9.1 数值积分基本方法 9.2 梯形积分 9.3 Simpson积分 9.4 Newton-Cotes积分 9.5 Romberg积分

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1 9.1 数值积分基本方法 9.2 梯形积分 9.3 Simpson积分 9.4 Newton-Cotes积分 9.5 Romberg积分
第9章 数值微积分 9.1 数值积分基本方法 9.2 梯形积分 9.3 Simpson积分 9.4 Newton-Cotes积分 9.5 Romberg积分

2 9.1 数值积分基本方法 9.1.1 数值积分的一般公式 1.数值积分的基本思想 2.数值积分的一般公式
9.1 数值积分基本方法 9.1.1 数值积分的一般公式 1.数值积分的基本思想 对f(x)在区间[a,b]上的积分，利用f(x)的一组节点xi(i=0,1,…,n)和函数值f(xi)的某种线性组合表示的算法。 2.数值积分的一般公式 其中Ai称为求积公式系数，xi称为求积公式节点，R(f)称为求积公式余项

3 9.1 数值积分基本方法 9.1.2 构造数值积分公式的基本方法 1.基本方法 2.常用方法
9.1 数值积分基本方法 9.1.2 构造数值积分公式的基本方法 1.基本方法 用一个性质简单的函数g(x)逼近f(x)，用g(x)的积分近似代替f(x)的积分。 目的：性质简单的函数---有利于寻找Ai 2.常用方法 取g(x)为n阶Lagrange插值多项式Ln(x)，即

4 9.1 数值积分基本方法

5 9.1 数值积分基本方法 9.1.3 代数精确度 定义 若数值积分公式对任意次数不超过m的代数多项式都能得到理论解，而对高于m次的多项式不能得到理论解，则称此求积公式的代数精度为m。 等价于 若数值积分公式对f(x)=1,x,x2,…,xm均能得到理论解，而对f(x)=xm+1不能得到理论解，则称此求积公式的代数精度为m。

6 9.2 梯形积分 基本思想： 9.2.1 梯形积分公式的推导 用线性Lagrange插值多项式代替f(x)
9.2 梯形积分 基本思想： 用线性Lagrange插值多项式代替f(x) 9.2.1 梯形积分公式的推导 已知：L1(x)，节点 x0=a , x1=b 求：求积系数A0 , A1 = ? 梯形积分公式

7 9.2 梯形积分 9.2.2 梯形积分公式的几何意义 9.2.3 代数精度和截断误差 1.代数精度：1 2.截断误差： x y a b A
9.2 梯形积分 9.2.2 梯形积分公式的几何意义 9.2.3 代数精度和截断误差 1.代数精度：1 2.截断误差： x y a b A B

8 9.2 梯形积分 9.2.4 复合梯形积分公式 1.复合积分公式 2.复合梯形积分公式
9.2 梯形积分 9.2.4 复合梯形积分公式 1.复合积分公式 将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算积分的近似值，再将近似值之和作为结果。 2.复合梯形积分公式 已知：f(x)，积分区间[a,b]，节点xi=a+ih，h=(b-a)/n 每个小区间采用梯形求积公式 求：复合梯形积分公式

9 9.2 梯形积分 9.2.4 复合梯形积分公式

10 9.2 梯形积分 9.2.5 复合梯形积分公式的计算步骤 9.2.5 复合梯形积分公式的计算实例

11 9.3 Simpson积分 基本思想： 9.3.1 Simpson积分公式的推导 用2阶Lagrange插值多项式(抛物线)代替f(x)
已知：L2(x)，节点x0=a, x1=(a+b)/2 , x2=b 求：求积系数A0 , A1 , A2 = ? Simpson积分公式

12 9.3 Simpson积分 9.3.2 代数精度和截断误差 1.代数精度：3 2.截断误差：

13 9.3 Simpson积分 9.3.4 复合Simpson积分公式
已知：f(x), [a,b]作2n等份,节点xi=a+ih, h=(b-a)/2n 每个小区间均采用Simpson积分公式 求：复合梯形积分公式

14 9.4 Newton-Cotes积分 基本思想： 9.4.1 Newton-Cotes积分公式的推导 9.4.2 代数精度、截断误差、稳定性
凡用等距节点的Lagrange插值多项式代替f(x)的积分，称为Newton-Cotes积分。 9.4.1 Newton-Cotes积分公式的推导 已知：Ln(x), 节点xi=a+ih, h=(a+b)/n 作变量替换 x=a+th 求：求积系数Ai = ?  Cotes系数 代数精度、截断误差、稳定性

15 9.4 Newton-Cotes积分 已知：Ln(x), 节点xi=a+ih, h=(a+b)/n, 作 x=a+th
求：求积系数Ai = ?  Cotes系数

16 9.4 Newton-Cotes积分 代数精度、截断误差、稳定性 1. 代数精度 2. 截断误差 3. 稳定性

17 9.5 Romberg积分 基本思想： 9.5.1 复合梯形公式逐次分半算法
在区间逐次分半的过程中，将复合梯形公式的近似值通过加权平均，应用外推法的思想构造出的一种加速算法。 9.5.1 复合梯形公式逐次分半算法 算法思想： (1)将区间[a,b]分成n等份， (2)按复合梯形公式求Trn (r---区间分半次数) (3)若Trn满足精度要求，则结束；否则进入步骤(3) (4)将每个小区间[xi, xi+1]再分半，输入步骤(2)

18 9.5 Romberg积分 递推算法 ( 区间[a,b]分成2k等份 )： 几何意义

19 9.5 Romberg积分 9.5.4 Romberg积分公式 1.复合梯形公式逐次分半算法的收敛速度:
Tn的截断误差与h2成正比 当步长缩小1/2时，截断误差给为原误差的1/4 即： 2.(从上述公式出发)可构造一种误差更小的近似值

20 9.5 Romberg积分 3. 可以证明T’2n就是Simpson积分序列{S2k}
4.同理可继续构造出收敛更快的Cotes序列{C2k} 5.再构造出Romberg序列{R2k}

21 9.5 Romberg积分 9.5.5 Romberg积分公式的计算步骤 9.5.6 Romberg积分公式的计算实例