量 子 力 学 (Quantum Mechanics) 西华师范大学 物理与空间科学学院.

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1 量 子 力 学 (Quantum Mechanics) 西华师范大学 物理与空间科学学院

2 研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。

3 第一章 绪 论 本章主要介绍经典理论遇到的问题，以及量子力学产生的过程。

4 绪 论（1） (一）经典物理学 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：
绪 论（1） (一）经典物理学 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论： 经典力学从牛顿三大定律发展为分析力学； 牛顿的光学也发展起来，被后来的波动光学取代； 电磁学也发展起来了； 热学，建立了以热力学定律为基础的宏观理论，同时， 玻尔兹曼、吉布斯建立了称之为统计物理学的微观理论。 物理理论促进了生产力的发展：第一次工业革命（ ）,以蒸汽机的发明和应用为标志。第二次业革命（ ），电力的广泛应用。

5 绪 论（2） （1）黑体辐射 （2）光电效应 （3）原子结构的玻尔理论 （4）微粒的波粒二象性

6 黑 体 辐 射 1. 产生背景 能量密度  (104 cm) 5 10 现实生活中，炼钢炼铁所得出的结果。
5 10 现实生活中，炼钢炼铁所得出的结果。 黑体：能完全吸收射投射在上面的辐射而无反射的物体。 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。

7 2. 理论解释 维恩解释： 能量密度  (104 cm) 5 10 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： 短波部分与实验吻合
5 10 维恩解释： 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： 短波部分与实验吻合 维恩位移定律

8 从经典电动力学和统计物理出发，得到一个分布公式：
瑞利-金斯解释： 从经典电动力学和统计物理出发，得到一个分布公式： 瑞丽-金斯线 能量密度  (104 cm) 5 10 长波部分与实验吻合，短波部分则明显不一致,出现紫外灾难。

9 维恩 瑞利 金斯 普朗克 维恩位移定律（47岁获诺奖） 惰性气体氩的发现（62岁获诺贝尔奖） 能量量子的提出（60岁获诺贝尔奖）

10 h =6.6255910-34 焦耳•秒 普朗克的解释： 1900年12月14日普朗克假定：
黑体以 为能量单位不连续地发射和吸收频率为 的辐射，而不是像经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 h = 10-34 焦耳•秒 因此，黑体与辐射场交换能量只能以ε为单位进行，亦即黑体吸收或发射电磁辐射能量的方式是不连续的，只能量子地进行，每个“能量子”的能量为

11 黑体辐射公式 普朗克线 能量密度  (104 cm) 5 10

12 讨论： 可见由维恩、瑞利-琼斯分别从经典物理学导出的黑体辐射能量密度公式仅是普朗克公式在两种不同特例条件下的近似结果。
维恩公式 普朗克公式 瑞利-金斯公式 可见由维恩、瑞利-琼斯分别从经典物理学导出的黑体辐射能量密度公式仅是普朗克公式在两种不同特例条件下的近似结果。 注：Planck的“能量子”假说与经典物理中振子的能量是连续的相抵触。可见，Planck理论突破了经典物理学在微观领域的束缚，打开了认识光的粒子性的大门。 1918年Planck由此获得诺贝尔物理学奖

13 光 电 效 应 1.光电效应 当波长较短的可见光或紫外光照射到某些金属表面上时,金属中的电子就会从光中吸取能量而从金属表面逸出的现象。
入射光线 O V G A K B 实验装置 1.光电效应 当波长较短的可见光或紫外光照射到某些金属表面上时,金属中的电子就会从光中吸取能量而从金属表面逸出的现象。 金属板释放的电子称为光电子,光电子在电场作用下在回路中形成光电流。

14 结论1：光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系。当入射光的频率小于截止频率时，不管照射光的强度多大，不会产生光电效应。
结论2：光电子从金属表面逸出时具有一定的动能，最大初动能与入射光的强度无关。 结论3：单位时间内,受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比。 经典的电磁波理论无法解释以上现象！

15 2. 理论解释 “光量子”的观点：爱因斯坦指出，电磁场不仅发射和吸收时以能量为 的微粒形式出现，在传播过程中同样以该能量单位以光速c运动，这种粒子叫做光量子，简称“光子” 。 爱因斯坦 （43岁获诺奖） 光电效应的解释 光照射到金属表面，能量为 的光子被电子吸收。电子把吸收的这部分能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分则是离开金属表面后对应的动能。表达式为： 束缚能 截止频率 15

16 光子的动量 相对论中能量动量关系 得到光子的能量动量关系 光子的能量 光子的动量 —波矢量 以上两个关系式，体现了光的粒子性和波动性， 即，波粒二象性。

17 3. 实验验证 康普顿实验 X光管 光阑 散射 物质 康普顿实验装置示意图 X光检测器 晶体

18 实验结果 波长随散射角的增加而增加。 经典电动力学表明：电磁波被散射后，波 长不应该发生改变。 如果这个过程看成是光子与电子的碰撞过程，
则该效应很容易得到理解.

19 理论证明 hv  mv ’ hv' 由能量和动量守恒定律， 可以得到： （1.2.7） （1.2.8） （1.2.6） （1.2.*）

20 我们需要的光子被散射后的波长情况，因此，这里将1.2.8和1.2.7联立求解，消去 ；同时，电子速度也不是我们需要的，也应该消去。将1.2.6平方后后，联立刚才消去 后的方程的求解，得到
’ ’ 电子的康普顿波长

21 此式不仅再次证明了普朗克—爱因斯坦关系式的正确性，还第一次证实了在微观单个碰撞事件中，动量守恒定律和能量守恒定律仍然成立。
1923年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证了康普顿解释。 康普顿和威尔逊获得1927年诺贝尔物理学奖。

22 在新的理论中，Planck常数 起着关键作用，当 h 的作用可以略去时，经典理论是适用的，当 h 的作用不可忽略时，经典理论不再适用。因此，凡是 h 起重要作用的现象都称为量子现象。

23 原子结构的玻尔理论 原子结构 汤姆逊“西瓜”式模型—— 粒子实验相矛盾 卢瑟福核式模型——原子核在原子的中心，电子绕原子核做高速旋转。
汤姆逊“西瓜”式模型—— 粒子实验相矛盾 卢瑟福核式模型——原子核在原子的中心，电子绕原子核做高速旋转。 问题1：原子的稳定性问题。 根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此，绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。

24 原子光谱 光谱是电磁辐射的波长成分和强度分布的记录；有时候只是 波长成分的记录。 线状光谱：光谱上的谱线分明、清晰；原子所产生。
带状光谱：谱长分段密集；分子产生。 连续光谱：谱线连续变化；固体加热所产生。 这说明不同的光谱，发出机制不同。

25 氢原子光谱规律 巴尔末系 （m=2） 赖曼系（m=1） 帕邢系 布喇开系 问题2： 光谱总是线状的，谱线有一定的位置，即谱线彼此分立，且有确定的波长。经典理论无法解释。

26 玻尔量子假设 为了解释氢原子光谱的实验事实，玻尔于1913年提出了他的三条基本假设：
a. 定态假设：电子绕核作圆周运动时，只在某些特定的轨道上运动，在这些轨道上运动时，虽然有加速度,但不向外辐射能量，每一个轨道对应一个定态，而每一个定态都与一定的能量相对应。

27 b.频率条件：电子并不永远处于一个轨道上，当它吸收或放出能量时，会在不同轨道间发生跃迁，跃迁前后的能量差满足频率法则：
c.角动量量子化假设：电子处于稳定的轨道上时,角动量是量子化的.

28 夫兰克-赫兹实验 按照玻尔（Bohr）理论，在原子内存在一系列分立的能级，如果吸收一定的能量，就会从低能级向高能级跃迁，从而使原子处于激发态，而激发态的原子回到基态时，也必然伴随有一定频率的光子向外辐射。 海因里希·鲁道夫·赫兹 光谱实验从电磁波发射或吸收的分立特征，证明了量子态的存在; 而夫兰克-赫兹（Frank-Hertz）实验用一定能量的电子去轰击原子，把原子从低能级激发到高能级，从而证明了能级的存在。

29 夫兰克—赫兹实验的改进 夫兰克—赫兹实验装置

30 索末菲量子化条件 1916年，索末菲（81次提名，6学生获奖）对玻尔的圆轨道模型作出了修正，提出了椭圆轨道模型，把电子绕核的运动由一维运动推广为二维运动，并用两个量子数 n，L 来描述这个系统。

31 玻尔理论缺陷 1. 该理论不能推广到复杂的原子。 2. 该理论不能给出谱线的强度。
3. 仍然把微观粒子看成是经典的粒子，因而把经典力学的规律用在微观粒子上。

32 绪 论（3） 德布罗意 法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。
绪 论（3） 德布罗意 德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理 学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问 题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统 一起来。1924年，在博士论文《关于量子理论的 研究》中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶 体上作衍射实验的想法。 德布罗意的老师郎之万不能确定该理论的正确性。就把资料寄给爱因斯坦，得到爱因斯坦的高度评价：物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。 法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。

33 德布罗意关系式 一个质量为m的实物粒子以速率 v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率n 和波长l所描述的波动性。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。 德布罗意关系式还可以写成 式中， ：角频率； 表示传播方向上的单位矢量。

34 如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：
如电子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 太小测不到！ X射线波段

35 德布罗意波 与自由粒子联系的波是一个单色平面波。频率为v，波长为λ，沿单位矢量 r方向传播的平面波可表为： 复数形式 德布罗意波

36 物质波验证试验 衍射最大值公式 德布罗依关系 电子衍射实验（戴维逊-革末实验）：
将电子束正射到镍单晶上，观测散射电子束的强度和散射角之间的关系。 θ 法拉第圆 筒 入射电子注 镍单晶 实验发现：散射电子的强度随散射角而改变，但散射角取某些确定值时，强度有最大值。这种现象与X射线的衍射现象相同。 衍射最大值公式 德布罗依关系

37 衍射最大值公式 德布罗依关系 实验测得的值与根据德布罗依关系式计算的值十分接近，证实了物质波波动性的客观存在，而且还定量地证明了德布罗依关系式的正确性。

38 物质波验证试验----戴维逊-革末试验 戴维逊（56岁获诺奖） 革末 汤姆逊（50岁获诺奖） 证实了德布罗意的电子波动性假说。

39 2、汤姆逊实验 1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。 1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。 3、电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm ，缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。

40

41 X射线经晶体的衍射图 电子射线经晶体的衍射图

42 作 业 P11-12

43 第二章 波函数和薛定谔方程 波函数的解释 波函数的性质 波函数满足的方程 粒子在势阱中运动等特例

44 §2.1 波函数的统计解释 1. 波函数 德布罗意波描述自由粒子的波函数为 那么,一般粒子的波函数如何描述？
§2.1 波函数的统计解释 1. 波函数 德布罗意波描述自由粒子的波函数为 那么,一般粒子的波函数如何描述？ 波函数是如何描述粒子的物理现象？

45 2. 波函数的解释 波与粒子，谁是最基本的？ 波由粒子组成,是大量粒子运动的表现。
Q 电子源 感光屏 P O 电子衍射实验表明：单个电子就具有波动性,衍射图像不是由粒子间的相互作用产生。

46 粒子由波组成 那么，粒子将被视为局限在一个很小范围内的波包。波包是由不同频率的单色波线性叠加组成，在介质中传播，由于传播速度不一样，波包将会迅速扩散，导致波包的消失。这与粒子的局域性相矛盾。 谁是最基本的？描写粒子的波函数表示了什么？ 因此，经典意义上区分“谁是最基本的”非常困难。同样，在经典意义上解释与之对应的“波函数”也是非常困难的。玻恩从统计方面给出了解释。

47 哥丁根是很有名望的国际理论物理研究中心。
马克思·玻恩(1882～1970) 马克思·玻恩贡献： 创立矩阵力学 波函数的解释 开创晶格动力学 研究晶体原子在平衡点附近的振动和这些振动对晶体物理性质的影响的学科。 哥丁根是很有名望的国际理论物理研究中心。 哥丁根大学，全世界第一所在教学和科研上具有自由空气的大学。数学上，高斯、黎曼、克莱因、希尔伯特、韦耳、冯·卡门，冯·诺依曼，物理上，玻恩，劳埃，奥本海默、康普顿、狄拉克、鲍林、洪德和约旦，等先后再次学习和工作。 玻恩的研讨班上，愚蠢的问题不仅允许，而且受欢迎！

48 玻恩的统计解释 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。
因此，描写粒子的波是概率波。反映微观客体运动的一种 统计规律性。

49 电子衍射实验解释 在电子衍射实验中，照相底片上r点附近衍射花样的强度正比于电子出现在r点附近的几率。 波动观点 粒子观点
明纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2大 电子出现的概率大 暗纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2小 电子出现的概率小

50 3. 波函数的归一化 设粒子状态由波函数 描述，波的强度是 则微观粒子在t 时刻出现在(x,y,z)处附近体积元dτ内的几率
设粒子状态由波函数 描述，波的强度是 则微观粒子在t 时刻出现在(x,y,z)处附近体积元dτ内的几率 在 t 时刻 (x,y,z)附近单位体积内找到粒子的几率是： 几率密度

51 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即：
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即： 从而得常数 C 之值为： 注意：波函数必须是绝对值平方可积的函数。

52 注意：对归一化波函数仍不确定，有一个相因子存在。
用一个新的波函数替换前面的波函数： 则： 归一化条件。 把 换成 的过程称为归一化， 称为归一化子， 称为归一化的波函数 。 注意：对归一化波函数仍不确定，有一个相因子存在。 量子力学的基本假设（1）：体系的状态用坐标和时间函数 描述，该函数叫做体系的状态波函数。要求该波函数单值、连续和有限。

53 例题讲解 例： 设一粒子作一维运动，波函数为： A为任意常数，求： （1）归一化波函数； （2）几率密度w(x)和w(x)最大的位置；
A为任意常数，求： （1）归一化波函数； （2）几率密度w(x)和w(x)最大的位置； （3）在[0，a/2]内发现粒子的几率。

54 解： （1）由归一化条件 有 所以，归一化常数 ，而归一化波函数为

55 （2）几率密度等于归一化波函数模的平方 令 ，有 则 在区域[0,a]内，只有x=0,a/2,a。再将w(x)对x求二阶导数， 所以只有x=a/2处为几率密度最大值的位置。

56 （3）在[0,a/2]内发现粒子的几率

57 求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。
例： 已知一维粒子状态波函数为 求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。 解： (1).求归一化的波函数 归一化常数 归一化的波函数

58 （2）几率分布： （3）由几率密度的极值条件 由于 故 处，粒子出现几率最大。

59 §2.2 态叠加原理 1. 叠加原理 在经典物理中，两个可能的波动过程线性叠加后也是一个可能的波动过程：Ψ= aΨ1 + bΨ2 。
物理学的基本原理之一。介质中同时存在几列声（光）波时，每列波能保持各自的传播规律而不互相干扰。在波的重叠区域里各点的振动的物理量等于各列波在该点引起的物理量的矢量和。

60 例：同频率、同振动方向的单色光 两振动相加后，则有 在量子理论，描述粒子运动的波函数如何叠加？

61 2. 态的叠加原理 P S1 S2 Ψ1 Ψ Ψ2 图1.5 电子的双狭缝衍射
电子源 感光屏 Ψ 图1.5 电子的双狭缝衍射 Ψ1 表示粒子经过上缝到达B点的状态， Ψ2 表示粒子经过下缝到达 B点的状态。 Ψ表示粒子经过两缝到达B点的状态，可以写为： Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 。

62 态的叠加原理：如果Ψ1和Ψ2是体系的可能状态，那么，他们的线性叠加也是这个体系的一个可能状态。
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 （C1和C2为复数） 理解：（1）当粒子处于态Ψ1和态Ψ2的线性叠加态Ψ时，粒子既处在态Ψ1，又处在态Ψ2 ，且分别处于态Ψ1和态Ψ2的几率是确定，它们分别是C1和C2 模的平方。

63 （2）对于体系的力学量，如力学量　 ，如果在 ψ1下的值是a1 ,在ψ2 下的值是a2 ，则在ψ =c1ψ1+c2ψ2的态，它的值可能是a1 ,也可能是a2 ，而测得 a1， a2的相对几率是完全确定的 。 态叠加原理，导致了粒子各种力学量观测值的不确定性，是由微观粒子的波粒二象性所决定的。 （3）态函数 应随时间演化，它所描述的是体系的运动状态，应满足波体系运动方程。在这种情况下，态叠加原理中 都应满足体系的运动方程，这必然给该运动方程加上线性方程的要求。

64 粒子处于Ψ态的体系中，即粒子部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...
态叠加原理一般表述方式 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ CnΨn + ...(其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。 粒子处于Ψ态的体系中，即粒子部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...

65 = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
粒子在屏上P点出现的概率密度为 |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*] 经缝1在Ｐ点的几率密度 经缝２在Ｐ点的几率密度 干涉项， 相互作用产生衍射。

66 3. 态叠加原理的应用 一个具有确定动量p运动的状态用波函数表示
经晶体表面反射后，粒子的动量可以为各种取值。因此，根据线性叠加原理，粒子的状态为 以下将证明：任何一个波函数都可以由不同动量的平面波叠加。

67 即，需要证明 证明方法： 乘以上式两端，并积分，利用delta函数的性质得到。

68 叠加系数为 与波函数比较 两式互为傅里叶变换式，在数学上完全相互决定，而在物理上他们是完全等价的，他们是对体系同一状态的两种不同描述方式 。

69 表示在该状态中粒子位置取值几率 表示在同一状态中体系的动量取值几率 或 能够完全的描述一个微观体系的状态。因为：一个波函数 给定后，不仅粒子的位置几率分布确定了，而且它的动量几率分布 ，以及其他所有力学量的几率分布都确定了。 量子力学的基本假设（2）：如果Ψ1和Ψ2是体系的可能状态，那么他们的线性叠加也是这个体系的一个可能状态。

70 §2.3 量子力学基本假设： 薛定谔方程 所讨论的是粒子状态随时间变化所遵循的规律。

71 埃尔温·薛定谔 奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，发展了分子生物学。
建立了量子力学的 “波动形式”,证明了与“矩阵形式”等价。 埃尔温·薛定谔 （ 1887年－1961） 2. 生物学方面，发展了分子生物学奠定了分子系统发生学，成为现 代进化论的基础。 《生命是什么》提出了负熵概念。现在的DNA证实了它的语言“遗 传密码的信息存在于非周期的有机大分子中”。 “生命是以量子为基础的，量子跃迁可以引起基因的突变”。

72 运动方程满足的条件 (1) 方程是含有对时间微商的微分方程。 (2) 方程是线性的。 (3) 方程的系数不应含有状态的参量。
(4) 满足对应原理， 玻尔提出，在量子数很大而改变很小的情况下， 量子理论所得的结果应趋近于经典物理学的结果， 反之亦然。

73 运动方程的建立 采用自由粒子的波函数 将波函数对时间求偏导，得到 将波函数对坐标求微商，得：

74 再次求微商，得： 同理可得

75 所以，对空间坐标二次微商得到： 令：

76 利用非相对论的能量动量关系： 得到： 该方程满足前面的所有条件。 该方程称为薛 定谔方程的 特殊形式。

77 粒子的能量和动量的作用相当于： 我们称以上为能量算符和动量算符。 方程的建立：我们把能量动量关系式两边分别作用在一 个波函数上，然后，算符化能量动量，就得到微分方程。

78 该方程称为薛定谔方程，也常称为波动方程。
一般情况下，粒子处于某种势中，此时，能量动量关系满足 两边同时作用于波函数 算符化，得到 该方程称为薛定谔方程，也常称为波动方程。

79 讨论 1、 薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。 2、 它是线性微分方程，其解有叠加性，且不含状态参量。 3、 满足对应原理。
体系状态随时间的演化由薛定谔方程描述，即 2、 它是线性微分方程，其解有叠加性，且不含状态参量。 3、 满足对应原理。 4、 薛定谔方程给出了态函数随时间变化的规律。 5、 它是非相对论的波动方程。

80 关于薛定谔方程 建立过程：在一次学术报告，主持人德拜说：今天的报告意义不大，能否说说德布罗意的物质波。第二次会议上，薛定谔介绍了该工作。德拜又问：既然是波，波动方程是什么？过了一段时间后，就找到了薛定谔方程（ ）。 2. 在索末菲邀请，维恩主持的报告中，海森堡提问：这个理论没有 不连续性，如何得出量子效应？ 3. 玻尔邀请，参会者提问：波是什么波，与粒子的关系？答：粒子 就是波包。问：该波包的各个频率成分的波速不一样，发生色散 。那么波包会散开消失，粒子就不存在。

81 多粒子体系的薛定谔方程 体系能量为： mi ，pi分别表示第i个粒子的质量和动量，Ui表示第i个粒子所受到的外场。
则多粒子体系的薛定谔方程为 量子力学的基本假设（3）：体系的状态波函数满足薛定谔方程。

82 §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 前面内容讨论了波函数随时间变化的情况，此节，我们将讨论粒子在一定空间区域内出现的概率随时间变化的关系。

83 粒子几率守恒 在 t 时刻 r 点周围单位体积内，粒子出现的概率（概率密度）是： 将上式两边对时间求导，得到 （2.4.2）

84 波函数满足薛定谔方程，因此有 将上面方程两边同时除以 它所对应的共轭复数为 将上面两个式子带入公式（2.4.2），得到

85 令 则 （2.4.5） 该方程为概率（粒子数）守恒定律的微分形式，它具有连续性方程的形式。 在空间闭区域V中将上式积分，则有： 高斯定理

86 （2.4.7） 等式左边表示单位时间内体积V内概率的增加，右边表示矢量J在体积V的边界面S上法向分量的面积分。 因此，
公式（2.4.7）这是概率（粒子数）守恒的积分表示式。 如果体积V包含所有的空间，则

87 讨论： （1）由于几率守恒，空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。
波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。 （1）由于几率守恒，空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。 （2）几率守恒定律是波函数的统计解释和薛定谔方程的推论，并不是量子力学中的一条独立假设。 （3）要求几率密度和几率流密度的具有连续性，因此，根据它们的表达式可知：波函数在空间坐标的变化全部区域内应是连续的，且有连续的微商。 （4）如体系由大量的、完全相同的、且无相互作用的粒子构成， 且它们都处于相同的状态，有

88 粒子数密度 粒子流密度矢量 （5） 质量守恒定律 以m乘连续性方程等号两边，得到： 其中，我们定义 质量密度 质量流密度矢量

89 （5） 电荷守恒定律 以q乘连续性方程等号两边，得到： 其中，我们定义 电荷密度 电荷流密度矢量

90 波函数标准条件 什么样的函数才能作为波函数？ 单值、连续、有限。

91 §2.5 定态薛定谔方程 在2.3我们学习了薛定谔方程，现在我们来讨论薛定谔方程解的情况. 在本节，我们暂时只讨论势能 与时间无关的情况。

92 分离变量法 核心：偏微分方程→常微分方程 解题步骤： 1. 将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT)。
2. 利用边界条件，确定固有值和固有函数。 3. 确定形式解。 4. 利用初始条件，确定解中的待定常数。

93 定态薛定谔方程 体系状态随时间的演化由薛定谔方程描述： 如果 不含实间，可用分离变量的方法求解方程。 其中，一种特解为：

94 将其代入薛定谔方程： 两边同时除以 可得到 左右两边都是相互独立的，与变量无关，故可设一常量E表示。

95 因此，等式左右两边可分别改写成 定态薛定谔方程 定态波函数 因此，薛定谔方程的特解形式： 周期变化 波函数
波函数的角频率是确定的 由德布罗意关系可知：E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态。

96 用 乘 用 乘 发现此定态波函数满足以下方程 哈密顿算符 （2.5.6） 作用相同 在2.3我们学过，方程 在经典力学中称为哈密顿函数，所以，在量子理论中对应的算符叫哈密顿算符，用 表示。

97 上面方程称为本征值方程，其中 称为算符 的本征值， 称为算符 属于 的本征函数。
因此,上式（2.5.6）便可以改写成为 在数理方法中，一个算符作用于一个函数得到了一个常数乘以该函数，这种方程叫做本征值方程。 上面方程称为本征值方程，其中 称为算符 的本征值， 称为算符 属于 的本征函数。 当体系处于能量算符本征函数所描述的状态（能量本征态）时，粒子的能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相对应的能量算符的本征值。 一般来说，每一个E值都有相对应的解 ，但是，这些解还需要满足物理要求，如单值、连续、有限等。

98 一般来说，本征值方程有无穷多个本征值，对于
以 表能量算符的第n个本征值，则体系的第n个定态波函数可表示为： 那么，含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性叠加： 式中复数 是常数。

99 概率密度和概率流密度 1.概率密度与时间无关

100 概率密度和概率流密度 2.概率流密度与时间无关

101 概率密度和概率流密度 3.力学量的平均值与时间无关

102 作 业 课后习题p44,

103 §2.6 一维无限深势阱 本节将用薛定谔方程处理简单的一维定态问题。这些问题中势能都是不含是时间的函数。
§2.6 一维无限深势阱 本节将用薛定谔方程处理简单的一维定态问题。这些问题中势能都是不含是时间的函数。 一维定态问题是许多复杂问题的基础，这类问题数学处理简单，可以展现量子体系的许多特征。

104 引 子 用48个Fe原子排成直径为14.3nm的圆形围栏蒸发到Cu表面，围栏形成一个势阶围住栏内处于铜表面的电子，故称作“量子围栏”。
引 子 用48个Fe原子排成直径为14.3nm的圆形围栏蒸发到Cu表面，围栏形成一个势阶围住栏内处于铜表面的电子，故称作“量子围栏”。 电子的运动在栏内形成同心圆状的驻波

105 抽象模型 粒子被无限高的势能壁束缚在空间的某个区域内 在密闭容器中的一个气体分子可以在两壁之间来回弹射，而不会跑到容器之外。
在很粗略的近似下，可以认为电子在金属内部自由的运动，但不会自发的跑到金属表面之外。 粒子被无限高的势能壁束缚在空间的某个区域内

106 理论计算 粒子在（-a,a）内自由运动（势能为0），粒子不会跑出区域之外，则相应于在|x|≥a区域势能应为无限大。于是势能函数为： -a a U(x) 在势阱外：

107 只有满足标准条件的定态薛定谔方程的解，才是能量的本征函数。
在势阱内： 解得： A和 是待定常数 只有满足标准条件的定态薛定谔方程的解，才是能量的本征函数。

108 波函数连续性的条件有： 当x=a时， 当x=-a时，

109 由归一化条件,

110 归一化的能量本征值函数为： 体系的能量的本征值为： n称为体系的量子数.

111 一般情况下，求解薛定谔方程分为以下步骤：
1. 列出各势区域所对应薛定谔方程 2. 解方程得出特解形式 3. 利用标准条件求解确定方程系数和能量表达式。 4. 由归一化条件确定系数

112 讨论 1.能量量子化 在势阱内粒子的能量只能取分立的值，这叫能量量子化。粒子被势能局限在空间一个有限区域的状态叫束缚态。体系能量最低的状态叫基态。此时基态n=1，对应的基态能量为： n>1的态称为激发态

113 能量分布是不均匀的，相邻两能级之间的间隔为：
E1 E2 E3 能量分布是不均匀的，相邻两能级之间的间隔为： 当n很大时有， n很大时，能量可视为连续，量子力学过渡到经典力学

114 2.加入时间因子 波函数是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波。

115 波函数有n-1个节点，节点数越多，能级越高。而德布罗依波的波长越短，对应的动量和能量越大。
ψ1 -a ψ2 ψ3 a 波函数有n-1个节点，节点数越多，能级越高。而德布罗依波的波长越短，对应的动量和能量越大。

116 3.波函数的宇称 宇称：描述粒子或粒子组成的系统在空间反演下变换性质的物理量。粗略的说，可理解为“左右对称”。

117 宇称不守恒定律是指在弱相互作用中,互为镜像的物质的运动不对称.
1956年，李政道和杨振宁在深入细致地研究了各种因素之后，大胆地断言：γ和θ是完全相同的同一种粒子(后来被称为K介子)，但在弱相互作用的环境中，它们的运动规律却不一定完全相同。通俗地说，这两个相同的粒子如果互相照镜子的话，它们的衰变方式在镜子里和镜子外居然不一样！用科学语言来说，“θ-γ”粒子在弱相互作用下是宇称不守恒的。随后，二人共同提出“弱相互作用中宇称不守恒”定律。由吴健雄用钴60验证。

118 当n为偶数时

119 当n为奇数时 本征函数的奇偶性是由势能函数U（x）对原点的对称性引起的。

120 4.几率密度 势阱内发现粒子的几率密度 -a a 在势阱内发现粒子的几率密度随着n的增大起伏增多。 粒子位置几率密度分布

121 例1：用驻波条件求一维无限深势阱中的粒子的能级。
一维无限深势阱中粒子运动的波函数与两端固定的长度为2a的弦上的驻波相似，按驻波的条件： E1 -a E2 E3 a

122 例2：估计在典型的宏观领域和原子领域一维无限深势阱粒子的零点能E1的值。
解：取 说明零点能和量子不连续性在宏观领域是微不足道的。 假如： 是一个可见光光子能量的大小，与氢原子的电离能13.6ev一个数量级，在原子尺度上它是一个“大”的能量。

123 作 业 P44

124 §2.7 线性谐振子 线性谐振子的重要性 求解线性谐振子体系 零点能 厄米多项式

125 线性谐振子的重要性 线性谐振子：在一维空间内运动的粒子的势为 这种体系就称为线性谐振子。
线性谐振子的重要性在于，一般的，任何一个体系在稳定平衡点附近都可以近似地用线性谐振子来表示。例如，简谐运动，双原子分子中两原子之间的势能等 在经典力学中，简谐运动就是线性谐振子。势能为 ，其坐标与时间的关系是 ： 线性谐振子的重要性

126 双原子分子中两原子之间的势能，它与两原子之间的距离的函数如图：
在 处,势能有一极小值，这是一个稳定平衡点。在 附近势可以展开成泰勒级数，且在 处， 所以U可以近似写成 a x V(x) V0

127 求解线性谐振子体系 线性谐振子体系的Schrodinger方程为： 为方便，引入无量纲变量ξ代替x，它们的关系是 ：
当λ与 相比可以略去时，上式可写为

128 该方程的解是： 由于波函数的标准条件要求当 时，ψ应有限，所以 即我们把ψ写成 其中必须满足波函数标准条件 当ξ有限时，H(ξ)有限；当ξ→±∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)有限。

129 又因为 ，可求得线性谐振子的能级为： 由此可见，线性谐振子的能量只能取分立的值，两能级间的间隔均为 这和普朗克假设一致。

130 将它带入上面的薛定谔方程，得到厄米方程：
用级数展开的方法将H展成ξ的幂级数，这个级数必须只含有限项，才能在ξ→±∞时保证ψ(ξ)有限。而级数只含有限项的条件是λ为奇数.

131 零点能 振子的基态（n=0）能量为： 这就称为零点能，它是量子力学中所特有而在旧量子理论中所没有的。
有关光被晶体散射的实验证明了零点能的存在。光被晶体散射是由于晶体中原子的振动，按照量子力学以前的理论，当温度趋向绝对零度时，原子能量趋于零，原子趋于静止，这是不会引起光的散射。实验证明，温度趋向绝对零度时，散射光的强度趋向某一不为零的极限值。这说明即使在绝对零度，原子仍有零点振动。

132 而且，引起表面张力，吸附作用等现象的分子间的范德瓦尔斯力，只有用零点能才能得到较好的解释。而其实零点能的存在的根本原因在于，量子力学看到了粒子的波动性。

133 厄米多项式 对于不同的n不同的λ，厄米方程有不同的解，其解可以用厄米多项式来表示
由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。其满足下列递推关系：

134 下面给出前几个厄密多项式： 对应于能量的波函数是： 称为厄米函数。

135 是正交归一化因子，它由正交归一化条件 可得 由上面的厄米函数可得，其满足 即 的奇偶性由n决定，称为n宇称，当为偶数是为偶宇称，n为奇数时为奇宇称。

136 §2.8 势 垒 贯 穿 前面所讨论的是体系的势能在空间某区域都是无限大的情况，波函数在此处为零。我们通过边界条件得出粒子波函数的具体形式。本节将讨论体系势能在无穷远处不为零的情况。这类情况一般都是粒子的能量是预先已知的，属于散射问题。讨论散射定态，即无穷远处有粒子存在，其特点为波函数不能归一化。

137 实际物理问题 对应的物理问题：1. 一些原子核的 衰变过程中，放出的 粒子的动能大约4-9 MeV,但是， 粒子在核表明的库伦势能却高达30-40MeV,该能量的粒子要克服势能从核中发射出来，是很难从经典理论理解的，需要从量子的观点处理理解。

138 欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。
2. 场致电子发射：固体内的电子由于受到原子核的吸引作用而被束缚在固体内部。在经典物理理论中，只有当外电场场强达到10的8次方，才能让电子克服原子核的吸引而发射出固体表面。但是，按照量子力学，电子会发生隧穿效应，也就是，电子能够穿过比它的动能更高的势垒。因此，当外电场场强达到10的6次方时，已经有很明显的电子发射现象了。

139 势垒贯穿 粒子（能量为E）在一维空间运动的情况 方形势垒 V(x) V0 E I II III 经典情况 0 a 量子情况
粒子全部穿过势垒. 粒子全部被势垒反射. 量子情况 粒子可能穿过势垒，也可能反射回来。

140 1. E < V0情况 三个区域的薛定谔方程可写为：

141 直接将入射波的振幅取作1，是为了方便讨论，但注意反射波的振幅R和投射波的振幅S是待定常数，而在势垒内部中的两项不是波，仅是指数增加和衰减函数。

142 波函数及其导数的连续性 (1) (2) (3) (4) (1)+(2),(3)+(4) (1)-(2),(3)-(4) 一系列地综合联立

143 物理意义 反射波几率流密度 透射波几率流密度 反射系数 透射系数 代表粒子被势垒反射回来的几率 代表粒子透过势垒的几率

144 以上描述的为隧道效应，粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.
a V(x) x V0 入射波+反射波 透射波 以上描述的为隧道效应，粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象. 它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。

145 2. E > V0情况 E <V0三个区域的薛定谔方程为： E >V0三个区域的薛定谔方程的情况：
用ik3替换k2。利用：sh(ik3a) = isin（k3a）

146 2. E > V0情况

147 3. 讨论 （1）当k2a >> 1时,可以得到 透射系数则变为： 说明：透射系数随势垒的加宽和增高急剧减小。见P38图表。
忽略分母 中4的贡献 说明：透射系数随势垒的加宽和增高急剧减小。见P38图表。

148 （2）在经典力学中， 当E<U，导出势垒中的动量为虚数或者动能为负数，这是不允许的。在量子力学中，这样的结论不成立。
原因：微观粒子的波粒二象性导致了粒子的坐标和动量测不准，这即是3.7节所讨论的测不准关系。

149 （3）经典物理中不考虑势垒贯穿. 对于宏观粒子，设 m=1g, V0 -E= 10-7 J, a=1 mm， 算得透射系数为

150 （4）任意形状势垒 不严格的推导 思路为：采用微分的思想求解微元宽度对应的透射系数。最后采用积分得到总的透射系数为： V(x) E
0 a b V(x) E dx

151 作 业 P45

152 补充知识 在势函数不连续点（设为x=a处） （1）在x=a处势函数有限跃变时，有 （2）在x=a处势函数无限跃变时，有
（3） 函数势跃变时，有 二维或三维定态问题与一维定态问题的关系 在 中， 如果 ，则有 其中，

153 其中f(x)是一个在x=0点处连续的非奇异函数
梯形势—— 方形势—— 形势—— 其中f(x)是一个在x=0点处连续的非奇异函数

154 例题 能量为E的粒子处在方形势中，设U1>U2>E>0（束缚态），试求粒子能量所满足的条件。
粒子在 势阱 中运动，求束缚态能级和波函数。

155 第三章 量子力学中的力学量 基本概念：厄密算符(作用及其基本性质). 基本假设：力学量用算符表示; 状态用厄密算符本征函数表示.
力学量计算：确定值、可能值、平均值.

156 作用在一个函数得出另外一个函数的运算符号。
§3.1 表示力学量的算符 1 算符: 作用在一个函数得出另外一个函数的运算符号。 1）du / dx = v ，d / dx 就是算符. 2）ax = y，a也是算符。 一般算符的定义： 上式中的运算符号 就称为算符。

157 坐标算符 动量算符 其中 为在给定态 中，测得粒子动量 在 到内的几率。

158 分部积分

159 力学量算符 量子力学假设之四：力学量用算符表示。

160 2 算符的一般性质 （1）特殊算符 （6）线性算符 （2）算符相等 （7）复共轭算符 （3）算符之和 （8）转置算符 （4）算符乘法
（5）函数内积 （6）线性算符 （7）复共轭算符 （8）转置算符 （9）厄密算符 （10）幺正算符

161 (1) 特殊算符 零算符 单位算符（或恒等算符） 逆算符 注意： 若 Ô, Û 均存在逆算符,则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1

162 （2）算符相等 若两个算符 Ô、Û分别作用于任何函数 u的运算结果都相 同，即Ôu= Ûu，则算符Ô 和算符Û 相等记为 Ô = Û。
（3）算符之和 若两个算符 Ô、Û 对体系的任何函数u 有： ( Ô + Û) u= Ôu+ Ûu 则Ô + Û 称为算符之和。 显然，算符求和满足交换率和结合率。

163 注意：一般算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律：
（4）算符乘法 注意：一般算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律： 例：

164 称二算符对易 称二算符反对易 定义对易括号 定义反对易括号

165 ? Jacobi 恒等式 注意： 不难证明对易括号满足如下对易关系： [Ô,Û] = - [Û,Ô] [Ô, Ô] = 0 [Ô,C]=0
2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] [Ô+Û,Ê] = [Ô, Ê ] + [Û, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] [ÔÛ,Ê] = Ô[Û,Ê] + [Ô,Ê]Û 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 Jacobi 恒等式 注意： ?

166

167 （5）函数的内积 内积是一个复数 性质：

168 开方算符、平方算符，ln就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（6）线性算符 Ô(c1u1 +c2u2)= c1Ôu1+c2Ôu2 , 其中c1, c2是任意复常数， u1, u2是任意两个函数。 开方算符、平方算符，ln就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。

169 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭. 例如: 坐标表象中 （8）转置算符

170 性质：如果 是厄密算符，则它的本征值一定是实数。
(9)厄密算符 若对于两任意函数ψ和 ，算符 满足等式： x—代表变量 性质：如果 是厄密算符，则它的本征值一定是实数。

171 例：

172 性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 Ô+ = Ô, Û+ = Û 则 (Ô+Û)+ = Ô+ + Û+ = (Ô+Û)
若 Ô+ = Ô, Û+ = Û 则 (Ô+Û)+ = Ô+ + Û+ = (Ô+Û) 性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。 因为 (Ô Û)+ = Û+ Ô+ = Û Ô ≠ Ô Û 仅当 [Ô, Û] = 成立时, (Ô Û)+ = Ô Û 才成立。 性质 III: 在任何状态Ψ下，厄米算符Â的平均值均为实数。 反之，在任何状态下，平均值为实数的算符必为厄米算符。

173 例： 厄密 非厄密 厄密 厄密 非厄密 厄密

174 在表象理论中起重要作用，第四章再介绍其性质
(10) 幺正算符 1. 定义: 在表象理论中起重要作用，第四章再介绍其性质

175 §3.2 厄米算符的本征值和本征函数 （一）算符的本征方程 （二）厄米算符的性质

176 称为算符 的本征方程，a叫算符 本征值，而满足以上方程的函数Ψ叫做算符 的属于本征值a的本征函数。
（一）算符的本征方程 称为算符 的本征方程，a叫算符 本征值，而满足以上方程的函数Ψ叫做算符 的属于本征值a的本征函数。 连续谱 分立谱 本征值谱

177 例：求解坐标算符 的本征方程。 解：本征方程为：
例：求解坐标算符 的本征方程。 解：本征方程为： 因为 ，显然如果 是连续函数，则以上方程无解，仅当除了在 一点外处处为零时，这个方程才成立。引入 函数： 的本征值 可取任何实数，即 有连续谱

178 例：求解平面转子的哈密算符 的本 征方程，其中，转动惯量I是常数。 解：本征方程为： 通解为： 单值条件

179 归一化条件 当m≠0时能级是二重简并的

180 （二） 厄米算符的性质 厄米算符的本征值也为实数 厄米算符在任何态中的平均值都为实数 （1）实数性
逆定理：在任何状态下，平均值为实数的算符必为厄米算符。

181 （2）本征函数的正交性 如果两个函数 和 的内积为零，即： 则称 和 相互正交。 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 证明：已知
如果两个函数 和 的内积为零，即： 则称 和 相互正交。 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 证明：已知 用 左乘上式两边，并对整个空间积分 用 右乘上式两边，并对整个空间积分

182 注意：不论厄米算符的本征值是分立的或者是连续的，这个定理均成立。
1、分立谱正交归 一条件为： 2、连续谱正交归 一条件表示为： 3、正交归一系 满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。

183 （三）本征函数的完备性 如果 是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本征函数是 ，则任何一个函数 都可按 展开
如果 是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本征函数是 ，则任何一个函数 都可按 展开 即任意函数 都可以表示成厄米算符本征函数 的线性叠加， 这种性质叫做本征函数的完备性。 乘上式两边 ,并对x在整个区域积分

184 ？ （四） 算符的对易性和共同本征函数系 设 为一任意函数，可用完全系 展开，即 必要性 证明： 两个算符具有共同的本征函数系的条件
由于 是 和 的特定的本征函数 设 为一任意函数，可用完全系 展开，即 必要性

185 推广： 在本征值无简并的情况下，设 是 的一个本征 函数，即 说明函数 也是 的属于本征值 的本征函数 充分性
在本征值无简并的情况下，设 是 的一个本征 函数，即 说明函数 也是 的属于本征值 的本征函数 与 充分性 之间应差一常数，即 推广： 一组厄米算符有共同本征函数系的充要条件是它们彼此可对易

186 §3.3 力学量的可能值、期望值 （一）力学量算符的条件 （二）力学量的可能值 （三）力学量的期望值

187 （一）力学量算符的条件 在体系处于某个状态时 量子力学中表示力学量的算符一定是线性厄米算符 以算符存在简并为例
条件？？？ 量子力学假设四：力学量用算符表示 线性 厄米 以算符存在简并为例 在体系处于某个状态时 设 和 都是算符 的属于本征值 的本征态，即 测量该状态下体系的力学量值必定是实数 态叠加性原理 可观测量必然是实数 平均值必定是实数 线性算符的定义式 量子力学中表示力学量的算符一定是线性厄米算符

188 （二）力学量的可能值 如果体系不处于算符F的本征态，那么，算符和它所表示的力学量有和关系？？？
该本征值为λn。 如果体系不处于算符F的本征态，那么，算符和它所表示的力学量有和关系？？？

189 (1) 函数的完备系 Cn与x无关可以由\phi 和\psi求得。本征函数的这种性质称为完全性，或者说 组成完全系。
数学中已经证明：如果 是满足一定条件的厄密算符，它的政教诡异本征函数是 ，对应的本征值是 。则任一函数可以按照本证函数展开： Cn与x无关可以由\phi 和\psi求得。本征函数的这种性质称为完全性，或者说 组成完全系。

190 |cn|2 具有概率的意义，cn 称为概率振幅。它表示在该台中测量力学量F得到的结果是F的本征值λn 的概率。

191 （三）力学量的期望值 为了与统计平均值区分，量子态的平均值称为期望值： 以上表示波函数归一化的情况 如果波函数未归一化

192 如坐标 和坐标函数 的期望值为：

193 量子力学基本假设之四： 力学量用算符表示

194 §3.4 动量算符和角动量算符 1 动量算符 动量算符的本征值方程 分离变量： 分量形式

195 求解第一个方程为：

196 同理： 动量算符本征函数： C为归一化常数

197 归一化处理：

198 动量本征函数归一化 此时，动量的本征函数为

199 2 箱归一化 但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。
2 箱归一化 但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。 设想粒子限制在一个正方形箱中，箱的边长为 L 。要求在对应的箱壁上有相同的值。波函数满足周期性边界条件。 所以，我们可以得到下式 这意味着

200

201 此时，动量的本征函数为 对应的波函数是归一化的 乘以时间因子，就得到自由粒子波函数。在它所描写的态中，粒子的动量有确定值，这个值就是动量算符在这个态中的本征值。

202 角动量算符 在直角坐标系中： 各分量式：

203 在球坐标系中，令 我们可以得到

204

205

206 其中： 上述方程的解为是球谐函数 连带勒让德多项式。 归一化因子。

207 归一化条件： 本征方程： 本征函数： 本征值： 角量子数: 磁量子数:

208 几个简单的球谐函数

209 §3.5 氢原子 （一）两体问题 （二）氢原子能级和波函数 （三）类氢离子

210 量子力学对谐振子和氢原子的Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。在上一章中，我们学习了谐振子问题，本节，我们开始学习氢原子问题。

211 （一）两体问题 （1）物理模型转化 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 （2）数学运算处理 电子和原子核组成的氢原子的薛定谔方程是： x
两体运动可化为： 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 （2）数学运算处理 电子和原子核组成的氢原子的薛定谔方程是： 将二体问题化为一体问题 x + r1 r2 r R O y z 分量式

212

213 相对坐标和质心坐标下 Schrodinger 方程形式为：
系统 Hamilton 量为： 相对坐标和质心坐标下 Schrodinger 方程形式为：

214 Schrodinger方程，说明质心以能 量(ET-E) 作自由运动。
于是有： 我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述一个质量为 m 的粒子在势能为 V(r) 的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数  (r) 所满足的方程，相对运动能量 E 就是电子的能级。 第二式是质心运动方程，描述 能量为(ET-E)的自由粒子的定态 Schrodinger方程，说明质心以能 量(ET-E) 作自由运动。

215 （二）氢原子能级和波函数 定态薛定谔方程 (I) 分离变量 分离变量 化简方程 此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式： 令
ψ(r,θ, ) = R(r) Ylm(θ,) 令 分离变量 化简方程

216 若令 于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。 讨论 E < 0 情况，方程可改写如下：

217 令Z=1，得氢原子的能级为： n = 1, 2, 3…… 氢原子的电离能为： 电子由能级 辐射出光的频率为

218 电子在固定点周围的体积元内的概率为： 找到电子的概率为：

219 Wn l (r) ~ r 的函数关系 a0Wn l(r) r / a0 0.6 [n，l] 0.5 [1，0] 0.4
Rn l (r) 的节点数 n r = n –  – 1 a0Wn l(r) 0.3 0.2 [2，0] [3，0] 0.1 [4，0] r / a0

220 Wn l (r) ~ r 的函数关系 a0Wn l(r) r / a0 0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 [n，l]
[2，1] [3，1] [4，1] r / a0 a0Wn l(r) 0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 Wn l (r) ~ r 的函数关系 [n，l] Rn l (r) 的节点数 n r = n –  – 1

221 m = +2 m = 0 m = +1  = 2 m = -2 m = -1

222 （三）类氢离子 以上结果对于类氢离子（He+, Li++, Be+++ 等）也都适用， 只要把核电荷 e 换成 Ze，μ 换成相应的折合质量即可。 类氢离子的能级公式为： 即所谓帕刑线系的理论解释。 作业：

223 §3.6 厄密算符本征函数的正交性 则称这两个函数正交 注意： 任意两个对应于不同本征值的本征函数是相互正交的。

224 证明如下：已知 （3.5.3，3.5.4） （1）式的共轭复式可写为： 对变量的整个区域积分，得： （3.5.6） 由厄密算符的定义，有 则 （3.5.8） 故有， 证毕。

225 举例：正交归一函数系 （1）线性谐振子的能量本征函数 组成正交归一系， （2）角动量算符的本征函数 组成正交归一系， （3.5.14）
（3.5.15）

226 （3）氢原子的波函数 组成正交归一系， （4）一维无限深势阱（宽 ）的能量本征函数 ， 满足正交归一化条件

227 §3.7 测不准关系 （一）量子力学中的测不准关系 （二）测不准关系的意义 （三）测不准关系的应用 （四）测不准关系的严格推导

228 Werner Heisenberg 1901年，生于德国维尔茨堡； 1924年，与玻恩、约丹创立矩阵力学； 1927年，发现测不准关系；
粒子的位置、动量等能同时确定。 经典力学： 量子力学： 粒子的位置、动量不能同时确定。 海森堡简介： Werner Heisenberg 1901年，生于德国维尔茨堡； 1924年，与玻恩、约丹创立矩阵力学； 1927年，发现测不准关系； 1932年，获诺贝尔物理学奖； 1953年，洪堡基金会主席； 晚年， 致力于统一场论的研究； 1976年，在慕尼黑去世。 Werner （ ）

229 （一）量子力学中的测不准关系 均方偏差 同理

230 例：一维无限深势阱中处于基态 中的粒子，计算它的 和 。
同理：

231 它是宏观物体和微观粒子之间的相互作用，所以，测量对被测量的微观粒子的影响就非常显著，测量的越精确，其影响就越大。
（二）测不准关系的意义 不论粒子处于什么状态，总有： 说明粒子的坐标和动量不能同时确定 换句话说，坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。 测不准关系是微观粒子运动服从统计规律的反映，它与测量与否并无直接的关系。 它是宏观物体和微观粒子之间的相互作用，所以，测量对被测量的微观粒子的影响就非常显著，测量的越精确，其影响就越大。

232 （三）测不准关系的应用 （1）线性谐振子的零点能 振子能量 被积函数是x 的奇函数 处 n =0 于是： n 为实

233 为求 E 的最小值，取式中等号。 则： 求极值： 解得： 二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。 因均方偏差不能小于零，故取正
零点能就是测不准关系所要求的最小能量

234 （2）由粒子运动范围估计粒子的基态动能 设一个质量为m的粒子，被限制在大小为a的区域内运动 束缚态 例如：对于在原子中的运动的电子 对于在原子核中的中子或质子

235 （四）测不准关系的严格推导 设两个算符满足对易关系： 是算符或普通数 是一个普通数或者算符。利用一下关系式 我们考虑以下积分 是实参数。

236 利用3.1.30公式，可以得到

237 所以，我们得到： 由数学知识，可知：上不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：

238 经典力学中，一个粒子有确定的位置、动量。 量子力学中， 粒子的位置和动量不能同时确定。
说明： 经典力学中，一个粒子有确定的位置、动量。 量子力学中， 粒子的位置和动量不能同时确定。 测不准关系是量子力学的内禀性质。不是由于测量工具的不精密造成的。 可以同时地决定 x 和 py 或者 pz 。

239 由于 非常小，测不准关系在没有发生在我们的日常生活中。
当它等于1时，测不准关系就成了我们生活的常态。 测不准关系可由量子力学的基本假设得到。 实际上，我们可以把测不准关系写为 在量子力学中，有许多其他的测不准关系。

240 例1. 一颗质量为10g 的子弹，具有200m·s-1的速率，若其动量的不确定范围为动量的0
解:  子弹的动量 解:  子弹的动量 动量的不确定范围 动量的不确定范围 由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围 由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围 子弹位置的不确定范围是微不足道的，可见子弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。

241 例2 . 一电子具有200 m/s的速率，动量的不确定范围为动量的0. 01%，则该电子的位置不确定范围有多大?
解 : 电子的动量为 动量的不确定范围 由不确定关系式，得电子位置的不确定范围 　我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和动量已是没有实际意义。

242 广义测不准原理(GUP) 1、这意味着最小可测量长度： 2、对各种量子现象的修正。 黑洞可能存在最小的半径？ 黑洞可能存在最小的半径？
思考： 思考： 黑洞可能存在最小的半径？ 黑洞可能存在最小的半径？

243 作 业 P92: ,

244 §3.8 力学量期望值随时间的变化、守恒量 （一）力学量期望值随时间的演化 （二）守恒量

245 （一）力学量期望值随时间的演化

246 1、体系的任何态中守恒量的平均不随时间的改变。
（二）守恒量 1、体系的任何态中守恒量的平均不随时间的改变。 证明： 2、在体系的任何态中，守恒量的取值几率分布不随时间改变。 证明： 设F是一个守恒量

247 若在初始时刻守恒量F具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值
积分 推论 若在初始时刻守恒量F具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值 其量子数称为好量子数

248 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律

249 补充习题 1、线性谐振子在t=0时，处在 态，求： (1)在 态中，能量的可测值，相应的几率及平均值； (2)t>0时，粒子的波函数
(1)在 态中，能量的可测值，相应的几率及平均值； (2)t>0时，粒子的波函数 (3)t>0时，能量的可测值，相应的几率及平均值

250 第四章 态和力学量的表象 4.1 态的表象 4.2 算符的矩阵表示 4.3 量子力学公式的矩阵表示 4.4 幺正变换 4.5 狄拉克符号
第四章 态和力学量的表象 4.1 态的表象 4.2 算符的矩阵表示 4.3 量子力学公式的矩阵表示 4.4 幺正变换 4.5 狄拉克符号 4.6 线性谐振子与占有数表象

251 4.1 态的表象 说波函数是坐标的函数，而力学量是作用于这种坐标函数的算符来表示。其实
4.1 态的表象 到现在为止，我们是用坐标（x, y, z）的函数来表示体系的状态，也就是 说波函数是坐标的函数，而力学量是作用于这种坐标函数的算符来表示。其实 波函数也可以选用其它的变量的函数，则力学量就表示为作用在这 种波函数的算符。 在量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为表象。我们以前学过的是 坐标表象，在本章里将讨论其它的表象。 （1）动量表象 （2）力学量表象 （3）讨论

252 （1）动量表象 描述，现在我们来讨论将这样的状态用以动量为变 量的波函数来描写。 动量的本征函数为： （4.1.1）
假设体系的状态在坐标表象中用波函数Ψ (x, t)来 描述，现在我们来讨论将这样的状态用以动量为变 量的波函数来描写。 动量的本征函数为： （4.1.1） 此式可以组成完全系。由2.2和3.6节的知识，将Ψ (x, t)按 展开： （4.1.2） （4.13） 其中系数C（p ,t）为：

253 设Ψ (x, t)是归一化波函数，则根据归一化条件，我们可以证明：
（4.1.4） 在上式中， 是在Ψ (x, t)所描写的状态中测量粒子位置所得结果在x x+ d x范围内的概率；类似于此，在Ψ (x, t)

254 所描写的状态中测量粒子动量所得结果在p p+ d p 范围内的概率为 。
从上面的讨论可以看出： Ψ (x, t)是坐标表象中的波函数，而C（p ,t）是动量表象中的波函数，它们都是描写的同一状态。 若Ψ (x, t)所描写的状态具有动量 的自由粒子状态，即： 则由（4.13）式可以得到： （4.1.5） 所以在动量表象中，粒子的确定动量p’的波函数是动量p 为变量的 函数。

255 同样，在x坐标表象中，对应于确定的x’的本征函数是 这可以由上式看出。
（4.1.6） 同样，在x坐标表象中，对应于确定的x’的本征函数是 这可以由上式看出。 （2）力学量表象 我们按照上面的讨论方式，来讨论任一力学量Q的表象Ψ (x, t)所描写的状态如何表示。先设Q具有分立的本征值Q1,Q2 ...Qn... 相应的本征函数为u1(x),u2(x)...un(x)... 将Ψ (x, t)按Q得本征函数展开并代替（4.1.2）为: (4.1.7)

256 利用 的正交归一条件可得： （4.1.8） 也设Ψ (x, t)是归一化的，如（4.1.4）式有： （4.1.9） 由此可得， 表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得Qn的几率。 我们可以把Ψ (x, t)所描写的态在Q表象中用数列表示： （4.1.10） a1(t), a2(t), ..., an(t), ... 现在将上式写成矩阵的形式，用 标记：

257 （4.1.11） 的一个共轭行距阵 表示： （4.1.12） 那么，（4.1.9）式可以写成： （4.1.13）

258 如果力学量Q除具有分立的本征值Q1，Q2…Qn
如果力学量Q除具有分立的本征值Q1，Q2…Qn...外还具有连续的本征值q,则对应的归一化本征函数u1(x),u2(x),…un(x) （如氢原子的能量），（4.1.7）式就写成： （4.1.14） 其中 （4.1.9）式则写为 （4.1.15） 其中|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；

259 |aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。
（3）讨论 从上面的讨论中可以看出，同一个态可以在不同的表象中用波函数描写，所取得表象不同，波函数的形式也就不同，但是它们都描写的同一个态。例如：矢量A在直角坐标系中用 来描写，也可以在球坐标中用 。 在量子力学中，我们可以把状态Ψ看成一个态矢量，现在 来比较一个特定的Q表象和矢量A的一些特点：

260 常用的表象还有动量，能量和角动量等表象。
A矢量 Q表象 类比1 相当于直角坐标系的单位矢量i ,j ,k 本征函数u1(x), u2(x),..., un(x), ... 是此表象的基矢 类比2 A沿i ,j, k 三个方向的分量为 波函（a1(t),a2(t),..., an(t), ...）是态矢量Ψ 在Q表象中过个方向的基矢 量子力学中Q的本征函数u1(x), u2(x),..., un(x), ... 有很多，并且这些本征函数是这个表象的基矢。所以态矢量所在空间是无限维的函数空间，这种空间在数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间. 常用的表象还有动量，能量和角动量等表象。

261 （1）力学算符F的矩阵表示 在上一节课中，我们讨论了态在各种表象中的表述方式，在本节中来讨论算符在各种表象中的表达方式。
4.2 算符的矩阵表示 在上一节课中，我们讨论了态在各种表象中的表述方式，在本节中来讨论算符在各种表象中的表达方式。 （1）力学算符F的矩阵表示 假设算符F（x, p) 作用于函数Ψ (x, t)后得到 ，在坐标表象中计为： （4.2.1） 现在讨论上式在Q表象中的表达式： 假设Q有分立的本征值Q1，Q2，Q3…Qn…, 对应的本征函数为u1(x),u2(x),u3(x)…un(x)…,将Ψ (x, t)和 分别按 un(x)展开:

262 带入（4.2.1）式中，得 以 乘上式两边在对x积分，得 （4.2.2） 利用un(x)的正交归一性将（4.2.2）式简化为： (4.2.3)

263 其中： （4.2.4） 则将（4.2.3）式写为： （4.2.5） 所以（4.2.5）式是一组方程，用矩阵写为： （4.2.6）

264 算符F在Q表象中是一个矩阵，矩阵元是 ,可以将上式简单地写成：
（4.2.7） 那么假如Q具有连续分布的本征值q，上面的讨论仍然成立，只是变换一下角标： 分立谱 连续谱 则为： （4.2.10）

265 只是该矩阵的行列是不是可数的，而是用连续下标表示。 如果Q既具有分立和连续的本征值，则可以用两者共同表示。
（2）厄米算符F在Q表象中的特点 力学量算符用厄米矩阵表示为： 则其共轭复数为： （4.2.8） 这说明F矩阵的m行n列的矩阵元等于它第n列m行矩阵元的共轭复数，满足（4.2.8）式的矩阵称为厄米矩阵。

266 用 表示矩阵F的共轭矩阵，根据厄米矩阵的定义则有：
则（4.2.8）式写为： 或 讨论完刚才的问题，那么现在来看看算符在自身表象中的矩阵表象，由（4.2.4）式，Q表象在自身表象中的矩阵元是： （4.2.9） 由此不难看出，算符在其自身表象中是一个对角矩阵。

267 在前几章我们都是在用坐标表象描述量子力学的规律，现在我们就可以用任一力学量Q的表象来描述这些规律，下面就以Q具有分立的本征值为例进行讨论。
4.3 量子力学公式的矩阵表示 在前几章我们都是在用坐标表象描述量子力学的规律，现在我们就可以用任一力学量Q的表象来描述这些规律，下面就以Q具有分立的本征值为例进行讨论。 （1）期望值公式 将波函数Ψ (x, t)按Q得本征函数展开并写出它的共轭表示式： （4.3.1） 然后将此式带入期望值公式：

268 得出： （4.3.2） 则将上式写成矩阵相乘的形式： 或者写成： （4.3.3）

269 （2）本征值方程 本征值方程 这种矩阵形式可有（4.2.7）式令 得出： （4.3.4） 把矩阵详细的写出：

270 将等号右边部分移至左边，得： （4.3.5） 方程（4.3.5）是一个线性奇次方程组： 这个方程组由非零解的条件是系数行列式为零，即：

271 （4.3.6） 方程（4.3.5）称为久期方程，从这个方程中可以得到一组 的值 这就是F的本征值。 （3）薛定谔方程 将（4.3.1）式带入薛定谔方程：

272 并以 左乘等式两边，在对x变化的空间积分，得：
（4.3.7） （其中） 则（4.3.7）的矩阵形式为： （4.3.8） 或者简写为：

273 第五章 微 扰 理 论

274 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系的哈密顿量不显含时间，而且可以分为两部分：
5.1 非简并定态微扰理论 一、微扰体系方程 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系的哈密顿量不显含时间，而且可以分为两部分： 即由 所描写的体系是可以精确求解的。 另一部分 是很小的，可以看作加于 上的微小扰动。

275 非简并定态微扰理论 （3） 当 时， 当 时，引入微扰，使体系的能级发生移动。 既然是微扰，显然， 、 则应是波数和能量的主要部分。
另一部分是很小的，可以看作加于上的微小扰动。新在的问题是如何求解微扰后哈密顿量的本征值和本征函数，即如何求解整个体系的薛定谔方程： （3） 当 时， 当 时，引入微扰，使体系的能级发生移动。 既然是微扰，显然， 、 则应是波数和能量的主要部分。

276 非简并定态微扰理论 其中 ， 是零级近似， ， 和 ， 分别是体系能量和波函数的一级修正和二级修正。它们具有不同的数量级。

277 非简并定态微扰理论 二、关联方程 建立零级近似，各级修正之间的互相联系的方程，将（4）（5）代入（3）式得（并把同数量级的写在一起） 这个等式的两边同级修正的项应相等，由此可得到下面一系列的关联奉承。

278 非简并定态微扰理论 三、能量和波函数的一级修正 上面的（6）式就是 的本征方程，可精确求解（已知）,（7）式是一级修正所满足的方程。
上面的（6）式就是 的本征方程，可精确求解（已知）,（7）式是一级修正所满足的方程。 将（7）式移项可化为： 将波函数的一级修正 按 的本征函数系展开，即: 将（10）式代入（9），则得:

279 非简并定态微扰理论 以 左乘上式两边，并对全空间积分，利用 的正交归一性，可得: 称为微扰矩阵元。

280 非简并定态微扰理论

281 非简并定态微扰理论

282 非简并定态微扰理论 四、能量的二级修正 代入（8）式，并利用零级和一级近似得：

283 非简并定态微扰理论 ∴能量的二级近似为： 微扰理论适用的条件：

284 非简并定态微扰理论 当（23）式满足时，计算一级修正一般就可得到相当精确的结果。但如果一级修正为零，则必须计算二级修正。
从（23）式可以看出，微扰理论的方法能否适用不仅取决于矩阵元 的大小，同时还取决于能级间的间距 ，例如，库仑场中体系的能级与量子数n的平方成反比，当n增大时，能级间的距离很小，这时微扰理论就不适用了，因此微扰理论只适用于计算低能级（ ）的修正。

285 非简并定态微扰理论

286 非简并定态微扰理论

287 非简并定态微扰理论

288 非简并定态微扰理论

289 非简并定态微扰理论

290 非简并定态微扰理论

291 5.2 简并情况下的微扰

292 5.2 简并情况下的微扰

293 5.2 简并情况下的微扰

294 5.2 简并情况下的微扰

295 5.2 简并情况下的微扰

296 5.2 简并情况下的微扰

297 第七章 自旋与全同粒子 § 7.1 电子的自旋 § 7.2 电子的自旋算符和自旋波函数 § 7.3 简单塞曼效应 § 7.4 两个角动量耦合
§ 7.4 两个角动量耦合 § 7.5 光谱精细结构 § 7.6 全同粒子的特性 § 7.7 全同粒子体系波函数 泡利原理 § 7.8 两电子自旋波函数

298 §7.1 电子的自旋 本节导航： 1.为什么将电子自旋引进量子力学理论？ 2.两个实验现象证明电子具有自旋 3.提出假设解释实验现象

299 薛定谔方程具有较大的局限性，没有把自旋包含进去，因而不能解释牵涉到自旋的微观现象，比如塞曼效应。
1.为什么电子自旋引进量子力学理论？ 薛定谔方程具有较大的局限性，没有把自旋包含进去，因而不能解释牵涉到自旋的微观现象，比如塞曼效应。

300 （1）斯特恩-格拉赫（Stern-Gerlach ）实验
2.两个实验现象证明电子具有自旋 （1）斯特恩-格拉赫（Stern-Gerlach ）实验 实验现象： 处于S 态的氢原子束通过非均匀磁场在照片上出现两条分立的线 实验结论： 说明氢原子有磁矩 ，所以在非均匀磁场中受到力的作用而发生偏转 。 由分立线只有两条可得，原子的磁矩在磁场中只有两种取向，即它们空间量子化的。

301 实验分析 假设原子的磁矩为M，它在沿Z方向的外磁场B中的势能为： 原子在Z方向受力为： 若原子磁矩可任意方向， 则 cos  可从 -1连续变化到+1，照片上得到一个连续带，但实验结果只有两条分立的线。对应于cos  = -1 和 cos =+1

302 拓展： 处于S 态的氢原子，角量子数为0，原子没有轨道角动量，因而也没有轨道磁矩，原子所具有的磁矩是电子的固有磁矩。即自旋磁矩

303 （2）光谱线的精细结构 应用分辨率高的分光镜或摄谱仪观测，可以看到钠原子中2p-1s的谱线是由靠得很近的两条谱线组成。其他原子光谱中也可以发现这种双谱线现象，这种双谱线结构称为光谱线的精细结构。只有考虑了电子的自旋，光谱线的精细结构才能得到解释

304 3.提出假设解释实验现象 为了解释这些实验现象，Uhlenbeck 和 Goudsmit 提出了以下假设 （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值： （2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：

305 由上式可知电子自旋磁矩与自旋角动量的比是
这个比值称为电子自旋的回转磁比率。 我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：

306 则轨道运动的回转磁比率为： 因而自旋回转磁比率等于轨道运动回转磁比率的两倍

307 在空间任何方向上的投影只能取两个数值：

308 § 7.2 电子的自旋算符和自旋波函数 本节导航： 1.自旋角动量算符 2.Pauli 算符 3.电子波函数 4.自旋角动量算符的矩阵形式
5.含自旋波函数的归一化和几率密度

309 1.自旋角动量算符 自旋角动量：电子内部状态的表征，与电子的坐标和动量无关，是描写电子状态的第四个变量。 表示：算符S
对易关系：满足同样的角动量对易关系 写成分量形式：

310 由于 在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值
所以 的本征值为： 与轨道角动量一样 必须注意，我们只能去一个数值，即

311 2.Pauli 算符 引进泡利算符，它与自旋角动量算符的关系 写成分量形式： Pauli 算符满足的对易关系：

312 写成分量形式 由于Sx, Sy, Sz的本征值都是±/2， 可知σx,σy,σz的本征值都是±1；因此 σx2,σy2,σZ2 的本征值都是 1，即

313 各分量之间满足反对易关系 ： 3.电子波函数 因为自旋是电子内部状态的表征，所以描写电子所出状态除了用 (x, y, z) 描写轨道运动外，还需要一个自旋变量 (SZ）来描写自旋态，电子的波函数写为：

314 由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量
把以上两个分量排成二行一列的矩阵 假设规定列矩阵 第一行Sz = /2， 第二行Sz = -/2，则电子处于Sz = /2的自旋态，其波函数可写成

315 同理，电子处于Sz = -/2的自旋态，其波函数可写成
4.自旋角动量算符的矩阵形式 电子自旋算符的矩阵表示应该是 2×2 矩阵，才能使其作用于电子自旋波函数上2×1 的列矩阵上仍得到2×1 的列矩阵。

316 假设: 因为 描写的态，SZ有确定值 /2，所以 是 SZ 的本征态，本征值为 /2： 由此可得

317 同理可得 由对易关系可得

318 由泡利算符与自旋角动量算符的关系，可知泡利矩阵
5.电子波函数的归一化和几率密度 波函数的归一化必须同时对自旋求和和对空间坐标积分， 是 的共轭矩阵

319 波函数的概率密度 其中 表示t时刻（x,y,z)点处单位体积内找到自旋Sz= /2和Sz = –/2 的电子的概率。 当自旋和轨道运动之间无相互作用时

320 由 自旋算符只对自旋波函数有作用

321

322 § 7.3 简单塞曼效应 本节导航： 1.外磁场中的附加能 2.求解类氢原子Schrodinger方程 3.塞曼效应的分类

323 1.外磁场中的附加能 取外磁场方向沿 Z 向，则磁场引起的附加能 体系的定态Schrodinger 方程：

324 因为chrodinger 方程中无自旋轨道相互作用，则
代入薛定谔方程为： 当外磁场不存在时，上述两方程的解是

325 2.求解类氢原子Schrodinger方程 类氢原子的薛定谔方程 当外磁场不存在时，由于 是 的本征函数： 所以 也是薛定谔方程的解

326 由此可见，在外磁场中，能级与 m 有关。原来 m不同而能量相同的简并现象被外磁场消除了。由于外磁场的存在，能量与自旋状态有关。当原子处于 S 态时， l = m = 0 ，原能级 En l 分裂为两个。

327 电子从 到 的跃迁谱线频率为： 是没有外磁场的跃迁频率， 是跃迁中磁量子数的改变。 由选择定则知

328 塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。
由 以可见，在没有外磁场时，一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就叫简单塞曼效应。 若外磁场很弱，电子自旋与轨道相互作用不能忽略，则分裂成偶数条，称为复杂塞曼效应。