二、二阶导数的应用 4.5 函数极值的判定 [定理4.6]

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1 二、二阶导数的应用 4.5 函数极值的判定 [定理4.6]
4.5 函数极值的判定 [定理4.6] 如果函数f(x)在x0附近有连续的二阶导数f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么 ⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值

2 例4.11 求下列函数的极值 ⑴ f(x)＝2x3－3x2 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π] 解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f"(x)＝12x－6 令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0 ∵f"(1)＝6＞0，f"(0)＝－6＜0 把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、f(0)＝0 ∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0

3 例4.11 求下列函数的极值 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π] 解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0， 得驻点为x1＝ ，x2＝ ，又f"(x)＝－sinx－cosx， 把x1＝ ，x2＝ 代入原函数计算得 f( )＝ 、f( )＝－ 。所以当x＝ 时，y极大＝ ，x＝ 时，y极小＝－ [注意] 如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本定理无效，则需要考察点x0两边f'(x)的符号来判定是否为函数的极值点。

4 4.6 函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性 设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的， 如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。 从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。 [定理4.7] 设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b)内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的，如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b)内是凸的。

5 例4.13 判定曲线y＝ 的凹凸性 解：∵y＝ ∴f'(x)＝－ ，f"(x)＝ ， 无拐点但有间断点x＝0 当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。

6 例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性 解：∵y'＝－sinx，y"＝－cosx， 令y"＝0，得x1＝ ，x2＝ ∴当x∈(0, )时，f”(x)＜0，曲线在(0, )内为凸的， 当x∈( )时，f”(x)＞0，曲线在( )内是凹的， 当x∈( ,2π)时，f”(x)＜0，曲线在( ,2π)内为凸的。

7 2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0 的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤] ⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根； ⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0)) 是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点 (x0,f(x0))不是曲线的拐点。

8 例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0 当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲 线上的拐点。 例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2 ∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。

9 4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准 确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为： ⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函 数图象和两坐标轴的交点； ⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值 点和增减区间； ⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸 区间； ⑷ 计算驻点、拐点处的函数值； ⑸ 列表，描绘函数的图象。

10 三、高阶导数的应用 4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示 一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么 我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?

11 [定理4.8] 设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导数，那么 其中Rn(x)＝ (ξ在0与x之间) 上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展 开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。

12 当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无
穷小量，可表示为Rn(x)＝O(xn)。 O(xn)称为皮亚诺余项。 这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表 示为： 一般地，函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为：

13 4.9 几个初等函数的泰勒公式 例4.19 求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex ∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1 于是，ex在x＝0点的泰勒展开式为： 在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式

14 例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式
解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1 f(4)(0)＝0，… f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：

15 例4.21 求函数f(x)＝cosx在x＝0点的泰勒展开式
解：∵f'(x)＝-sinx，f"(x)＝-cosx，f"'(x)＝sinx f(4)(x)＝cosx，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0 f(4)(0)＝1，… f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n 于是，cosx在x＝0点的泰勒展开式为：

16 例4.22求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式
解：∵f'(x)＝ ，f"(x)＝ ， f"'(x)＝ ，f(4)(x)＝ ，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2! f(4)(0)＝-3!，… f(n)(0)＝(－1)n－1(n－1)! 于是，ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式为：

17 4.10 罗必塔法则 1. 不定式 [定理4.9] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a 的某一邻域内(点a除外)，f’(x)、g’(x)均存在， g’(x)≠0，且 存在(或无穷大)，则

18 证明： 根据柯西定理有 ∵ξ在x与a之间，∴当x→a时ξ→a ∵ ， ∴ 这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它 们导数的商的极限。 当x→∞时，上述定理也成立。

19 例4.23 求极限 解：当x→0时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有 例4.24 求极限 解：当x→1时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有

20 例4.25 求极限 解：当x→∞时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有

21 2. 不定式 [定理4.10] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点 a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)≠0 且 存在(或无穷大)，则 当x→∞时，上述定理也成立。

22 例4.26 求 解：当x→0+时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有 例4.27 证明当a＞0时， ＝0 证明：根据罗必塔法则 这表明，无论是α一个多么小的正数，xα趋于＋∞ 的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。

23 [作业] P ,2 ⑴⑵⑷,3 ⑴⑵⑶,4 ⑴⑵⑷ P ，5 复习题四 1 ,2 ,7 ,8 ,13 ⑵⑶⑷⑹⑺⑻