定积分的概念与性质 变上限积分的概念与定理 牛顿-莱布尼茨公式 讨论或证明变上限积分的特性

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1 定积分的概念与性质 变上限积分的概念与定理 牛顿-莱布尼茨公式 讨论或证明变上限积分的特性
第八讲 定积分的概念与微积分基本定理 定积分的概念与性质 变上限积分的概念与定理 牛顿-莱布尼茨公式 讨论或证明变上限积分的特性

2 1.1 问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积） a b x y o

3 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

4 曲边梯形如图所示，

5 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为

6 1.2 定积分的定义 定义

7 记为 积分和 积分上限 被积表达式 积分变量 被积函数 积分下限

8 注意：

9 1.3存在定理 定理1 定理2

10 1.4 定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

11 几何意义：

12 思考题 将和式极限： 表示成定积分.

13 思考题解答 原式

14 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

15 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

16 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

17 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

18 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

19 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

20 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

21 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

22 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

23 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

24 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

25 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

26 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

27 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

28 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

29 1.5 基本性质 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．

30 性质1 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）

31 性质2 证

32 性质3 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）

33 性质4 性质5

34 解 令 于是

35 性质5的推论： （1） 证

36 性质5的推论： （2） 证 说明： 可积性是显然的.

37 性质6 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围）

38 解

39 1.6 定积分中值定理 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知

40 使 即 积分中值公式的几何解释：

41 解 由积分中值定理知有 使

42 二、小结 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．

43 2 积分上限函数及其导数 考察定积分 记 积分上限函数

44 积分上限函数的性质 证

45 由积分中值定理得

46 补充 证

47 例1 求 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解

48 证

49

50 证 令

51 3、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3（微积分基本公式） 证

52 令 令 牛顿—莱布尼茨公式

53 微积分基本公式表明： 求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意

54 例4 求 解 原式 例5 设 , 求 解

55 例6 求 解 由图形可知

56 例7 求 解 解 面积

57 四、小结 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．

58 思考题

59 思考题解答