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第9章 天线及智能天线仿真试验 9.1 全向天线的波束下倾 9.2 天线阵的波达方向估计 9.3 天线阵的波束形成
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9.1 全向天线的波束下倾 9.1.1 全向天线的波束下倾的基本原理
全向天线的波束下倾的基本原理 广播用的发射机天线建在天线塔上，希望覆盖广大的地域。在覆盖区的边沿，由于距离远，地球表面弯曲，电磁波场强衰减很快，因此为了有效地覆盖既定的区域，保证区域内场强不低于特定的值，通常采用波束下倾的方法，将轴向排列的半波振子天线，通过调节天线的轴向间距、馈电的相位，使得轴向天线阵列的方向图实现波束下倾。
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图9-1所示是轴向排列的半波振子天线的结构图。阵元之间的距离是d，垂直轴线与电磁波辐射方向的夹角是θ，相邻阵元馈入信号的相位差是α，相邻阵元发出电磁波到达同一地点的程差是dcosθ，相邻阵元发出电磁波到达同一地点的相位差参看公式(9-1)。 (9-1）
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图9-1 轴向排列的半波振子天线阵元间的相位差
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9.1.2 仿真实现 根据以上讨论，编写出绘制轴向排列天线阵列的方向图的程序。 程序9-1 %均匀轴向排列（8阵元）线状天线阵 lam=1;%波长 t=［0:.01:2*pi］; d=.6;%阵元间距 a1=-1;%阵元馈入信号的相位差即α
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ps=（d*2*pi*cos（t）/lam）-a1;%阵元发出电磁波到达同一地点的相位差
f=abs（1+（exp（j*（ps）））+（exp（j*2*（ps）））+（exp（j*3*（ps）））+...（exp（j*4*（ps）））+（exp（j*5*（ps）））+（exp（j*6*（ps）））+（exp（j*7*（ps））））; %8阵元信号的叠加，然后取绝对值 T=t+pi/2; polar（T，f)%绘极坐标图 程序运行后得出的方向图如图9-2所示。
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图9-2 轴向阵列波束下倾的仿真图
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9.2 天线阵的波达方向估计 原理 全向天线不仅利用率不高，而且对各种信号不加区别地接收，降低了通信质量。定点无线通信采用定向天线，大幅度地改善了通信质量。面对众多移动用户的公众通信网基站和专用移动通信网，采用天线指向即波束可变的天线（智能天线），可以使移动通信的通信质量得到很大的改善。
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为使天线的波束指向可控，甚至形状可控，采用阵列天线是合适的。在距离通信源足够远的空间里，可以将到达的电磁波视为平面波。对于等距离直线阵天线，由于调制在载波上的基带信号码元宽度与波速的乘积远大于天线阵列的尺寸，因此多个天线阵元上的信号的幅度可视为不变，而它们的载波的相位差则取决于其相互位置、尺寸、波长和到达方向。 图9-3所示是智能天线的原理框图。天线接收的无线电信号中有许多成分，其中有我们关心的S信号。天线阵列各个阵元接收的电磁波信号因为阵元排列位置的不同带来相位差。
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经过特定参数的加权控制器w处理后，进一步改变了各个阵元输出信号的相位和幅度。处理的目标是使得阵元输出的信号和Y中的S成分具有最大输出。用S信号作为基准信号，反馈控制单元的功能就是将输出信号Y与基准信号S的差值（即误差信号ε），作为调节控制加权控制器w参数的依据。 反馈控制的结果是使ε减小，Y中的S成分加大,也就是说,天线阵列接收方向图指向了S信号的方向。图9-4所示是等距离直线阵智能天线的原理框图，图9-5所示是等距离直线阵的三维图。
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图9-3 智能天线原理框图
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图9-4 均匀直线阵原理图
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图9-5 均匀直线阵三维图
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以下通过两个简单的例子介绍智能天线中波达方向估计和波束形成的原理。在图9-4中，我们把天线阵元沿x轴排列，从0到M-1。若有一平面波以θ角（入射线与z轴的夹角）和角（入射线与x轴的夹角）入射到阵列上，第K号阵元上产生的信号为xK，它与0号阵元的相位差是［29］：
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式中，λ与d分别是入射波的波长和阵元的间距，AK亦称阵因子。计入阵因子的影响，第K号阵元的输出是AKxK，即uK。为了使天线阵的输出满足需要，在每个阵元上，用加权因子wK进行控制。这样第K号阵元上输出的信号为wKAKxK，即wK wK 。若到达天线阵的信号是N个，则天线阵的输出是N个信号在M个阵元上的输出的叠加。将问题简化为xy平面的二维问题（sinθ=1），并用解析式表达如下： X(n)=［x1(n),x2(n),…，xN(n)］ (9-2）
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其中，为第1个信号的入射角。 A=［A1,A2,…,AN］ (9-4） W=［W1,W2,…,WM］ (9-5） y(t)=WHAXH=WHU (9-6） 其中，U=［u0,u1,…,uM-1］H。 求多个信号到达的方向（波达方向）的方法有多种，下面讨论其中的两种方法及其仿真试验的结果。
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9.2.2 求波达方向估计的方法 1. Capon法 Capon法亦称最小方差无畸变响应MVDR（MinimumVarianceDistortionLessResponse）。天线阵列中的阵元数决定了阵列方向图设计中的自由度数。Capon法将阵列中可控的自由度用来形成期望的波束形状，达到对有用信号进行提升和对无用信号进行抑制的目的，并将其优化问题表达为 (9-7）
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其约束条件为WHA( )=1。可以证明上式的解为
代入式（9-6），可以得到相应的功率为 Vn=［vN+1vN+2…vM］ (Vn是RUU相应的噪声特征矢量） 因为A与Vn的正交性，分母很小，峰值很大,这样可以得出MUSIC法的空间谱［8］为 (9-8）
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其中, 称为噪声子空间的正交投影估计。 以下是对七单元线形天线阵在四信号输入情况下的编程仿真设信号1从π/4方向入射,信号2从π/3方向入射,信号3从π/6方向入射,信号4从3π/4方向入射。 下面是用两种方法求波达方向估计的应用程序。
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程序9-2 %七单元线形天线阵的波达方向估计 d=1;%天线阵元的间距 lma=2;%信号中心波长 q1=1*pi/4; q2=pi/3;q3=pi/6;q4=3*pi/4;%四个输入信号的方向 A1=［exp（-2*pi*j*d*［0:6］*cos（q1）/lma）］′;%求阵因子 A2=［exp（-2*pi*j*d*［0:6］*cos（q2）/lma）］′;
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A4=［exp（-2*pi*j*d*［0:6］*cos（q4）/lma）］′; A=［A1，A2，A3，A4］;%得出A矩阵
n=1:1900; v1=.015;%四信号的频率 v2=.05; v3=.02; v4=.035; d=［1.3*cos（v1*n）;1*sin（v2*n）;1*sin（v3*n）;1*sin（v4*n）］;%输入信号矢量
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c=cov（U*U1）;%总输入信号的协方差矩阵 ［s，h］=eig（c）;%求协方差矩阵的特征矢量及特征值
U=A*d;%总的输入信号 U1=（U）′; c=cov（U*U1）;%总输入信号的协方差矩阵 ［s，h］=eig（c）;%求协方差矩阵的特征矢量及特征值 Vn=s（:，［5:7］）;%取出与零特征值对应的特征矢量 ci=inv（c）;%求协方差矩阵的逆矩阵 q1b=［pi/180:pi/180:pi］; forn=1:length（q1b） q1a（n）=q1b（n）; A1a=［exp（-2*pi*j*1*［0:6］*cos（q1a（n））/lma）］′; Pmusic（n）=（A1a）′*A1a*（inv（（A1a）′*Vn*（Vn）′*A1a））;%应用MUSIC法估计输出
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figure（1)%绘出应用MUSIC法估计的波达方向图 polar（T，P1） figure（2)%绘出应用MUSIC法估计的波达方向图
Pcap（n）=inv（（A1a）′*ci*（A1a））; %应用Capon法估计输出 T（n）=q1a（n）; P1=abs（Pmusic）; P2=abs（Pcap）; end figure（1)%绘出应用MUSIC法估计的波达方向图 polar（T，P1） figure（2)%绘出应用MUSIC法估计的波达方向图 T1=T*180/pi;
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semilogy（T1，P1）;grid figure（3)%绘出应用Capon法估计的波达方向图 polar（T，P2） figure（4)%绘出应用Capon法估计的波达方向图 T1=T*180/pi; semilogy（T1，P2）;grid 图9-6~图9-9所示是程序运行后显示的结果。
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图9-6 Capon法作出的波达方向估计（极坐标）
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图9-7 Capon法作出的波达方向估计（直角坐标）
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图9-8 MUSIC法作出的波达方向估计（极坐标）
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图9-9 MUSIC法作出的波达方向估计（直角坐标）
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从对以上四图的分析中可以得到如下结论：两种方法估计得都比较准确。在π/6,π/4,π/3,3π/4处有着尖锐的方向图线。MUSIC法的方向图线的幅度更大。
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9.3 天线阵的波束形成 我们以等距离圆阵为例来讨论天线阵的波束形成。图9-10所示是等距离圆线阵的三维图。
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图9-10 等距离圆线阵的三维图
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我们把天线阵元顺序定为从OB起顺时针排列为0到M-1。若有一平面波以θ角入射到阵列上，第K号阵元上产生的信号为xK，它与到达阵元中心的波前的相位差是 ；λ与r分别是入射波的波长和阵列圆的半径，AK亦称阵因子。为了使天线阵的输出满足需要，在每个阵元加上加权因子wK控制。 这样第K号阵元上输出的信号为wKAKxK。若到达天线阵的信号是N个，天线阵的输出是N个信号在M个阵元上的输出的叠加。用解析式表达如下：
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X(n)=［x0(n),x1(n),…,xN-1 (n)］H (9-11） 式中, 是K阵元以OB为基准顺时针画出的角度。
AK=［AK1,AK2,…,AM］H X(n)=［x0(n),x1(n),…,xN-1 (n)］H (9-11） 式中, 是K阵元以OB为基准顺时针画出的角度。 A=［A1,A2,…,AN］ (9-12） W=［w0,w1,…,wM-1］H (9-13） y(t)=WHAX=WHU (9-14） 为了求得多个信号到达的方向（波达方向），可以采用上述的Capon、MUSIC两种方法。波束形成可以采用下面的方法： 当有多（N）个信号输入时，其中有1个信号是我们关心的，N-1个信号是需要抑制的。 方程组（9-15）描述了上述需求的约束条件（四个信号输入中，第一个信号是我们关心的，其余的信号是需要抑制的）。
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根据信号波达方向的知识U(U=AX) 及约束条件求解方程组（9-15），可以得到 W=［w0,w1,…,wM-1］ (9-16）
WHU=［1,0,0,0］T (9-15） 根据信号波达方向的知识U(U=AX) 及约束条件求解方程组（9-15），可以得到 W=［w0,w1,…,wM-1］ (9-16） 代入式（9-14）可以得到阵列输出的方向特性。 下面是四个输入信号八单元圆阵列天线阵的波达方向估计和波束形成。 设信号1从2π/3方向入射, 信号2从π/3方向入射, 信号3从3π/2方向入射, 信号4从5.8π/6方向入射。 下面是用两种算法求波达方向估计及波束形成的应用程序。
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q1=pi*2/3;q2=pi*1/3;q3=pi*3/2;q4=pi*5.8/6;%四个输入信号的方向
程序9-3 clear; q1=pi*2/3;q2=pi*1/3;q3=pi*3/2;q4=pi*5.8/6;%四个输入信号的方向 E=1; lam=1;%信号波长 r=1;%天线阵的半径 m1=1;m2=1;m3=1;m4=1;m5=1;m6=1;m7=1;m8=1;%信号幅度 a=0:7
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forn=1:length（a） A1（n）=［exp（-j*pi*cos（q1-（pi*a（n）/4））/lam）］;
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end A=［A1′，A2′，A3′，A4′］;%得出A矩阵 n=1:1900; v1=.06; v2=.02; v3=.03; v4=.073; D=［1*cos（v1*n）;1*sin（v2*n）;1*sin（v3*n）;1*square（v4*n）］;%四个输入信号U=A*D;%总的输入信号
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U1=（U）′; c=cov（U*U1）;%总输入信号的协方差矩阵 ［s，z］=eig（c）;%求协方差矩阵的特征矢量及特征值 Vn=s（:，［5:8］）;%取出与零特征值对应的特征矢量 ci=inv（c）; bb=［1000］′; Wopte=A′＼bb;%求解线性方程组（求Wopte） q1b=［2*pi:-2*pi/180:2*pi/180］; b=0:7;
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Aa（m）=［exp（-j*pi*cos（h（t）-（pi*a（m）/4））/lam）］;
fort=1:length（q1b） h（t）=q1b（t）; form=1:length（b） Aa（m）=［exp（-j*pi*cos（h（t）-（pi*a（m）/4））/lam）］; end A1a=Aa′; Pmusic（t）=（A1a）′*A1a*（inv（（A1a）′*Vn*（Vn）′*A1a））; Pcap（t）=inv（（A1a）′*ci*（A1a））; T（t）=q1b（t）;
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P1=abs（Pmusic）;%MUSIC算法估计
P2=abs（Pcap）;%Capon算法估计 Ye（t）=Wopte′*A1a; p=abs（Ye）; end figure（1） T1=T*180/pi; semilogy（T1，P1）;grid%MUSIC算法波达方向估计 figure（2）
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semilogy（T1，P2）;grid%Capon算法波达方向估计
figure（3） polar（T，p)%绘出应用矩阵运算求解加权系数后 的波束 %形成的方向图 图9-11~图9-13所示是运行程序后显示的结果。
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图9-11 Capon算法波达方向估计
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图9-12 MUSIC算法波达方向估计
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图9-13 波束形成
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由图中可以看出在2π/3处增益为1，π/3、3π/2、5.8π/6处增益为0,达到了规定的要求。
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