第三章 平面任意力系

引　　言 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。 [例] 中心内容：力系简化+平衡方程

平面任意力系实例

力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一 §3-1 力线平移定理 力 B d A F B d A F F’ F” F=F’=F” 力系 B d A F’ m 力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力 对新作用点B的矩。

说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶 （例断丝锥） ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。

工程应用

§3-2 平面任意力系向一点简化 一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上) O 为任选点 F1 F’3 F’2 F3 F2 F’1 x y m1 m2 m3 R’ Mo

大小： 主矢 方向： 简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和] （移动效应）

大小： 主矩MO 方向： 方向规定 + — 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） （转动效应） 固定端（插入端）约束 在工程中常见的 雨搭

①认为Fi这群力在同一 平面内; ② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶; ③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示; 说明 固定端（插入端）约束 ①认为Fi这群力在同一 平面内; ② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶; ③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。 A Fi A RA MA A XA MA YA

§3-3 平面任意力系的简化结果  合力矩定理 简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。 §3-3 平面任意力系的简化结果  合力矩定理 简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 ③ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

④ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 。 化为一个合力 。 O O’ R’ MO R d R” 合力 的大小等于原力系的主矢 合力 的作用线位置

结论： 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 ;③平衡 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩 ———合力矩定理 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。

R [例1]已知平面任意力系如图， ， ， 求①力系向O点简化结果， ②合力的大小和作用线方程 [解] x y (1,2) (2,-1) [例1]已知平面任意力系如图， ， ， 求①力系向O点简化结果， ②合力的大小和作用线方程 [解] x y (1,2) (2,-1) (3, 1) F1 F2 F3 R 力系向O点简化的结果为 主矢 主矩 合力大小为 设合力与 x轴交点为(x, 0),合力与 y轴交点为(0, y),则

§3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为： §3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即：

上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。 ②二矩式 条件：x 轴不 AB 连线 ③三矩式 条件：A,B,C不在 同一直线上 ①一矩式 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。

[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ ②画受力图 P A B 2a a YA XA NB

§3-5 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。 设有F1, F2 … Fn 各平行力系， §3-5 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。 x1 xn x2 An A2 A1 F2 F1 Fn x y O 设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得： RO MO 合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为 主矢 =0 主矩MO =0

实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 恒 成立 ，所以只有两个独立方程， 只能求解两个独立的未知数。 xn x2 An A2 A1 F2 F1 Fn x y O 所以 平面平行力系的平衡方程为： 一矩式 RO MO 二矩式 条件：AB连线不能平行 于力的作用线 实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 恒 成立 ，所以只有两个独立方程， 只能求解两个独立的未知数。

R xR 分布载荷q(x)的合力大小及作用线 q(x) x y O dx a b R l/2 2l/3 R O q l q l

[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁 解得：

[例] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？

解：⑴ ①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为： 限制条件： 解得 由 ②空载时，W=0 限制条件为： 解得 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：

⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：

§3-6 静定与静不定问题的概念  物体系统的平衡 一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。 力偶系 平面 任意力系 当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）

[例] 静定（未知数三个） 静不定（未知数四个） 静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。

二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例] 外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。

②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体） 物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体） 解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少）

[例1] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？ 解： 选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、Bxy,B点 列方程为: 解方程得 ① ② ③ ④

① 再研究CD杆 受力如图 取E为矩心，列方程 解方程求未知数 ② ③ ④

[例3] 已知：F各杆重量不计。 求：A、B和D约束反力？ 解：以整体为研究对象 (求不出XB) A F D E XB B C XC YB YC (求不出XB)

我们已经求出YB，下一步应选取谁做为研究对象呢 D F C A E a B D A XD XB XA YD YA YB C A E XC YC X’A Y’A N’E XB YB XC YC (五个未知数) (四个未知数) D F E X’D Y’D NE (三个未知数)

B D F C A E a 以DEF为研究对象 XB YB XC YC D F E X’D Y’D NE B (可以求出NE)

B D F C A E a 以ADB为研究对象 XB YB XC YC B D A XD XB XA YD YA YB

[例4] 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开） 解：①研究起重机

② 再研究梁CD ③ 再研究整体

由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架 §3-7 平面简单桁架的内力分析

工程中的桁架结构

工程中的桁架结构

工程中的桁架结构

工程中的桁架结构

工程中的桁架结构

工程中的桁架结构

工程中的桁架结构

桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。 节点 杆件

力学中的桁架模型 ( 基本三角形) 三角形有稳定性 (b) (a) 桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。 桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接； ③外力作用在节点上。 力学中的桁架模型 ( 基本三角形) 三角形有稳定性 (b) (a)

工程力学中常见的桁架简化计算模型

②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。 一、节点法 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？ [例] 解：①研究整体，求支座反力 ②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。

节点D的另一个方程可用来校核计算结果 恰与 相等,计算准确无误。

[例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。 ① ② 二、截面法 I 解： 研究整体求支反力 选截面 I-I ，取左半部研究 解： 研究整体求支反力 A' ② 选截面 I-I ，取左半部研究

说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,　　与所设方向相反。

三、特殊杆件的内力判断 ① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。 ② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆 ③ 四杆节点无载荷、其中两两在 一条直线上，同一直线上两杆 内力等值、同性。

[例] 已知 P d,求：a.b.c.d四杆的内力？ 解：由零杆判式 研究A点：

平面任意力系小结 ① ② ③ 一、力线平移定理是力系简化的理论基础 力 力+力偶 二、平面一般力系的合成结果 合力（主矢） 合力偶（主矩） 力 力+力偶 二、平面一般力系的合成结果 ① 合力（主矢） ② 合力偶（主矩） ③ 平衡 合力矩定理

三、 A,B连线不 x轴 A,B,C不共线 平面一般力系的平衡方程 一矩式 二矩式 三矩式 平面平行力系的平衡方程 成为恒等式 一矩式 二矩式 三矩式 A,B连线不 x轴 A,B,C不共线 平面平行力系的平衡方程 成为恒等式 一矩式 二矩式 连线不平行于力线

平面汇交力系的平衡方程 成为恒等式 平面力偶系的平衡方程 四、静定与静不定 独立方程数 = 未知力数目—为静定 独立方程数 < 未知力数目—为静不定 五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部 单体

① ② ③ ④ 六、解题步骤与技巧 解题步骤 解题技巧 选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴； 解题步骤 解题技巧 选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴； 画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上； 选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。 解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。 ① ② ③ ④ 七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。

① ② 八、选研究对象技巧 画整体受力图；若只有三个未知数（或有二个未知数可以求解出来）则首先以整体为研究对象 画每个局部的受力图；优先以只有三个未知数的局部为研究对象 ① ②

[例] 已知:P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平, ED铅垂,BD垂直于 斜面； 求 ?和支座反力？ 解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程

再研究AB杆，受力如图

[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B

再研究轮 [负号表示力的方向与图中所设方向相反]

SCD S‘CD S’BE XF SBE XF YF YF XA XA YA YA [例] 已知:F=40kN. 各杆重量不计，尺寸如图 求： 铰链A、B、C处受力？ 解：首先找研究对象 A F B C D E 2m A B C F XA YA SBE SCD S’BE S‘CD XF YF F D E XA YA XF YF 四个未知数 四个未知数 四个未知数

SCD SBE XF YF XA XA YA YA 2m C D C G F E B F B A 二个未知数 A 二个方程 解得 以整体为研究对象 再以ABC为研究对象

A B C F XA YA SBE SCD 已经求出 G 再以ABC为研究对象

G G S‘CD S’BE XF YF NF NF XA XA YA YA 能不能找到合适的研究对象，使一个方程只有一个未知数？ A F B 2m A F B C D E 2m S’BE S‘CD G NF F D E XA YA G NF XA YA XF YF 三个未知数 二个方程 三个未知数 四个未知数

[练习] 已知:P=1000N. 各杆单位长度重量为30N/m，尺寸如图 求：A、B、C处约束反力？ 解：首先把各杆重量表示出来 3m 4m P 2m A B C D P C D A B C 180N 150N Y’C X’C XD YD 180N YC XC XA YA MA YB XB XA YA MA 180N 整体 XA ,YA ,MA CD YC , CA XC ,XB,YB

[练习] 已知:AB=r, F,，不计磨擦 求：M和的关系？ 解：首先画受力图 M  ` F A B O C D YO XO O A M YO XO NA  NC ND F C D B A AB NA~F N’A OA M~NA NC ND