： 2 -2 O x 求解析式?
总结: 利用 ，求得 选择的点要认清其属“五点法”中的哪一位置点，并能正确代人列式，求得 .
“第一点”为： “第二点”为： “第三点”为： “第四点”为： “第五点”为：
练习:如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数: T/度 t/h O 6 10 14 20 30 这段曲线对应的函数是什么？
练习一 1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将 y= sinx 图象（ ） D A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ ） A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍 3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象，只需将 y=sinx 图象（ ） A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 4. 要得到函数 y=sin（2x－π/3）的图象,只需将y=sin2x图象（ ） A. 向左平移π/3 个单位 B. 向右平移π/3个单位 C. 向左平移π/ 6个单位 D. 向右平移π/6 个单位 D D C D
C
B
C
D C
A
小结 y=sinx y=sin(x+) y=sinx y=sinx y=sinx y=Asinx y=sinx 所有的点向左( >0) 或向右( <0)平行移动 | | 个单位长度 y=sinx y=sin(x+) 横坐标缩短(>1)或 伸长(0< <1) 1/倍 y=sinx y=sinx 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 y=sinx y=Asinx 横坐标不变 y=sinx y=Asin（x+ ）