静电场的Laplace方程和Poisson方程

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1 静电场的Laplace方程和Poisson方程
弦的微小横振动方程和杆的纵振动方程 扩散和热传导方程 Schrödinger方程 定解问题和定解条件

2 初始条件 初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象 是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地
描述该现象。（稳定问题不需要初始条件） 如对于传导或扩散过程，需要初始条件确定体系的初始状态： 对于振动过程，所需初始条件则需要包含速度的信息：

3 边界条件 体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界 条件确定. 边界条件反应体系和外界的界面上的情况.
常见的边界条件可以分为三类 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件

4 第一类边界条件 (Dirichlet条件) 第一类边界条件给出未知函数在边界上的取值，即

5 第二类边界条件 (Neumann条件) 第二类边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的取值，即

6 第三类边界条件 (混合边界条件) 第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数的线性组合在边界上的取值，即

7 第一、二、三类边界条件可以统一地写成 其中 是边界上的变点； 表示物理量 沿边界外法线方向的方向导数； 为常数，它们不同时为零．

8 （P159） 除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（定解问题所需边界条件的数目？）

9 三类定解问题 定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解
条件的情况,可以把定解问题分成三类: 只有初始条件,没有边界条件 初值(Cauchy)问题 只有边界条件,没有初始条件 边值问题 既有初始条件,又有边界条件 混合问题

10 定解问题的适定性 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性，统称为 定解问题的适定性。 存在性：定解问题是否有解 唯一性：定解问题的解是否唯一
稳定性：定解问题的解是否稳定 只要对实际物理问题的抽象是合理的，初始条件 完全地、确定地描写了初始时刻体系内部和边界上的 状况；边界条件完全而确定地描写了边界上任意一点 的状况，那么这样构成的定解问题就一定是适定的， 也就是说，解一定是存在的、唯一的和稳定的。

11 二阶线性偏微分方程

12 (1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称
为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．

13 线性（偏微分）方程的性质 引入线性算符 L，则线性（偏微分）方程总可以表示为： 其中 u 是未知函数；f 是已知函数，称为方程的非齐次项。

14 方程的通解和特解 一般地，一个 n 阶常微分方程的通解含有 n 常数。一 个 n 阶偏微分方程的通解含有 n 个任意函数。

15 数学物理方程的分类 考察二元二次方程： 二次型的主轴定理

16 类似地，二阶线性偏微分方程 一定可以改写为如下“形式”：

17 由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点
总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。

18 两个自变量的情形 显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程； 一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程和定态
Schrödinger方程是椭圆型方程。 （三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程 是什么类型的方程？）

19 常系数线性偏微分方程

20 常系数线性齐次偏微分方程的通解

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