为什么要学习数学 ——兼论数学核心素养 史宁中.

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1 为什么要学习数学 ——兼论数学核心素养 史宁中

2 高中阶段教育具有：基础性、选择性、时代性 教学大纲：以知识为本。关心教什么知识，教到什么程度 双基目标：基础知识扎实（记忆）、基本技能熟练（训练） → 课程标准：以人为本。关心学生的全面成长 无论是那个学科的课、无论是那个时间的课， 都应当记住：培养学生 向上的精神、学习的兴趣、创造的激情、社会的责任感 数学：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题

3 一、如何理解数学 二、数学教育的一般性目标： 1. 会用数学的眼睛观察现实世界 2. 会用数学的思维思考现实世界 3
一、如何理解数学 二、数学教育的一般性目标： 1.会用数学的眼睛观察现实世界 2.会用数学的思维思考现实世界 3.会用数学的语言表达现实世界 三、未来考试的一个例子

4 一、如何理解数学 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类生活和社会发展紧密关联。随着现代科学技术和计算机科学的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到大幅度增强，特别是伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理，使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展，数学直接为社会创造着价值，推动社会生产力的发展。(数学的基本表述)

5 现代数学的发展表明，数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。因此，数学不仅是自然科学的重要基础，而且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面。数学不仅是运算和推理的工具，数学还是表达和交流的语言，数学承载着思想和文化，数学是现代文明的重要组成部分。（数学的本质特征）

6 数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。数学教育承载着基于时代要求的整体育人功能，它不仅使学生掌握现代生活和学习所必需的数学知识、技能、思想和方法，更发挥着数学在培养人的思维能力、创新意识以及形成正确的世界观方面的特有功能，促进学生全面发展，并为学生适应终身学习奠定基础。（数学的教育功能） 数学素养包含具有数学基本特征的必备思维品格和关键能力。

7 1.会用数学的眼睛观察现实世界 数学抽象、直观想象 数学抽象：把握事物的本质；一般性思考问题（思维品质） 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。数学抽象主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。（概念内涵）

8 数学抽象是数学的基本思想，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。（学科价值） 数学抽象的素养是形成理性思维的重要基础。在数学教学活动中，注重抽象能力的培养，有利于学生养成一般性思考问题的习惯，有利于学生更好的理解数学的概念、命题、结构和系统，有利于学生在其他学科的学习中化繁为简，理解该学科的知识结构和本质特征。（教育价值）

9 数量 → 数、加法 → 字母、代数式 → 集合、关系
概念与关系 抽象的层次（有序多级） 数量 → 数、加法 → 字母、代数式 → 集合、关系 三个苹果、三头牛、三座山 → □□□ → 3（自然数） 数量关系的本质是多与少 → 数关系的本质是大与小（加法） 数的运算：算数 → 字母运算：代数 3 + 2 = → a + b = b + a 方程根与系数之间的关系 字母运算：代数 → 集合、关系 函数：集合元素之间的对应关系；为什么初中和高中函数定义不同？ 什么是集合？概念符号化、证明形式化、推理公理化

10 概念符号化 欧几里得定义：点是没有部分的东西。两条直线相交？点与数的 对应？ 希尔伯特通过符号定义概念：A表示点、a表示直线、α表示平面；通过公理确定概念之间关系：两点决定一条直线、两条直线交于一点、三点决定一个平面。 解释说：欧几里德关于点、线、面的定义在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论是称它们为点、线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒杯，最终推理得到的结论都是一样的。 策梅罗（ZF公理体系）通过符号定义集合：用大写字母A表示集合，用小写字母x表示元素。元素x属于A，表示为x∈A。

11 三角函数：为什么初中在直角三角形、高中在单位圆中讨论？ 度数在本质上不是实数，如何用实数刻画角的大小？
规律与结构 三角函数：为什么初中在直角三角形、高中在单位圆中讨论？ 度数在本质上不是实数，如何用实数刻画角的大小？ 角的大小 = 对应弧长 = 弧在圆周所占比例 × 2π 可以研究三角函数的性质 自然界和生活中许多现象都具有周期性，其中绝大多数的周期性都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数表征，人们称这样的级数为傅里叶级数。 以正弦函数和余弦函数为基底的无穷维线性空间

12 符号与表征 伽利略说：哲学被写在展现于我们眼前的伟大之书上，这里我指的是宇宙。但是如果我们不首先学会用来书写它的语言和符号，我们就无法理解它。这本书是以数学语言写的，它的符号就是三角形、圆和其他几何图形，没有这些符号的帮助，我们简直无法理解它的片言只语；没有这些符号，我们只能在黑暗的迷宫中徒劳地摸索。 自由落体：s = gt2/2 力的定义：F = ma

13 2.会用数学的思维思考现实世界 逻辑推理、数学运算 逻辑推理：论理要有证据；思维要有逻辑（思维品质） 凡人都有死，苏格拉底是人，苏格拉底有死。 苹果是酸的，酸的是一种味道，所以苹果是一种味道。 三角形内角和为180度，平角不是三角形，所以平角不为180度。 三角形内角和为180度，180度为一条直线，所以三角形为直线。 含有未知数的等式为方程？ 方程是函数值为零的特殊形式？

14 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，主要有演绎推理。命题是数学结论的主要形式，也是数学交流的主要内容，因此，逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具有逻辑性。（概念内涵）

15 逻辑推理是数学思维的主要形式，是发现、提出数学命题以及论证命题正确与否的重要手段，也是构建数学体系的重要方式。逻辑推理不仅保证了数学的严谨性，也保证了数学交流的严谨性。（学科价值） 逻辑推理是数学教学活动的核心，也是培养科学素养的重要途径。逻辑推理核心素养的习得，可以使人们的交流合乎逻辑，提高交流的效率和效果。在数学教学活动中，注重逻辑推理核心素养的培养，有利于学生理解一般结论的来龙去脉、形成举一反三的能力，有利于学生形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力，有利于学生提高探究事物本源的能力。 （教育价值）

16 什么是命题？是可供判断的陈述句。 可供判断（不是数学命题）：这个三角形是白的。 仅供判断（都是数学命题）： 三角形内角和是180度。三角形内角和是120度。 性质命题。…是… 关系命题。如果…，那么… 推理的基础。同一律：a = a； 矛盾律：P与非P不能同时成立； 排中律：P与非P必有一个成立。

17 a1∈A，a1→P；a2∈A，a2→P；…；an∈A，an→P / a∈A，a→P
归纳的思维模式：由小到大。 a1∈A，a1→P；a2∈A，a2→P；…；an∈A，an→P / a∈A，a→P 自然数前n项和A(n)、平方前n项和B(n)、立方前n项和C(n) n A(n) B(n) C(n) C(n) = [A(n)]2 = n2(n+1)2/4 B(n)/A(n) / / / / /3 B(n) = n(n+1)(2n+1)/6

18 类比的思维模式：由小到大。 令A和B是两个集合，Q是一个属性，P是一个性质。A和B中的元素都具有属性Q，如果A→P，则B→P。 直线上的距离 → 二维空间勾股定理 → 任意n维空间勾股定理 三维空间平面定义 → 任意n维空间超平面定义 极限： 1/n → 0；an → a；用数学符号ε-N 语言 一般： 当x → x0时，f(x) → f(x0)？ 直观，任意 xn → x0时，f(xn) → f(x0) 用数学符号ε-δ语言

19 演绎推理的思维模式：由大到小。 一个推理是有逻辑当且仅当这个推理具有传递性。 关系传递：令A是一个集合，≈是集合上的二元关系。称这个关系对于集合具有传递性，对于集合中的元素a，b和c，如果a≈b，b≈c，则a≈c。 性质传递：令A是一个集合，P是一个性质。 A→P，如果x∈A，则x→P。

20 性质传递：令A是一个集合，P是一个性质。 A→P，如果x∈A，则x→P。 自然对数的底 一般结论：单调有界数列收敛。

21 推理的共同基础。同一律：a = a； 矛盾律：P与非P不能同时成立； 排中律：P与非P必有一个成立。 数学运算具有关系传递性。三段论（全称肯定、全称否定、特称否定、复合三段论、假言三段论）具有性质传递性： 令A是一个集合，P是一个性质。A→P，如果x∈A，则x→P。 具有：凡人都有死，苏格拉底是人，苏格拉底有死。 没有：苹果是酸的，酸的是一种味道，所以苹果是一种味道。 数学证明：完全归纳法、数学归纳法、反证法 证明方法本身的正确性是可以证明的。

22 数学归纳法：能够从过去推演现在，就能从现在推演未来。
基于有序命题 P(1)，P(2)，…，P(n)，… （1）验证命题P(1)。如果成立， （2）假设命题P(k)成立，验证命题P(k+1)。如果成立，则 （3）集合A上所有元素对于命题P成立。 证明：假定不正确，必然存在一些自然数，使相应有序命题不成立。 令m是使P(m) 不成立的最小自然数。因为验证了P(1) ，所以m≧2，即m-1是一个大于或等于1的自然数。因为m是使有序命题不成立的最小的自然数，那么有序命题P(m-1) 成立。与所示程序矛盾。假定不成立。（矛盾律） 反命题成立，即由数学归纳法得到的结论必然成立。（排中律） →超限归纳法

23 关于排中律 排中律是亚里士多德在《形而上学》中提出的，他提出的时候就犹豫不决： 在对立的陈述之间不允许有任何的居间者，对于一事物必须要么肯定要么否定其某一方面。…… 如果不是为理论而理论的话，在所有对立物之间，应当存在居间者，故一个人可能既以其为真又以其为不真。在存在与不存在之外它也将存在，因此，在生成和消灭之外有另外某种变化。 统计学：否定一件事不一定要肯定这件事相反的一面。

24 3.会用数学的语言表达现实世界 数学建模、数据分析 数学建模：关注变化规律，善于符号表征（思维品质） 什么是数学模型？3x是模型？方程是模型？函数是模型？ 数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程。数学建模能力指能够在实际情境中，从数学的视角提出问题，用数学的思想分析问题，用数学的语言表达问题，用数学的知识得到模型，用数学的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，不断反思和改进模型，最终得到符合实际规律的结果。反思贯穿于数学建模的全过程。 （概念内涵）

25 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的基本形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，是推动数学发展的外部驱动力。（学科价值） 数学建模突出学生系统地运用数学知识解决实际问题的过程，帮助学生逐步积累数学活动经验，培养学生应用能力和创新意识。在数学教学活动中，加强数学建模核心素养的培养，有利于学生养成用数学的眼光观察现实世界的习惯，有利于学生发展用数学的思维分析实际问题的能力，有利于学生形成用数学的语言表达实际问题的能力。（教育价值）

26 客观现象：一定质量的气体，在压强不变的条件下，温度每升高1℃，增加的体积是一个常数。 科学结论：对于任意的温度T1 和 T2，均有V1/T1 = V2/T2。 数学模型：得到用直线方程表示的模型。 气体体积与气体温度的线性关系 结论分析：当摄氏温度下降到-s时，气体体积V下降到0，人们称这个常数s为绝对零度：s = 。后来，人们认定粒子的运动停止达到绝对零度更精确的值是摄氏 度。

27 凯恩斯强调政府对于市场经济的干预，他构建模型考虑国民收入（Y）、国民消费（C）和国民投资（I）之间的关系，并且设想这个关系可以表示为 Y = C + I， C = a0 + aY 第一个方程是加法模型：收入 = 消费 + 投资 第二个方程是线性模型：a0 基本消费；a 边际消费 Y = (a0 + I)/(1-a) 消费拉动经济的理论基础。

28 文理不分科：必修与选修Ⅰ。 减少选择题、强调基本概念与通性通法 尝试开放题、注重思维过程与加分原则 关于单调性的一个例题 已知关系式 y=ax 1.当a是常数时，举例说明y和x的关系。 （水平一） 2.当a是x的线性函数时，说明y与x的变化关系，予以论证。 （水平二、水平三） 3.请举例说明你给出的2的结论。（水平三）

29 例题实际背景（1）：跨越黄河 一摩托车骑手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出 时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是 35米。为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约 10米。那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？ 例题实际背景（2）：重心变化 一底面积为S(分米)2，高为H分米，重量为M千克重 的有盖圆柱形容器，内盛液面高度为h分米的水。设容器 的质地是均匀的且薄厚相同(包括盖)，问h为多少时使容 器和水整体的重心最低。

30 谢谢！

31 1673年，莱布尼茨首先定义了函数，并且使用了function一词，表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量的纵坐标。 1755年，欧拉给出明确定义：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数。（变量） 1851年，黎曼给出了新的定义：假定z是一个变量，如果对它的每一个数值，都有未知量w的一个数值与之对应，则称w是z的函数。 1939年，布尔巴基学派给出更为抽象的定义： 设E和F是两个集合。E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足x给定的关系。 称这样的运算为函数，它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系。称y是函数在元素x处的值，函数由给定的关系所确定。两个等价的函数关系确定同一个函数。（对应）