第三章 导数及其应用

微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

3.1.1变化率问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

我们来分析一下: 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 显然0.62>0.16

思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2 高台跳水 请计算 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 请计算

请计算

平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。

这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 平均变化率定义: 上述问题中的变化率可用式子 表示 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)

思考? 平均变化率 表示什么? 观察函数f(x)的图象 Y=f(x) y x2-x1 f(x2) B f(x2)-f(x1) f(x1) A 直线AB的斜率 x x1 x2 O

做两个题吧! 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx D 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx

小结： 1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率

练习： 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31

作业： 第二教材P67 A 1、2、4，B 5

3.1.2 导数的概念 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求 瞬时速度呢?

如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？ 通过列表看出平均速度的变化趋势 ：

瞬时速度? 我们用 表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”. 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

导数的定义: 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

应用： 例1 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.

解: (1)将 Δt=0.1代入上式，得: (2)将 Δt=0.01代入上式，得: 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).

它说明在第2（h)附近，原油温度大约以3 0C/H的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。 应用： 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。 关键是求出： 它说明在第2（h)附近，原油温度大约以3 0C/H的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。

应用： 例3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动， （１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；

练习: 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+(Δx)2 　　再求 　再求

小结： (2)求平均速度 （3）求极限 (2)求平均变化率 （3）求极限 1求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 （3）求极限 1由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) (2)求平均变化率 （3）求极限

作业： 课本86页 A 1，2，3。