常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性方程组. 常系数线性微分方程组 一阶常系数线性微分方程组 : 本节主要讨论 (5.33) 的基解矩阵的求法.

Presentation on theme: "常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性方程组. 常系数线性微分方程组 一阶常系数线性微分方程组 : 本节主要讨论 (5.33) 的基解矩阵的求法."— Presentation transcript:

1 常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性方程组

2 常系数线性微分方程组 一阶常系数线性微分方程组 : 本节主要讨论 (5.33) 的基解矩阵的求法.

3 常系数线性微分方程组 一、矩阵指数 expA 的定义和求法 1 expA 的定义 定义 注 1: 矩阵级数 (5.34) 是收敛的. 由于 而数项级数收敛.

4 常系数线性微分方程组 注 2: 级数 在 t 的任何有限区间上是一致收敛的. 由于 而数项级数 收敛.

5 常系数线性微分方程组 2 矩阵指数的性质 由于 : 绝对收敛级数的乘法定理 由于 :

6 常系数线性微分方程组 由于 :

7 常系数线性微分方程组 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1) 定理 9 矩阵 是 (5.33) 的基解矩阵, 且 证明 : 又因为

8 常系数线性微分方程组 例1例1 如果 A 是一个对角矩阵 解 由 (5.34) 得

9 常系数线性微分方程组 例2例2 解 因为 而后面两个矩阵是可交换的

10 常系数线性微分方程组 故

11 (2) 基解矩阵的一种求法 则 其中 注 1:

12 常系数线性微分方程组 二 基解矩阵的计算公式 类似第四章 4.2.2, 寻求 形如 将 (5.43) 代入 (5.33) 得 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系

13 常系数线性微分方程组 方程 (5.44) 有非零解的充要条件是 : 结论 即 例3例3 解 的根,

14 常系数线性微分方程组 解得

15 常系数线性微分方程组

16 例4例4 解 特征方程为 为求其对应的特征向量 考虑方程组 解得

17 常系数线性微分方程组 2 基解矩阵的计算方法 --- 常系数线性微分方程组的解法 (1) 矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量时 定理 10 是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵.

18 常系数线性微分方程组 证明 : 由上面讨论知, 每一个向量函数 都是 (5.33) 的解, 因此矩阵 是 (5.33) 的解矩阵, 所以

19 常系数线性微分方程组 例5例5 解由例 3 知 由定理 10, 矩阵 就是一个基解矩阵.

20 常系数线性微分方程组 注:注: 但由于有 从而 例 6 试求例 5 的实基解矩阵. 解 由于基解矩阵为 故实基解矩阵为

21 常系数线性微分方程组 求例 5 满足初始条件的解

22 常系数线性微分方程组 解由于基解矩阵为 故该方程的通解为 从而 由初始条件有 故

23 常系数线性微分方程组 例 7 求方程组 的通解. 解 因此特征根为 它们相的特征向量为

24 常系数线性微分方程组 故基解矩阵为 故通解为

25 常系数线性微分方程组 (2) 矩阵 A 的特征根有重根时 分量是无穷级数 难!难! 分量表为 t 的指数函数与幂函数乘积有限项组合

26 常系数线性微分方程组 的解产生的, 由于 由 (5.49) 有

27 常系数线性微分方程组 由 (5.51) 有

28 常系数线性微分方程组 注 1: 故 注 2: 其中

29 常系数线性微分方程组 例 8 试解初值问题 解从例 4 知,

30 常系数线性微分方程组 利用公式 (5.53) 即得 或者分别令

31 常系数线性微分方程组 例 9 如果 解 直接计算可得 因此由公式 (5.53) 可得

32 常系数线性微分方程组

33 例 10 求方程组 满足初始条件 解这里系数矩阵

34 常系数线性微分方程组 特征根为 由 (5.48) 我们需要考虑下面方程 和 首先讨论 这个方程组的解为

35 常系数线性微分方程组 其次 这个方程组的解为

36 常系数线性微分方程组 解之得

37 常系数线性微分方程组 代入上式得到三个线性无关的解, 利用这三 个解为列, 即得

38 常系数线性微分方程组 (3) 非齐线性方程的解 下面研究非齐线性微分方程组 由于 (5.60) 对应齐次方程组的基解矩阵为 故由常数变易公式,

39 常系数线性微分方程组 例 10 设 的解. 解 由例 6 知 故初值问题的解为

40 常系数线性微分方程组

41 三 拉普拉斯变换的应用 (1) 定义 定义其拉普拉斯变换为 常系数线性微分方程组 : 1 用拉普拉斯变换解微分方程组

42 常系数线性微分方程组 (2) 定理 12

43 常系数线性微分方程组 (3) 推论

44 常系数线性微分方程组 例 11 利用拉普拉斯变换求解例 10. 解将方程写成分量形式, 即

45 常系数线性微分方程组 由此解得 故 即

46 常系数线性微分方程组 例 12 试求方程组 满足初始条件 解 对方程组取拉普拉斯变换得

47 常系数线性微分方程组 即 解得 故

48 常系数线性微分方程组 例 12 试求方程组 满足初始条件 解

49 常系数线性微分方程组 整理后得 解得 再取反变换得

50 常系数线性微分方程组 2 用拉普拉斯变换求基解矩阵 对常系数齐线性微分方程组

51 常系数线性微分方程组 例 12 试构造方程组 的一个基解矩阵, 其中 解 即 也即

52 常系数线性微分方程组 由克莱姆法则, 有

53 常系数线性微分方程组 从而

54 常系数线性微分方程组 故基解矩阵 且

55 常系数线性微分方程组 作业 P236 2, 4(b),5(a) P236 5(c),6(a),7, P237 8, 10(a),11