绪论（二） 复旦大学物理教学实验中心 http://Phylab.fudan.edu.cn 基础物理实验 绪论（二） 复旦大学物理教学实验中心 http://Phylab.fudan.edu.cn

绪论（二） 为什么要进行数据处理 有效数字 不确定度的评定 作图 最小二乘法

为什么要进行数据处理？ 实验得出的数据必须经过认真地、正确地、有效地处理，才能得出合理的结论，从而把感性认识上升到理性认识，形成或验证物理规律。

有效数字很重要！ 测量一个物体的厚度 2cm 2.0cm 2.00cm 2.000cm 这些表达式不一样

Rounding method 修约规则很重要 -- very significant effect on the result. A famous instance: a new index the Vancouver Stock Exchange in 1982. Initially -- 1000.000; after 22 mo. ~ 520 (but stock prices had generally increased) Problem? rounded down 1000s times daily rounding errors accumulated. Recalculating -- with better rounding  1098.892 Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms. p. 54. ISBN 978-0-89871-521-7, 转引自 Wikipedia: Rounding

数据处理时，可能要分段拟合 在不同磁场下锑化铟的磁阻变化曲线

有效数字 运算规则 有效数字----从第一个不为0的数开始算起的所有数字。 加减法：与不确定度最大项的末位有效数字对齐 如, 0.35 (2个); 3.54 (3个); 0.003540 (4个); 3.5400 (5个)。 加减法：与不确定度最大项的末位有效数字对齐 57.31＋0.0156－2.24342（=55.08218）=55.08 乘除法：与最少个数的有效数字相同 57.31×0.0156÷2.24342（=0.398514767）=0.399 运算规则

有效数字修约规则 “4舍6入5成双” “4”代表小于5 “6”代表大于5 小于5舍、大于5入 刚好是5时，若前一位为奇数则入，为偶数则舍。

为什么使用修约规则？ 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后，误差能达到相互抵消，而不导致互相迭加而积累； 修约规则“4舍6入5成双”合理假设最后 第二位奇偶几率各半。这样舍去或增加最 后第二位的0.5的几率一样。 9

一个修约的例子 如：计算值x1为3.54835; x2为3.65325 4舍6入5成双 不确定度 x1取值 x2取值 0.0003 3.5484　 3.6532　 0.002 3.548　 3.653　 0.04 3.55　 3.65 0.3 3.5　 3.7　 4舍6入5成双

不确定度的评定 不确定度评定的意义 --- 过大？过小？ 不确定度的分类 --- A类不确定度、B1和B2类不确定度 不确定度的合成 --- 单次测量、多次测量 不确定度的传递 --- 加减、乘除、乘方 不确定度本身一般只取一位有效数字 ---当修约前首位数字是1时，不确定度应保留两位有效数字；运算过程中，一般要取两位或者更多。 测量值的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐 --- 即：测量值的末位有效数字是不确定的。

不确定度的分类 A类不确定度(多次测量) B 类不确定度 a为仪器的不确定度限值 uB1=d/10（最好） （单次测量） uB1=d/5 （中等） uB1=d/2 （较差） B 类不确定度 uB1=d （特殊情况，比如数字显示） B2 类不确定度 （仪器不确定度） a为仪器的不确定度限值 C称为“置信因子”，在基础物理实验课程中大多取 12

正确度、精密度与准确度 正确度高 真值 随机误差大 uA大 精密度高 准确度高! 系统误差大 uB2大 下载于百度文库：不确定度.ppt

不确定度的合成 单次测量： 在长度测量中，长度值是两个位置读数x1和x2之差， 其不确定度合成公式为： 多次测量：

不确定度的传递 一般传递公式，当各直接测量的量相互独立无关时： 加减： 几个常用的传递公式 乘除： 乘方：

不确定度的表达 1、测量结果不确定度的一般表示法： 如：长度为（1.05±0.02）cm。 2、不确定度的百分比表示法： 不是“测量结果的百分比表示法” 而是“不确定度”的“百分比表示法” 16 16

例：测量一个圆柱体的密度 分析待测量 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h

例：测量一个圆柱体的密度 质量的测量：选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平， 测得：M=80.36g 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度， 测得左端读数：H1＝4.00cm 测得右端读数：H2＝19.32cm

例：测量一个圆柱体的密度 直径的测量：选用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下：

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 质量的测量：选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平，测得：M=80.36g 多保留一位有效数字

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度，测得左端读数：H1＝4.00cm，测得右端读数：H2＝19.32cm； 多保留一位有效数字

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 直径的测量：选用分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游 标卡尺，测得数据如下： 计算过程中 多保留一位有效数字

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理：

作图 为什么要作图？ 作图规则？ 如何读图？ 作图纸请到教育超市或者相辉堂内的仓库自行购 买，本课程用量不会超过10张。

为什么要作图 清晰地看到定性关系 方便地比较不同特性 合理地从图上得到有用的信息 螺线管中心轴线上 的磁场分布 二极管伏安特性 电阻随温度的变化关系

作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。

作图规则 40 38 36 34 32 30 R/ 20 30 40 50 60 70  / ℃

作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙” 符号来表示，不同组数据要用不同的符号）。

作图规则 40 38 36 34 32 30 样品A + 样品B + R/ 20 30 40 50 60 70  / ℃

作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙” 符号来表示）。 5.画直线或曲线，标明特殊点(特殊点所用符号应有别于 数据点的符号）及坐标值（计算斜率用的点，曲线的峰、 谷等）。

作图规则 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 R/ （26.0, 31.8） + + R/ + + + 20 30 40 50 60 70  / ℃

作图规则 6.写出实验名称、图名、实验者、实验日期。 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙”符号来表 示）。 5.画直线或曲线，标明特殊点(特殊点所用符号应有别于数据点的符号） 及坐标值（计算斜率用的点，曲线的峰、谷等）。 6.写出实验名称、图名、实验者、实验日期。

作图规则 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 R/ （26.0, 31.8） + + R/ + + 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** + 20 30 40 50 60 70  / ℃

如何读图 读某个数据点时－有效数字 读单一坐标值时－有效数字、单位 通过作直线求斜率时 取点、标出坐标值、计算斜率（单位） 取点三个规则： 不能取原始数据点； 尽量远但不超数据范围； 取与X轴刻度线的交点。 34

例：如何读图 样品A + 样品B + + + + + 40 38 36 34 32 30 R/ 实验名称：******** 31.8 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** 31.8 + 20 30 40 50 60 70  / ℃

例：如何读图 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 R/ （26.0, 31.8） + + R/ + 从图上求斜率 + 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** + 20 30 40 50 60 70  / ℃

例：如何读图 + R/  / ℃ 40 38 36 34 32 30 20 30 40 50 60 70 样品A + 样品B 20 30 40 50 60 70 40 38 36 34 32 30 +  / ℃ R/ 样品A + 样品B （60.0, 38.5） （26.0, 31.8） 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** 数据处理不可以写在图纸上

例：关于作图 在伏安法测电阻的实验中，同学根据测得的数据如下： 这幅图中存在什么问题呢？

如何找到一条最佳的拟合直线？ 内接法： + 外接法：  实验名称：伏安法测电阻 图 名：内接与外接时的伏安曲线 内接法： + 外接法：  如何找到一条最佳的拟合直线？ 实验名称：伏安法测电阻 图 名：内接与外接时的伏安曲线 实 验 者：******** 实验日期：********

最小二乘法 最小二乘法认为：假设各xi的值是准确的，所有的不确定度都只联系着yi，若最佳拟合的直线为： ，则所测各 值与拟合直线上相应的各估计值 　 之间的偏差的平方和最小，即，直线方程中：

最小二乘法 解方程得： 相关系数： 如果y和x的相关性好，可以粗略考虑b的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位对齐，k的有效数字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。

最小二乘法应用举例 巳知某铜棒的电阻与温度关系为： 。实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R0以及k 。 表 1：在不温度下，铜棒的电阻值  / ℃ 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 R /  76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 分析：此例中只有两个待定的参量R0和k，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n、 、 、 、 和 六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助(参见表2)，并使工作有条理与不易出错。

最小二乘法应用举例 表2：用最小二乘法拟合数据 i q /℃ Rq/W q´q Rq ´Rq q ´Rq 1 19.10 76.30 364.81 5821.69 1457.33 2 25.10 77.80 630.01 6052.84 1952.78 3 30.10 79.75 906.01 6360.06 2400.48 4 36.00 80.80 1296.00 6528.64 2908.80 5 40.00 82.35 1600.00 6781.52 3294.00 6 45.10 83.90 2034.01 7039.21 3783.89 7 50.10 85.10 2510.01 7242.01 4263.51 n= 245.50 566.00 9340.85 45825.98 20060.79

最小二乘法应用举例 说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数字与R对齐，即：R0＝70.76；又因为t7－t1 = 31.00℃，R7－R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位，则k = 0.288/C。 由此可以得到电阻与温度的相关关系为：

用Origin来拟合数据 实验名称：***** 图 名：铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者：*** 实验日期：**** R = R0+at 此处插入的拟合结果是没有考虑有效数字的情况。 R = R0+at Parameter Value Error α 70.8 0.3 R0 0.288 0.009 R SD N P 0.998 7 <0.0001

用Origin来拟合数据 拟合结果： 得出电阻值随温度变化的关系式： 此处要强调拟合结果的有效数字。 正确的表达式： 或

用Origin来拟合数据步骤 2. 画出散点图 4. 得到拟合直线 1. 列出数据表 5.根据作图要求，把图适当修改 3. 拟合数据 实验名称：***** 图 名：铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者：*** 实验日期：**** 4. 得到拟合直线 2. 画出散点图 3. 拟合数据

用Origin来拟合数据 列出数据表 画出散点图 拟合数据 得到拟合曲线 根据作图要求 修改图 实验名称：***** 图 名：铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者：*** 实验日期：**** 列出数据表 画出散点图 拟合数据 得到拟合曲线 根据作图要求 修改图 R = R0+at Parameter Value Error α 70.8 0.3 R0 0.288 0.009 R SD N P 0.998 7 <0.0001

注意事项！ 没有预习报告不可以做实验。 迟到扣0.5分，迟到30分钟以上则不允许做实验，该次实验成 绩为0分。 进入实验室后，预习报告须经指导老师检查并签名。 不许带着别人的实验报告在实验室做实验，一经发现，该实验 作0分处理。 记录数据不可以用铅笔，修改数据须有指导老师签名。实验完 毕后，数据需交指导老师审查并签名。

注意事项！ 按要求独立书写实验报告，不得抄袭别人的报告，引用需注明出处。 交取实验报告的时间： 完成实验后48小时内将报告交至指定信箱，下次实验时取报告。

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http://phylab.fudan.edu.cn 从第三周开始：（光华楼西辅楼8楼） 具体上课教室及分组情况请登陆实验中心网站或者参阅贴在光华楼西辅楼8楼走廊橱窗内的实验分组名单。 http://phylab.fudan.edu.cn 52