经济数学 第六章 多元函数微分学.

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1 经济数学 第六章 多元函数微分学

2 6.1 二元函数的极限与连续 6.2偏导数和全微分 6.3复合函数与隐函数的微分法 6.4二元函数的极值

3 第六章 多元函数 6.1 二元函数的极限与连续 6.1.1二元函数的概念 1.空间解析几何简介
第六章 多元函数 6.1 二元函数的极限与连续 6.1.1二元函数的概念 1.空间解析几何简介 为了确定空间上一个点的位置，我们需要引入空间直角坐标系． 为此,过空间中一点 分别作三条互相垂直的数轴 (见右图所示)，常称这三条数轴为三个坐标轴，分别记为 轴、 轴和 轴．

4 三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标平面，分别是
xOy面 yOz面 zOx面 z 三个坐标平面把空间分成八个部分,称为八个卦限. y x

5 2 .空间点的坐标 设 为空间中任意一个点,过 点分别作三个平面,并使得其分别与 轴 轴 轴垂直, 则该三个平面分别与三个坐标轴各有唯一一个交点A、B、C, 设 OA= , OB= , OC= ,那么点 唯一确定了一个三元的有序数组 ;反过来,对于任意一个三元有序数组 ,必可以分别在 轴、 轴、 轴上找到一个点A、B、C,使得OA= ,OB= ,OZ= ,然后,分别过A、B、C三点作平面,(见右图所示)使其分别

6 垂直于三个坐标轴,那么这三个平面必然交于一个点.可见空间中任何一个点 必然与一个三元有序数组
为点 的坐标,记作 有一一对应关系.于是,我们称三元有序数组 垂直于三个坐标轴,那么这三个平面必然交于一个点.可见空间中任何一个点 必然与一个三元有序数组 在直角三角形 中 显然有 3.空间两点间的距离 而在直角三角形 中 设 为空间任意两点, 则这两点之间的距离为 例1 求空间中点(2,4,-1)到坐标轴 的距离. 因此 解 点(2,4,-1)到 轴的距离,显然即为点(0,4,-1)到原点(0,0,0)的距离, 于是其距离为:

7 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹
空间曲面和空间曲线的一般方程 曲面的方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹 曲面上任一点的坐标都满足方程，不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则称此方程为曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。

8 为某商品的销售量， 为商品的销售价格， 为购买商品的人数为设此种商品的销售量 与 ，
6.1.3二元函数 1.引例 例1 矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系 S=xy (x>0,y>0)， 其中长x 和宽y 是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y 的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应. 为某商品的销售量， 为商品的销售价格， 为购买商品的人数为设此种商品的销售量 与 ， 例2 有关系： 其中， ， ， 均为正常数

9 2.二元函数的定义 定义 设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z 为x，y的二元函数，记作 z=f(x,y) 或 z=z(x,y)， 其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.

10 类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.
与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素。 函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.

11 例： 求函数 的定义域(a>0,b>0).
解 函数的定义域由不等式组 其图形是矩形内部(包括边界). 例： 求函数 的定义域. 解 函数的定义域为 它的图形是单位圆内部(不包括边界).

12 二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点.
全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域.这三个条件是： (1) 其边界是由一条或几条曲线所组成, (2) 点集内不包含边界上的点, (3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.

13 如果上述条件(1)，(3)不变，将(2)改为 ：
点集内包含边界上所有的点. 这种平面点集称为平面闭区域. 如果一个区域可以被包围在 一个以原点为圆心的某个圆内， 则称此区域为有界区域， 否则称其为无界区域.

14 6.1.4 二元函数的极限与连续 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义(点(x0,y0) 可以除外),如果动点P(x,y) 以任意方式趋于定点(x0,y0)时，函数的对应值f (x,y)趋于一个确定数A，则称A为函数z=f(x,y),当 时的极限，记作 或 对于二元函数的极限存在，是指当P(x,y)以任意方式趋于定点P0(x0, y0)，函数都无限接近于A. 当P(x,y)以不同路径趋于点P0(x0, y0) 时，函数趋于不同的 值，则可以断定函数在该点的极限不存在.

15 定义 如果当 时，函数z=f (x,y)的极限存在，且等于它在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，
即 则称函数f(x,y)在点 P0(x0,y0)处连续. 如果函数z=f (x,y)在开区域D上各点都连续，则称函数z=f (x,y)在开区域D上连续.连续的二元函数z=f (x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.

16 如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点.
则点P0(x0,y0)为函数的z=f(x,y)的间断点.

17 与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：
性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值. 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.

18 6.2 偏导数和全微分 偏导数 偏增量 定义　 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，相应函数有增量 称为关于 x 的偏增量．记为 即 相应的

19 1.偏导数的定义 如果极限 存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作 即 类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为

20 记为

21 偏导函数: 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即 存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作

22 偏导函数: 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即 存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作

23 2、偏导数的求法 求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.
例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 时，可将 自变量y 看成常数(即将z看成x的一元函数)，只需z对x 求导.

24 若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需
先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 ，这样就得到了函数 z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入 z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以 x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为 常数y0.

25 例：设 ，求 ， ， 和 解： = -1 = -14

26 例：设 ，求 和 解： 类似可得，

27 由上面的例子可以看出，函数 对于x 或y 的偏导数仍是x，y的
数称为 的二阶偏导数，记为 纯导数 混合偏导数 或简记为 或

28 例：设 ，求二阶偏导数. 解：

29 例：设 ，求 ， ， ， ， 解： 、 、 、

30 问题：混合偏导数都相等吗？ 例：设 ，求 的二阶混合偏导数. 解： 当 时， =0 =1 显然，

31 问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．

32 6.2.2 全微分 一、全微分的定义 全增量设二元函数y = f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内有定义.当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 和 时，函数的全增量为

33 例：设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加 ，宽自y0增加 ，其面积相应增加
全增量 由 三项组成. 比其余两项小得多.

34 定义 设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量
可表示为 其中A，B与 无关， 是比 高阶的无穷小，则称 为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记作dz，即 也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.

35 二、 全微分在近似计算中的应用 从二元函数全微分定义可知，全增量与全微分之差是 的高阶无穷小，所以当 很小时有 又 从而

36 例：求z=xy在点(2,3)处，关于 的全增量与全微分.
解 将各值代入上式，得到

37 例： 求 的近似值. 解 计算 的值可以近似看作 当 时 的值 取

38 6.3复合函数与隐含数的微分法 6.3.1 复合函数的微分法 设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的
复合函数的微分法 设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 ，如果能构成 z 是x ,y 的 二元复合函数 如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？

39 定理 设函数 在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 在点(x,y)处的偏导数 存在，且 复合函数的结构图是

40 下面借助于函数的结构图，利用链式法则导出全导数公式.
1.设函数w =f (u,v)有连续偏导数，而 可导，则复合函数 只是自变量x的函数， 求z 对x的导数 可得

41 例： 设 求 解法1 得

42 解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到
，z 是x，y二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得

43 例： 设 ,其中f(u,v)为可微函数，求 解 令 ，可得 其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.

44 例：设 求 解 在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的. 显然不等于 .

45 例： 设 求 解 得

46 一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求导公式
隐含数的微分法 一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求导公式 若函数F(x, y)在点P0(x0,y0)处的偏导数 ， 则方程F(x,y)=0在点P0的一个邻域内，确定了一个隐 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数 求导的一般公式.

47 二、由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
将z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式 将上式左端看成x，y的复合函数，两端对x和y求导，得 前面已假定 ，由上式解出 ，得

48 例：设 解 将方程定成 ，令 若 ，方程F(x,y,z)=0确定了函数z=z(x,y)，由公式(4)，得

49 6.4 二元函数的极值 二元函数的极值 定义 设函数 在点 (x0,y0) 的某一邻域内有定义，如果在该邻域内任何点 的函数值恒有 则称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点). f (x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值. 极大值点和极小值点统称为极值点.

50 注 （1）极值点一定是区域内的点 （2）不等式f(x,y)≤f(x0,y0 )(或f(x,y)≥f(x0,y0)) 也只在某个邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上成立

51 定理 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有
注（1）驻点不一定是函数的极值点.例如，函数z=x2–y2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即 容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点. （2）极值点也可能不是驻点，因为偏导数 不存在的点也可能是极值点，如锥面 的 顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点.

52 定理 (极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数的一个驻点，即 ,记
，则 当B2–AC<0时, 是函数的极值点, A<0时, 为极大值点，f(x0,y0)为极大值； A>0时， 为极小值点，f(x0,y0)为极小值. (2) 当B2–AC>0时，f(x0,y0)不是极值. (3) 当B2–AC=0时，f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值.

53 综合以上两个定理，对于具有二阶连续偏导数的函数 求其极值的步骤如下：
1.求方程组 的一切实数解，得到所有驻点. 2.求出二阶偏导数 ，并对每一驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C. 3.对每一驻点(x0,y0)，定出B2–AC的符号，按照定理2的结论判定f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值.

54 例： 求函数 的极值. 解 求方程组 的一切实数解，得驻点(1,0). 求函数的二阶偏导数 在(1,0)点处，有A=2，B= –1，C=2. B2–AC= –3<0，且A>0， 由极值的充分条件，得f(1,0)= –1为极小值.

55 C(万元)与A、B两种产品的产量 (百件)与 (百件)之间具有如下关系
解 令 得方程组 解得驻点为 ,即 ,又 而 所以 ,因此 为极小值点, 又由于仅有唯一一个极值点,因而它也是最小值点.此时 (万元) 故:当A、B两种产品的产量分别为100件和200件时,可使

56 总成本最低.最低成本为5万元. 二、条件极值 1.条件极值的概念 在求函数 的极值时,有时其自变量 会受到另一个方程 的制约,我们称这样的函数极值为条件极值,其中称方程 为约束条件. 以上条件极值问题是针对二元函数定义的 类似的也可以定义三元、四元及更多元的条件极值,且它们的约束条件可以不止一个,但要注意约束条件的个数须小于自变量的个数. 2.条件极值的解法 条件极值一般有两种解法:(1)化为无条件极值法;(2)拉格朗日乘数法.

57 在条件极值中,可以从约束条件 中解出变量 (或变量 ),代入目标函数中,则可将条件极值问题转化为无条件极值问题,这种方法称之为化无条件极值法;但条件极值往往很难化为无条件极值. 下面介绍一种直接求条件极值问题的方法 拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法的一般解题步骤为: (1)构造拉格朗日函数 (2)分别求 对 的偏导数,令其为零建立方程组 并解该方程组得

58 (3)判断 是否为极值点(一般可以根据实际问题的背景判断即可).
例： 某化妆品公司计划通过报纸和电视台做化妆品的促销广告.根据统计资料,销售收入R与报纸广告费用 (百万元)和电视广告费用 (百万元)之间有如下关系: (1)若不限制广告费的支出,求最佳广告策略; (2)若可供使用的广告费为150万元,求相应的最佳广告策略. 解 纯销售收入=销售收入-广告费支出.因此 (1)该公司的纯销售收入为

59 于是,原问题转化为求使得该函数达到最大值时的自变量的取值. 显然它是无条件极值问题,为求解,令
解之得驻点为 又 所以 , 即 又 ,所以 是极大值点, 又因为极值点仅有唯一一个,所以它也必然是最大值点, 即报纸广告费投入75万元,电视广告费投入125万元为最佳广告策略.此时该公司纯销售收入最高.

60 (2)如果限定广告费支出为150万元.则问题转化为求函数 在条件 限制下的条件极值问题.
用拉格朗日乘数法求解如下: 构造拉格朗日函数 求偏导数,建立方程组得 解之得 故根据该问题的实际意义知,此时将广告费全部用于电视广告,可使得该公司获得最大的纯销售收入.