第三章 习题课 中值定理及导数的应用 一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束.

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1 第三章 习题课 中值定理及导数的应用 一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2 一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理
1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
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4 (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
3. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5 例1. 设函数 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 再取异于 的点 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 (定数)
证: 取点 再取异于 的点 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 (定数) 可见对任意 即得所证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 例2. 设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然
例2. 设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 少存在一点 使 即有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件,
例3. 且 试证存在 证: 欲证 即要证 故有 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, ① 故有 ② 将①代入② , 化简得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8 例4. 设实数 满足下述等式 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 则可设 且 由罗尔定理知存在一点 使 即
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9 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 试证必存在 (03考研) 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 由介值定理, 至少存在一点 分析: 所给条件可写为 想到找一点 c , 使 由罗尔定理知, 必存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10 例6. 设函数 在 上二阶可导, 且 证明 证: 由泰勒公式得 两式相减得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11 二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化
最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 4. 补充定理 (见下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

12 定理. 设函数 在 上具有n 阶导数, 且 则当 时 则 证: 令 利用 在 处的 n －1 阶泰勒公式得 因此 时
证: 令 利用 在 处的 n －1 阶泰勒公式得 因此 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

13 例7. 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 单调增区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示:
单调减区间为 ; 单调增区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 提示: 的连续性及导函数 的正负作 f (x) 的示意图. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

14 (2) 设函数 的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图 形在区间 上是凹弧; 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 . 提示:
形在区间 上是凹弧; 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

15 例8. 证明 在 上单调增加. 证: 令 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得 故当 x > 0 时, 从而 在
上单调增. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

16 例9. 设 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 .
证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 改为 其它不变时, 如何设辅助函数? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

17 例10. 求数列 的最大项 . 用对数求导法得 证: 设 极大值 令 得 列表判别: 因为 在 只有唯一的极大点 因此在 处 也取最大值 .
证: 设 极大值 令 得 列表判别: 因为 在 只有唯一的极大点 因此在 处 也取最大值 . 又因 中的最大项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

18 例11. 证明 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明 时, 如何设辅助 函数更好 ? 提示:
证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明 时, 如何设辅助 函数更好 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

19 例12. 设 且在 上 存在 , 且单调 有 递减 , 证明对一切 证: 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立 .
例12. 设 且在 上 存在 , 且单调 有 递减 , 证明对一切 证: 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

20 例13. 证: 只要证 利用一阶泰勒公式, 得 故原不等式成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

21 例14. 证明当 x > 0 时, 证: 令 则 在 处的二阶泰勒公式 , 得 法1 由 与 1 之间) 故所证不等式成立 .
法1 由 与 1 之间) 故所证不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

22 法2 列表判别: 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

23 法3 利用极值第二判别法. 故 也是最小值 , 因此当 时 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

24 例15. 求 解法1 利用中值定理求极限 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

25 解法2 利用泰勒公式 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

26 解法3 利用罗必塔法则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

27 作业 P ; 7 ; 8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 机动 目录 上页 下页 返回 结束