本节主要内容 4.4 椭球面上的弧长计算 1. 子午线弧长计算公式 2. 由子午弧长求大地纬度 3. 平行圈弧长公式 4. 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 4.5 大地线 1. 相对法截线 2. 大地线的定义和性质 3. 大地线的微分方程和克莱劳方程.

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1 本节主要内容 4.4 椭球面上的弧长计算 1. 子午线弧长计算公式 2. 由子午弧长求大地纬度 3. 平行圈弧长公式 4. 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 4.5 大地线 1. 相对法截线 2. 大地线的定义和性质 3. 大地线的微分方程和克莱劳方程

2 4.4 椭球面上的弧长计算 1. 子午线弧长计算公式 将克拉索夫斯基椭球元素代入 : 将 1975 年国际椭球元素代入： 说明：⑴ B=90 o 代入，一个象限内约为 10000km 地球周长约为 40000km

3 子午线弧长计算公式特点 子午线弧长计算公式是不可积分的，只能以级数 展开才能计算。 子午线弧长计算公式有三个公式，是级数按正弦 和余弦展开的结果。 子午线弧长计算公式中的系数特点 以 2 个数量级变小？

4 子午线弧长计算公式与对应椭球对应，不同的 椭球有不同的公式。 计算子午线弧长的意义： 大地测量正算和反算。 高斯反算。 每秒纬度变化，引起子午线弧长的变化约 30 米。 子午线弧长公式用到 SIN6B 弧长精度为 1 毫米，用 到 SIN8B 弧长精度为 0.01 毫米

5 ⑵子午线上纬度为 ， 间的弧长 ⑶ 弧长较短（ 40km ） 2. 由子午弧长求大地纬度 在高斯投影坐标反算公式中要用到。包括迭代解法和直接解 法两种方法。 ⑴ 迭代解法（以克拉索夫斯基椭球为例） 直到 为止

6 ⑵直接解法（以 1975 年国际椭球为例） 3. 平行圈弧长公式（大地线微分方程要用） 说明：纬度不同，相同的经差平行圈弧长不同。 4. 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 子午圈弧长： B ↗，单位纬度差的子午线弧长↗ 平行圈弧长： B ↗，单位经度差的平行圈弧长↘

7 4.5 大地线 相对法截线 大地线定义 大地线性质特点 大地线微分方程

8 4.5 大地线 1. 相对法截线 首先证明： 和 不重合 由 ，得 若 若 A 、 B 两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法 截线。 说明：⑴相对法截线 A 照准 B ： AaB 叫 A 点的正法截线， B 点的反法截线； B 照准 A ： BbA 叫 B 点的正法截线， A 点的反法截线。 ⑵ 相对法截线的位置 BbA 比 AaB 偏上。 正反法截线的位置如课本图 4-18 所示

9 ⑶ 当 A 、 B 两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合 二为一。 ⑷ 椭球面上 A 、 B 、 C 三点构不成三角形。（产生了矛盾） 2. 大地线的定义和性质 — 定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。 — 性质： — 说明：⑴ 其长度与法截线长度 相差为百万分之一毫米； ⑵地面观测值归算成大地线的 方向，距离。 ⑴ 大地线是一条空间曲线； ⑵ 大地线惟一，位于相对法截线之间。

10 大地线性质 1. 大地线是椭球面上两点最短距离； 2. 大地线方向靠近正法截线。形状为拉长 的 S ，方向占相对法截线夹角的三分之 一。

11 3. 大地线的微分方程和克莱劳方程 ⑴ 大地线的微分方程 描述 p 到 p1 时， dS 与 dA 、 dL 、 dB 之间的关系 在微分直角三角形 pp2p1 中

12 在球面直角三角形 p1p3N 中， dA ， dL ， dB 均为微分量，即

13 大地线微分方程

14 ⑵克莱劳方程

15 克莱劳定理： 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在 该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。 说明：⑴ ⑵ C 也叫大地线常数

16 小结 子午线弧长，平行圈弧长。 大地线的定义和性质。 相对法截线的概念。 了解大地线微分方程和克莱劳定理。

17 作业与思考 简述大地线的定义和性质。 相对法截线的概念。 子午线弧长计算公式。