Schrodinger Wave Equation 電子波函數必須是複數 波函數無法觀測，波強度則是實數，應可觀測 物質波的強度，正比於在當地發現該粒子的機率密度！
電子的波動性質並非一群電子的整體行為，而是單一電子就具有波的性質 雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！ 但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！ 電子的波動性質並非一群電子的整體行為，而是單一電子就具有波的性質
一個粒子處於完全相同的狀態下，某些物理測量的結果卻不是每次測量都相同，粒子的狀態確定，但測量結果卻並不確定。 對單一電子的物理量，我們可以計算預測的是多次測量後的平均值：期望值-Expectation Value
重複物理實驗測量的期望值！ 位置的期望值 (平均值） 位置函數（比如位能）的期望值 (平均值） 那麼動量的期望值怎麼算？
那麼動量的期望值怎麼算？ ？ 這個式子對一般的波也對，畢竟一般的波可以寫成正弦波的疊加！
正弦波的疊加！ p-eye 波函數 是測量得到粒子動量為的機率密度
動量的函數（比如動能）的期望值 例如
所有古典物理量都可以寫成位置與動量的多項式函數！ 古典力學中的測量量的期望值 所有古典物理量都可以寫成位置與動量的多項式函數！ 因此，何不….. 角動量 古典物理的數字物理量在量子力學中變為作用在波函數上的運算動作！
量子力學的原則 算子 Operaor 古典物理的數字物理量在量子力學中變為作用於波函數的運算動作！ 這些運算動作將代表狀態的波函數映射到另一個波函數！ 算子 Operaor
算子與數最大的不同 海森堡的矩陣力學得到一樣結果 算子 Operaor 可以證明矩陣是算子的一個特例！ 兩物理量不能同時測量： 波恩
量子世界的兩類物理實體 狀態 波函數 測量 算子 測量期望值 古典世界中以上兩類物理實體是合而為一 粒子的狀態可由可測量物理量惟一地標定 狀態 由狀態決定粒子未來的測量結果。 數值（函數） 測量
狀態 波函數 起始的波函數 未來的波函數 測量 算子 測量期望值
測量結果確定的狀態 測量並非永遠都是不確定。 對於自由粒子，動量是確定的（因為守恆）（但位置測量不確定）： 作用於測量結果確定的狀態，算子的效果與數一樣
那些物理量是確定的？ 確定的物理量O 算子化為數 測量一個物理量時的不確定性是由測量結果的標準差或稱統計漲落來描述 ：
本徵函數 本徵值 動量的本徵函數 本徵函數 位置的本徵函數 x
p eyes x eyes 測量 x collapse p 確定，p本徵態 x 確定，x本徵態
在屏幕上，p本徵態因屏幕的“測量”而”崩潰”為x本徵態 collapse p 確定，p本徵態 x 確定，x本徵態 無法預測
能量的本徵態 與時間無關的薛丁格方程式 能量的本徵態對應到固定能量解，也就是穩定解，能量測量無不確定性！
氫原子中電子波函數量子數的物理意義 為角動量大小及z方向角動量的本徵態 本徴值 氫原子核對電子不作力矩，故電子的角動量守恒 能量的本徵態也會是角動量的本徵態 不過！…….
量子數的物理意義 Lx 、Ly 、Lz無法同時測量 只有L2 、Lz可同時測量
角動量的量子化 只有L2 、Lz可同時測量 l 是自然數 具有特定大小角動量的本徵態是離散的，個數為 (2l+1) 這個性質對任何角動量守恆的系統都對！