1 降压变换器的建模，控制及校正. 2 议题 基础问题 三端PWM开关的模型 开环传递函数 电压模式控制 闭环传递函数 闭环增益 补偿器（校正器）设计 PSPICE和Mathcad仿真 实验验证.

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1 1 降压变换器的建模，控制及校正

2 2 议题 基础问题 三端PWM开关的模型 开环传递函数 电压模式控制 闭环传递函数 闭环增益 补偿器（校正器）设计 PSPICE和Mathcad仿真 实验验证

3 3 基础问题 我想从今天的讨论中得到什么？ 为什么 控制电能 要用开关电源（而不用线性电源）？ 什么是 线性系统？ 是什么造成了 开关电源 的 非线性？ 为什么要把 开关电源 线性化 ? 什么叫小信号分析？为什么要做小信号分析？ 为什么要 用公式 来研究 开关电源？ 什么情况下可以 不用公式？ 为什么要采用 复频域 分析？ 在复频域的 零点 和 极点 上到底发生了什么 （物理意义）？ 复频域的 零极点 和 波德图中的 零极点 是什么关系？ 为什么要 仿真？

4 4 以下是今天讨论的出发点 世界上不存在纯粹的线性系统。要对任一对象进行理解和预测，需要将其 抽象，简化，近似成 线性系统 模型，这就是古典数学及物理学的主要 方法。 电感电流连续的开关电源，其使用的开关元件总是按占空的比例工作在两 种输入状态，因此可以利用 叠加原理，用加权平均的方法，忽略其高频成 分（开关动作以及电压电流纹波），只着眼于其低频段 的表现 --- 这就是 “平均化” 。 平均化之后的某些电源拓扑的静态方程是非线性的，为了使用基于叠加原 理的微分方程等手段描述系统，需要将其在工作点附近作线性近似 --- 这种 方法就是“小信号分析”，其前提是各信号的变化范围远小于其绝对值。 力学，电学有两种分析问题的视角 --- 静态（稳态）分析，和动态分析。 前者通常使用代数方程来描述，后者使用微分方程来描述。 数学公式（极简化的除外），当其推导出的结果与直觉一致时，没有实际 价值。只有在其推导的结果出人意料时，才具有指导意义。 微积分是为了研究 变化 而发展出来的方法。线性系统的微分方程 列写 比较简单，然而 求解 则比较复杂。拉氏变换是众多方法中特别简便的一 种求解微分方程的手段。

5 5 以下是今天讨论的出发点 (cont’) 与利用对数求解代数方程类似，应用拉氏变换求解的通常步骤是：将微分 方程通过拉氏变换得到其象函数的代数方程，然后利用代数方程的简单运 算法则，将象函数简化为 部分分式 形式。这样，基于叠加原理，就可以 将部分分式形式的代数方程逐项 逆变换 成 标准形式的 原函数。 在所谓“复频域”，零点 和 极点 没有物理上的对应。他们只是一种方法， 可以在不用解开方程的情况下了解系统的特性---包括是否稳定，以及稳定 程度。 频率特性（波德图）中的 零极点 和 以上复频域分析中的 零极点 是形式 上的相同，而本质不同。前者具有实际的物理意义，即系统对正弦输入的 稳态相应。后者没有对应的物理意义。二者很容易混淆。二者形式上相同 的原因，在于拉氏变换的形式来源于傅氏变换。 线性化的理念就是简化，方便抽象理解。这也是在计算工具不发达时简化 手工计算的手段。而电脑的出现使复杂系统完全可以通过逐点计算的方法 还原其非线性的面目。仿真的意义在于不必牺牲过多的 非线性细节 而接 近真实系统的特性。

6 6 理想电源就是 … + - R fb 基准 12V R fa Vin 1.线性系统 2.输出阻抗为零 3.带宽无穷大 4.无损耗 5.无分布，寄生参数

7 实际开关电源更像是这样 … Error Amplifier Modulator Output Filter 不补偿又会怎样？

8 8 电压模式变换器 负反馈是为了： 精度: 稳态（静态）误差 速度: 动态响应 稳定： 增益及相位裕量 V IN + PWM 比较器 - + Fm 功率级 - + A(S) V REF R_load VOVO d 环路补偿器 K

9 9 平均化 小信号 PWM 开关 模型

10 10 Co Q1 D L V in + Ro ? + L D CoCo R V IN Q1 P A C P A C Buck Boost Co Q1 L D V in + Ro ? P A C Buck-Boost A: Active Switch Node C: Common Node P: Passive switch (Diode) DC-DC 变换器中的 PWM 开关 ?

11 11 Q1 D P C A D P C A D’D’ DC Model d P C A d’d’ AC Model D’ = 1 - D 非线性 PWM 开关

12 为什么要平均化？ 考虑输出纹波后的Buck变换器波形 12 V out I in ILIL V sw V in I diode 如果 Cout 足够小 不经过平 均化，各 变量之间 的关系将 会过于复 杂，难以 计算。

13 13 怎样平均化？ Buck 变换器 Co Q1 L V in + RLRL Rc iLiL + - v PH i in iLiL V in v Q2 IpIp IvIv d 具有理想变压器的特性 直流平均化模型 ? A C P iLiL + - v PH i in 1:d A C P 该模型只在CCM下成立 注意： 三端开关在静态 情况下的占空比， 和静态条件下的 三极管的放大倍 数一样， 是常量。 因此该静态模型 是线性的。

14 为什么要做“小”信号分析？ 或者-为什么不做大信号分析？ 14 Buck Boost Buck-Boost

15 引例: 一块正方形边长由 问此薄片 设薄片边长为 x, 面积为 A, 则 变到 关于△x 的 线性主部 时，△x的 高阶无穷小可忽略不计 怎样得到小信号模型 ? 回忆：微分的概念 面积的增量为 当 x 在 取 得增量 时,时, 面积改变了多少?

16 16 怎样得到小信号模型 ? Buck 变换器 Co Q1 L V in + RLRL Rc iLiL + - v PH i in ? A C P 开关电源的平均化是将 静态 三端开关 变成了 静态 二 端口网络，其输入/输出关系是一系列初等数学公式。 然而在动态条件下，占空比 并非常量，造成 静态模型 的 动态特性 出现了非线性。为了将其 近似成 线性，我们基 于微分的思想，在这个 二端口网络 的工作点附近，对包 括占空比在内的各个物理量加上 小信号“扰动”，

17 17 三端PWM开关的小信号模型 加扰动 小信号 平均化 模型 iLiL + - v PH i in 1:d A C P Q1 ? P AC 1:D + A C P 线性化 由前述直流平 均化模型出发： 加扰动 线性化

18 18 1:D + A C P + L CoCo R V IN A C P Buck变换器的平均化小信号模型 1:D + A C P + L CoCo R

19 19 各种变换器的一般平均化小信号模型 - in 《 Fundamentals of Power Electronics 》

20 20 开环输入至输出传递函数 (Buck) 1:D + A C P + L C R RCRC RLRL A C P + L C R RCRC RLRL

21 21 D GvGv ESR Zero Q factor -40db/dec -20db/dec 开环输入至输出传递函数 (Buck)

22 22 1:D + A C P + L C R RCRC RLRL + C P L C R RCRC RLRL 开环 控制至输出 传递函数 (Buck)

23 23 V IN GdGd ESR Zero Q factor -40db/dec -20db/dec 开环 控制至输出 传递函数 (Buck)

24 24 1:D + A C P + L C R RCRC RLRL L C R RCRC RLRL ZOZO 开环 输出传阻抗 (Buck)

25 25 ZpZp ESR Zero Q factor 20db/dec -20db/dec R L //R Rc //R ω ZL ωZωZ L C R RCRC RLRL ZOZO 开环 输出传阻抗 (Buck)

26 26 单 闭环控制 开关变换器

27 27 小信号 闭环控制 开关变换器 PWM 比较器 Fm 变换器 功率级 补偿器 -A(S) GVGV ZPZP X Fm GdGd T 小信号结构图 功率级

28 28 开环传递函数 GVGV ZPZP X -A(S) Fm GdGd T

29 29 GVGV ZPZP X -A(S) Fm GdGd T 控制至输出传递函数 环路补偿器增益 PWM 比较器增益 开环传递函数 （续）

30 30 v comp v ramp DTs VPVP 小信号 PWM 比较器增益 Fm PWM 比较器 Fm + - VcVc vcvc 如何处理有 最小关断时间 的控制器？

31 31 闭环 音频敏感度 (输入动态响应) 环路增益: 高环路增益T 改善输入动态响应 Audio-Susceptibility 物理意义 : 输入动态响应（ Line Transient Response) Audio Susceptibility GVGV ZPZP X -A(S) Fm GdGd T

32 32 GVGV X -A Fm GdGd T ZPZP 闭环 输出阻抗 （负载动态响应） 输出阻抗越小，负载动态响应越快 增益越高，负载动态响应越快 Output Impedance 物理意义: 负载动态响应 闭环输出阻抗

33 33 环路分析 环路分析要做到的是: 系统性能分析：动态响应 稳定性分析: 是否稳定 稳定程度 对设计进行评估 可被实验验证

34 34 环路增益 T 的函数: 闭环电压增益 1+T GVGV G CL T ESR Zero f C (bandwidth) G CL 越小, 输入动态响应越快 带宽 fc 越宽，输入动态响应越快 GVGV X -A Fm GdGd T ZPZP

35 35 ZCL 用于负载动态响应 Z CL 越小, 负载动态响应越快 最小高频 Zo 等于 ESR 1+T ZPZP Z CL T ESR Zero f C (bandwidth) ESR GVGV X -A Fm GdGd T ZPZP 环路增益 T 的函数: 闭环输出阻抗

36 36 Co Q1 Q2 L + RLRL Rc Ro ZOZO 1+T ZPZP Z CL T ESR Zero f C (带宽) ESR 当 f 趋于极大 C 短路， L 开路 最小 Z O : ESR ESR越小, 负载动态越快 T 越高, 负载动态越快 闭环输出阻抗

37 37 理想环路增益特性 高的直流电压增益以减小DC误差 高带宽以提高负载动态响应速度 以-20dB/dec 斜率穿越 0dB 以提高相位裕量 高频部分高的衰减以减小对噪声的敏感性 |T| f C (带宽) -180 o G m : 增益裕量 相位裕量 0dB TT

38 38 环路增益 T 的实例 T -90 o -45 o 0o0o 一阶系统 ω 绝对稳定 90 o 相位裕量 -20dB/dec 相位裕量: 90 o -180 o (-1,0) Gm (S=0) S 平面 S=jω的意义： T=1/(1 + j) @ S=jω p 幅值 = -20 log 相位 = -45 degree

39 39 T -180 o -90 o 0o0o 二阶系统 ω 稳定  相位裕量: 可能会非常小（取决于Q） 增益裕量: 理论上无穷大 -40dB/Dec (-1,0) Gm (S=0) S平面 |T|=1 S = jω o 环路增益 T 的实例 

40 40 基本极点和零点特性 单极点 极点处（f p ）相位滞后45 度 >10 f p 后相移（接近）90 o -20 dB/dec 单零点 零点处（f z ） 45 o 相位超前 >10 f z 后相移（接近）90 o +20dB/dec T 90 o 45 o 0o0o ω 20dB/Dec

41 41 直流增益 GVGV A Fm GdGd T ZPZP + + V REF - Error 直流增益越高，直流稳态误差越小 40dB 直流增益, 则 1% 误差 OUTPUT

42 42 补偿器设计

43 43 GVGV -A(S) Fm GdGd T ZPZP + 环路设计的目标 将总环路增益 T 校正，以达成 以下目标  低频段高增益  >40 度相位裕量  > 10 dB 增益裕量  高带宽以加快动态响应

44 44 Crossover Frequency 负载动态响应 和 相位裕量 的关系 （时域指标 和 频域指标 的关系） 通过铃振的程度可以判断 相位裕量 –45º 度相位裕量是足够的 穿越频率等于铃振频率 –穿越频率应该在 开关频率的 1/5 至 1/10 左右  =15   =30   =45   =60 

45 45 补偿器设计 (电压模式控制) 降压变换器 T ESR Zero f C (bandwidth) -180 o -90 o 直流增益小，需要增加积分环节 双极点 : 180 o 滞后 如果零点频率ω z > 3倍极点频率ω o， 则相位裕量几乎为 0 o 如果 ESR 零点 ωz < 3 倍极点频率ω o ，则稳定 补偿器为常数增益的话 0o0o ωZωZ

46 46 T ESR Zero ω C (带宽) -180 o -90 o 积分环节: 90 o 滞后; 双极点: 180 o 滞后 需要降低带宽，否则难以稳定 需要在穿越频率ω C 前引入两个零点 补偿器为积分环节的话 -270 o ωZωZ -20dB/dec -60dB/dec -40dB/dec 不稳定 补偿器设计 (电压模式控制) - 续

47 47 GdFmGdFm ESR 零点 A(S) 双零点 xx 双极点 积分环节 |T| fCfC TT -90 o -180 o III型补偿特性 基于开环增益设计 加入一个积分环节以保证高的 直流增益 在 fo 附近加入双零点以补偿由 于双极点带来的相位置后 加入两个高频极点，补偿ESR 零点以及衰减高频噪声 确保增益在 fc 之后减小 确保在穿越频率 fc 处相位置后 最小

48 48 R2 - + V REF R1 C3 R3 C1 C2 vovo vCvC ZFZF ZIZI 补偿器输出 零点: 1. R2, C1; 2. R1+R3, C2 极点: 1. DC 2. R2, C3 if C1>>C3 3. R3, C2 III型补偿器电路

49 49 Gd(S) GVGV -A Fm GdGd T ZPZP + A(S): 补偿器 III 型补偿器：两个零点 (ω z1, ω z2 )，三个极点(0, ω p1, ω p2 ) 环路增益与输入电压成正比 需要引入输入电压前馈 环路设计(电压模式控制)

50 50 补偿器的设计目标 目标是 在功率级元件确定的参数 ω z, ω o, Q, V IN, PWM 增益 F m 的基础上，选择补偿器的参数 K c, ω z1, ω z2, ω p1, ω p2, 来校正 环路增益曲线，以达到 稳定 及 优化的 性能。

51 51 A(S) G d (S) T ω p1 ω p2 ωcωc FmGdFmGd ESR 零点 ωzωz ωoωo 积分环节 -20dB/dec ω z1, ω z2 -40dB/dec 1.带宽 f c = (1/5-1/10) f s 2.ω z1, ω z2 靠近 ω o 3.ω p1 抵消 ESR 零点 ω z 4.ω p2 = 10 ω c 5.确定 K c 6.选择补偿器的 电阻 及 电容 环路设计 (实例1)

52 52 GdFmGdFm ESR零点 A(S) 两个零点 xx 两个极点 积分环节 |T| fCfC TT -90 o -180 o 用一个积分环节以提高直 流增益 在 fo 两边放两个零点 用两个高频极点抵消 ESR零点，并增加高频部 分的衰减速度 开环频率特性 环路设计 (实例2)

53 53 GdFmGdFm II 型补偿电路： 具备一个零点，两个极点 在ESR 零点靠近双极点时，选 择补偿零点 ω z1 < 3 ω o A(S) 单零点 x 单极点 积分器 |T| ωCωC TT -90 o -180 o ωzωz II 型补偿器电路

54 54 环路增益 T：输入电压的函数 fCfC -90 o -180 o VIN Vin高时，相位裕量很小 T 是 VIN 的函数， 需要用电压前馈来抵 消VIN 对 T 的影响

55 55 v comp v ramp d VPVP 带输入电压前馈的补偿器 PWM 比较器 Fm + - V P = K V IN 前馈 : PWM 斜率是输入电压的函数

56 56 加入输入电压前馈的环路增益 环路增益与输入电压无关 快速的输入动态响应，只与 Vramp = f(VIN) 的转换速度 K 相关

57 57 如何测量环路增益 VOVO L PWM 比较器 - + V REF 补偿器 V IN R Co Q1 Q2 + R ESR Gate driver R1 VCVC - + R2 A(S) Vexcite = 10-20mV 网络分析仪（例如 AP200 ） a 和 b: 20-50mV 扰动 ; c: 取决于输出电压 a b c

58 58 建模，仿真 以及 测试 实例 TPS40200 电压模式控制器 输入电压范围 : 4.5V ～ 50V 输入电压前馈功能 PWM 斜率电压 = VIN/10 可调开关频率 Vout: 0.7V ～ 90% VIN VIN=20V, VOUT= 5V, fs = 300kHz, L=47uH, Co=22uF/10m 

59 59 VOVO L: 47uH, 0.25  PWM 比较器 - + VREF 0.7V V IN 20V R Co 22  F Q1 D + R ESR 5m  Gate driver VCVC - + Rx 4.99k A(S) R2: 23.2k C1:1.5n C3: 10p R1 30.9k C2 1n R3 1.15k + 用 III 型补偿校正电压模式降压转换器

60 60 PSPICE （PC Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis） 电路仿真 PWM 小信号平均模型 Type III 补偿器 环路增益测试扰动 PWM 增益

61 61 PSPICE 仿真结果 测试结果 VOUT IOUT 负载跳变: 0.4A to 0.8A 仿真及测试结果 VOUT IOUT

62 62 VOUT IOUT 负载跳变: 0.1A to 1.5A PSPICE 仿真结果 测试结果 仿真及测试结果

63 环路带宽仿真： MathCAD 对比 PSPICE -180 MathCAD PSPICE 带宽 35kHz 带宽 45kHz 相位裕量 65 degree 相位裕量 70 degree

64 64 材料来源 : Buck Converter Modeling, Control, and Compensator Design - Jinrong Qian, Ph. D. (TI) 参考 : Fundamentals of Power Electronics - R. W. Erickson