第五节 初等函数 一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例

一、基本初等函数 (一)常量y=C(C为常数) 常量函数的定义域为 ，无论x取何值，y都取值常数C.

(二)幂函数 幂函数 的定义域随 的不同而不同.无论 取何值，它在 内都有定义，而且图形都经过(1,1)点.

当 正整数时, 的定义域为 为偶(奇)数时, 偶(奇)函数.

不论 为有理数还是无理数,只要 ,函数 在区间 都是严格单调增加的; ,函数 在区间 是严格单调减少.

指数函数 的定义域为. 当a>1时，它严格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少 指数函数 的定义域为 .当a>1时，它严格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何的a(a>0,a≠1) , 的值域都是 ，函数的图形都过(0,1)点.

对数函数 是指数函数 的反函数，它的定义域为. 当a>1时，它严格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少 对数函数 是指数函数 的反函数，它的定义域为 .当a>1时，它严格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何的a(a>0,a≠1) ， 的值域都是 ，函数的图形都过(1,0)点.

在高等数学中，常用到以e为底的指数函数 和以e为底的对数函数 (记作ln x), ln x称为自然对数. 这里e=2

(五)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x;

余弦函数 y=cos x; y=sin x与y=cos x 的定义域均为 ，它们都是以 为周期的函数，都是有界函数.

正切函数 y=tan x;

余切函数 y=cot x;

tan x与cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数，cos x是偶函数. 三角函数还包括正割函数y=sec x,余割函数y=csc x,其中 .它们都是以 为周期的周期函数，并且在开区间 内都是无界函数.

(六)反三角函数 三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作 反正弦函数

反余弦函数

反正切函数

反余切函数

二、复合函数 定义1.8 设y是u的函数，y=f(u)， ，而u是x的函数 ，并且 的值域 包含f(u)的定义 域U之中，即当 时 .则y通过u的联系成为x的函数，称此函数是由y=f(u) 及 复合而成的复合函数，记作 并称x为自变量，u为中间变量.

例1 将函数 分解成两个基本初等函数的复合,并求该函数的定义域. 解 令u=x2,函数 可分解为 的定义域为 u=x2的定义域为 值域 可知 的定义域为

例2 设函数 函数 能否合成函数 若可以写出表达式并求出此复合函数的定义域. 解 函数 的值域为 有公共部分, 它与 的定义域 所以可以复合成 由 的定义域 知

从而复合函数 的取值范围为 即 所以此复合函数的定义域为

例3 函数 是由哪些基本初等函数复合或经四则运算并复合而成的？ 解 此函数可分解为 将上述函数依次复合便得

三、初等函数 定义1.9 可以由基本初等函数经过有限次四则运算或(和)经过有限次复合运算所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 定义1.9 可以由基本初等函数经过有限次四则运算或(和)经过有限次复合运算所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 不是初等函数的函数叫作非初等函数.

初等函数都可以用一个公式表示. 下面这些函数不是初等函数 当x>0 当x=0, (称为符号函数，记为sgnx); 当x<0 当x>0 当x≤0

例4 设 为常数,且 讨论函数 的周期性并求其(最小正)周期. 解 f(t)为周期函数的充要条件是,存在常数T>0, 使f(t+T)= f(t),即 即 上式成立的充要条件是 取n=1,所以f(t)的最小正周期为

例5 求f(x)=sin2x的周期 解 的周期为 而任意实数都是常数 的周期, 的周期是两项之和, 可见它的周期为π.

例6 讨论下列函数的奇偶性: 解 (1)易知,f(x)的定义域 有 于是,对于任意 而 所以f(x)为奇函数

(2)易知,g(x)的定义域 于是对于任意 有 而 所以g(x)为偶函数.

四、建立函数关系举例 例7 把圆心角为 (弧度 )的平面扇形的两条半径重合在一起而卷成一个圆锥，试求圆锥顶角ω与α的函数关系. 例7 把圆心角为 (弧度 )的平面扇形的两条半径重合在一起而卷成一个圆锥，试求圆锥顶角ω与α的函数关系. 解 设扇形AOB的圆心角 是 ，半径为r，于是弧AB的长度为 . 把这个扇形卷成圆锥后，它的顶角为 ，底圆周长为 .

所以底圆半径为

例8 将一个底半径为2cm，高为10cm的圆锥杯做成量杯.要在上面刻上表示容积的刻度，求出溶液高度与其对应容积之间的函数关系. 解 设溶液高度为h，其对应的容积为V，r是平行于底面的截面的半径，则

因为r也是变量，而需要找的是V与h之间的函数关系，所以应设法消去r，注意到 有