数学空间概念的发展 10数应2班36号: 牛元民.

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1 数学空间概念的发展 10数应2班36号: 牛元民

2 数学空间的概念及意义 数学中的空间是物理空间概念的延伸和抽象。如欧几里得空间、双曲空间、黎曼空间、各种函数空间和拓扑空间等等。它们反映了人们对空间结构各种属性认识的发展。 人们对各种数学空间的研究，反映了人们从局部、粗浅的直观到更深刻地认识空间的各种属性的过程。例如，拓扑学的发展，使人们对空间的维数、连续性、开闭性、空间的有边和无边以及空间的定向都有了更深入、更本质的理解。

3 流形概念是空间概念的重要发展。 流形的研究对于空间的有限与无限、局部与整体的认识产生了新的飞跃。它从局部上看是欧几里得空间，但从整体上看可以有各种形式，对于物理空间的研究有着推动作用。例如，闵可夫斯基空间是狭义相对论的数学模型，黎曼空间则成为广义相对论的数学模型。 黎曼几何学 展现黎曼空间的埃舍尔画作《画廊》

4 数学空间概念的发展 最早的数学空间概念是欧几里得空间。它来源于对空间的直观，反映了空间的平直性、均匀性、各向同性、包容性、位置关系（距离）、三维性，乃至无穷延伸性、无限可分性、连续性等方面的初步认识。 19世纪20年代，非欧几何的出现突破了欧几里得空间是唯一数学空间的传统观念。它的空间概念更具抽象性，与欧几里得空间统一成常曲率空间。 19世纪中叶，黎曼还引进流形概念。它对物理空间的认识起了很大作用，同时大大丰富了数学空间概念。 19世纪末20世纪初，人们给出了维数的拓扑定义，并对函数空间的度量性质进行深入研究，从而产生了一系列重要的数学空间概念，特别是一般的拓扑空间概念。拓扑空间是空间的更抽象形式。

5 拓扑空间 在数学上，哥尼斯堡七桥问题都拓扑学发展史的重要问题。
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个似乎简单有趣的问题难倒了大家。1736年大数学家欧拉得知该问题后，用一种独特的方法给出了解答。他把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 哥尼斯堡七桥问题

6 具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。拓扑空间中根据其集解方法有平庸拓扑空间、离散拓扑空间、连通空间、道路连通空间、紧空间、列紧空间、豪斯多夫空间、平凡拓扑的空间、连续函数芽集等。 拓扑谜题——剪刀、纽扣和绳结

7 拓扑结构反映点与点之间的亲疏远近关系，舍弃了欧几里得空间的距离和向量空间的向量长度这些概念。
20世纪30年代后，数学中的各种空间在数学结构的基础上得到统一处理，人们对各种数学空间获得较完善的认识，并随着对物理空间认识的深入以及数学研究的发展，从代数、几何、拓扑方面推广各种数学上的空间观念。在代数方面对空间概念的推广主要来源于解析几何的产生和发展。几何对象（点、线等）与数组结成对应关系，使人们可以对空间进行精确的定量描述。这样便容易把坐标三数组推广到坐标 n数组（向量），其所对应的空间即为 n维线性空间或向量空间。

8 这种空间从维数上对欧几里得空间做了推广，但抽去了欧几里得空间中的距离概念。实数域上的线性空间通常可以推广到一般域上，特别是有限域上的线性空间成了只有有限多个点的空间，其空间的连续性也被舍弃了。从代数和几何方面，可以把空间推广成仿射空间和射影空间。射影空间可通过几何方法或坐标方法把无穷远点和无穷远线包括在内。另外，也可以通过数组、相空间、状态空间等等使各种空间成为物理学乃至其他科学处理运动的直观模型

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