第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容 : 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三章 第三章.

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1 第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容 : 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三章 第三章

2 一、 弧微分 设 在 (a, b) 内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 则弧长微分公式为 或 几何意义 : 若曲线由参数方程表示 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4 二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意 : 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为

5 例 1. 求半径为 R 的圆上任意点处的曲率. 解 : 如图所示, 可见 : R 愈小, 则 K 愈大, 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则 K 愈小, 圆弧弯曲得愈小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 曲率 K 的计算公式 二阶可导, 设曲线弧 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7 说明 : (1) 若曲线由参数方程 给出, 则 (2) 若曲线方程为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8 例 2. 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线, 处的曲率. 点击图片任意处播放 \ 暂停 说明 : 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l << R. 其中 R 是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须 连续变化, 因此铁道的 曲率应连续变化.

9 例 2. 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线, 且 l << R. 处的曲率. 其中 R 是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:解: 显然

10 例 3. 求椭圆 在何处曲率最大 ? 解:解: 故曲率为 K 最大 最小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点 :

11 设 从而 K 取最大值. 这说明椭圆在点 处曲率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值 : 最大.

12 三、 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点, 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ), R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点 M 处曲率圆与曲线有下列密切关系 : (1) 有公切线 ;(2) 凹向一致 ;(3) 曲率相同. M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束

13 设曲线方程为 且 求曲线上点 M 处的 曲率半径及曲率中心 设点 M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

14 由此可得曲率中心公式 ( 注意 与 异号 ) 当点 M (x, y) 沿曲线 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线, 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程 ( 参数为 x). 点击图中任意点动画开始或暂停

15 例 4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面, 问选择多大的砂轮比较合适 ? 解 : 设椭圆方程为 由例 3 可知, 椭圆在 处曲率最大, 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过时, 才不会产生过量磨损, 或有的地方磨不到的问题. 例 3 目录 上页 下页 返回 结束

16 ( 仍为摆线 ) 例 5. 求摆线 的渐屈线方程. 解:解: 代入曲率中心公式, 得 摆线 目录 上页 下页 返回 结束

17 摆线 半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时, 点击图中任意点动画开始或暂停 其上定点 M 的轨迹即为摆线. 参数的几何意义 摆线的渐屈线 点击图中任意点动画开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束

18 内容小结 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径 曲率中心 机动 目录 上页 下页 返回 结束

19 思考与练习 1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系 ? 答 : 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线的曲率半径 R, 并分析何处 R 最小 ? 解:解: 则 利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束