第5课时 三角函数的值域和最值 要点·疑点·考点 课 前 热 身   能力·思维·方法   延伸·拓展 误 解 分 析.

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第5课时 三角函数的值域和最值 要点·疑点·考点 课 前 热 身   能力·思维·方法   延伸·拓展 误 解 分 析

返回 要点·疑点·考点 1.正弦函数 y=sinx定义域是R,值域是[-1,1],在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取最小值-1,在x=2kπ+π/2(k∈Z)时,取最大值1 . 2.余弦函数 y=cosx定义域是R,值域是[-1,1],在x=2kπ(k∈Z)时,取最大值1,在x=2kπ+π(k∈Z)时,取最小值-1 3.正切函数 y=tanx定义域是(kπ-π/2,kπ+π/2)(k∈Z),值域是R,无最值. 4. asinx+bcosx型函数 (其中φ由 确定,φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定)

课 前 热 身 1.若sinx≥1/2,则x的范围是____________________________;若√3+2cosx<0,则x的范围是 ; 若tanx≤1,则x的范围是________________________;若sin2x>cos2x,则x的范围是__________________________ 2.函数y=√3sinx+cosx,x∈[-π/6,π6]的值域是( ) (A)[-√3,3] (B)[-2,2] (C)[0,2] (D)[0,√3] 3.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) (A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)2 2kπ+π/6≤x≤2kπ+5π/6,k∈Z 2kπ+5π/6<x<2kπ+7π/6,k∈Z kπ-π/2<x≤kπ+π/4,k∈Z kπ+π/4<x<kπ+3π/4,k∈Z D A

返回 4.设 ,则t的取值 范围是( ) (A) (B) (C) (D) 5.函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( ) (A)是增函数 (B)可以取得最大值M (C)是减函数 (D)可以取得最小值-M B B

能力·思维·方法 1.已知△ABC中, ,求使 取最大值时∠C的大小. 【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、 d为常数)的式子,都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ) +B的式子,从而有关问题可在变形式的基础上求解另外, 求最值时不能忽视对定义域的思考

2.试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x∈[0,π/2]呢? 【解题回顾】此为sinx+cosx与sinx·cosx型.(注意与上例形式的不一样),一般地,含有sinx+cosx,sinx-cosx,sinx·cosx的三角函数都可以采用换元法转化为t的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.

3.求函数 的值域 【解题回顾】此为 型三角函数(分子、分母的 三角函数同角同名)这类函数,一般用拆分法及三角函数 的有界性去解.思考如何求 的值域呢?

返回 4.已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0,最小值为-4,若实数a>0,求a,b的值 【解题回顾】上述两题为y=asin2x+bsinx+c型的三角函数.此类函数求最值,可转化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间[-1,1]上的最值问题解决.

延伸·拓展 返回 5.在Rt△ABC内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC上. (1)设AB=a,∠ABC=θ,求△ABC的面积P与正方形面积Q (2)当θ变化时求P/Q的最小值. 【解题回顾】此题为 型三角函数.当sinx>0且 a>1时,不能用均值不等式求最值,往往用函数单调性 求解

误解分析 返回 1.在课前热身2中,当 时,若 限制 ,则 y 的范围要根据单调性得出,不再是 1.在课前热身2中,当 时,若 限制 ,则 y 的范围要根据单调性得出,不再是 2.在能力·思维·方法2中,换元后,要研究定义域的变化,脱离定义域研究函数是没有意义的.