定积分性质和微积分学基本定理 一、 定积分性质 二、 变上限积分函数 三、 定积分基本公式.

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1 定积分性质和微积分学基本定理 一、 定积分性质 二、 变上限积分函数 三、 定积分基本公式

2 一、定积分的性质 条件：下列积分都存在 性质1 性质2 性质３ ( k 为常数) 性质４ ( 积分区间可加性) 推广：

3 性质５ 在区间 上 性质６ 如果 分别是 和 最小值和最大值,则 上 在区间 性质７

4 (1)偶函数的图像关于y轴对称 (2)奇函数的图像关于原点对称

5 例１ 例2 不计算定积分的值，比较下列定积分大小． (1)因为当 时， 所以 (2)因为当 时，

6 性质８ ( 积分中值定理 ) 如果函数 在闭区间 上连续，则在区间 上 至少存在一点 使得 通常我们称 为连续函数 在 上的平均值。

7 积分中值定理的几何解释 ： 当　　　 时,由曲线 ,直线 所围成的曲边梯形的面积，等于以区间 为底、以该区间上某一点处的函数值 为高的矩形的面积 。

8 二、 变上限积分函数 设函数 在 上连续，x为区间上的任意一点，则定积分 存在．
　随着积分上限x在区间内变化，定积分都有惟一确定的值与之相对应,故　　　　　　 是x的函数，称它为 变上限积分函数，记作　　　，即 　

9 微积分学第一基本定理 　　如果函数　　在区间　　上连续，则函数 在区间　　上可导，且它的导数就是　　，即 　　定理表明，　 是连续函数　 的一个原函数．这个定理揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系。

10 例 设　　　　　　　　 ，求 解：根据定理，可得 　　　 例 设　　　　　 　 ，求 练习．设　　　　　　　 ,求　　 ． （答案： 　　）

11 区别三种积分 不定积分 表示全体原函数 定积分 表示一个常数 变上限积分 表示一个原函数 练习

12 三、定积分基本公式 微积分学第二基本定理 设函数 在 上连续，若
　　设函数　　在　　 上连续，若　　　　　　　　 　称为牛顿（Newton）—莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫定积分基本公式．

13 求定积分 例

14 练习．求定积分　 　　　　　　 　 ． （答案： 　　　　） 例 求定积分

15 例 求定积分 解：被积函数是分段函数 由积分区间的可加性，得

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19 这种做法是错误的。不能直接使用牛—莱公式
计算积分 这种做法是错误的。不能直接使用牛—莱公式 注意：牛—莱公式使用条件： 函数在闭区间连续

20 小 结 1．定积分性质． 2．变上限积分函数的概念． 3．变上限积分函数求导方法 ． 4．利用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分