第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式.

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1 第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式

2 一、变速直线运动中位置函数与速度函数的 联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为

3 二、积分上限函数及其导数 考察定积分 记 积分上限函数

4 积分上限函数的性质 证

5 由积分中值定理得

6 补充 证

7 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.

8 三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3（微积分基本公式） 证

9 令 令 牛顿—莱布尼茨公式

10 微积分基本公式表明： 求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意

11 例1 求 原式 解 例2 设 , 求 解

12 例3 求 解 由图形可知

13 例4 求 解 解 面积

14 证

15

16 证 令

17 例8 求 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解

18 小结 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的 关系．

19 填空 具有连续导数，且 则

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21 若 为连续函数，求 求 设函数 ，求它的极值 ，求 计算

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24 已知 为 的一个原函数，求

25 设 是连续函数，且满足 求 设 ，求

26 设 ，求该曲线的极值和拐点