教师: 薛留堂 邮箱: xuelt@bnu.edu.cn 办公室: 后主楼1131 大学文科高等数学 教师: 薛留堂 邮箱: xuelt@bnu.edu.cn 办公室: 后主楼1131.

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1 教师: 薛留堂 邮箱: xuelt@bnu.edu.cn 办公室: 后主楼1131
大学文科高等数学 教师: 薛留堂 邮箱: 办公室: 后主楼1131

2 关于本课程 教材：《大学文科高等数学》第2版，姚孟臣 编著， 高等教育出版社。 主要内容： 教材的上篇，即基础篇。 第一部分： 初等微积分
初等函数、极限、导数与微分、积分 第二部分： 线性代数简介 矩阵、行列式简介、线性方程组的消元解法 第三部分： 概率统计初步 随机事件的概率、一元正态分布、数理统计基础

3 关于本课程 最终成绩= 平时成绩*40% + 期末成绩*60% 平时成绩包括每周的作业(7-8次, 每星期一交)、期中考试(或小测验)等;
作业分单双号交, 单号同学与双号同学依次交替交作业, 交的时候两周的作业一起交。 第一次是单号同学交。 答疑时间: 周一晚上9-10节, 教二 308. 助教: 程志雯( ), 张小玥 ( ) 课件与其他一些资料可以登录进如下网页下载:

4 引 言 对于现在和未来的社会科学工作者来说，数学既是 一种强有力的研究工具，也是一种不可或缺的思维方式。 数学在现代文化中扮演着中心角色。
引 言 对于现在和未来的社会科学工作者来说，数学既是 一种强有力的研究工具，也是一种不可或缺的思维方式。 数学在现代文化中扮演着中心角色。 当代文化发展的重要特征之一就是数学化： 数学的方法、思想与精神渗透到社会科学的各个领域。 一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 ——马克思 要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学. ——恩格斯

5 语言学与数学 从19世纪中叶起，许多数学家和语言学家运用数学方法来研究语言学问题。
20世纪中叶以来，由于电子计算机的发展，数学渗透到形态学、句法学、 词汇学、语音学、文字学、语义学等语言学的各个分支，进而形成了 “数理语言学”这一新兴学科。 数理语言学：使用概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、图论、 信息论方法、数学模型方法、模糊数学方法等数学理论和方法来 研究语言现象，并加以定量化和形式化的描述。 统计语言学与信息处理语言学.

6 数学也是一种十分重要的思维方式和文化精神。
数学追求一种完全确定的、完全可靠的知识。 数学对象必须有明确无误的概念，数学推理必须由明确无误的命题开始， 并服从确定无疑的推理准则，借以达到正确的结论。 贯穿其中的是一种无与伦比的理性精神。 与其他学科相比，数学最突出的特点是它使用了逻辑的方法，即公理方法。 这也为人类文化的其他部门的建立和发展提供了典范。

7 第一部分 初等微积分 初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.

8 第一章 集合与函数 一、 集合初步 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素.
第一章 集合与函数 一、 集合初步 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 例: (1) 学校里在校生的全体为一集合; (3) 所有正整数为一集合; 有限集: 集合中元素只有有限个,反之称为无限集. .

9 集合的两种表示法： (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 正整数集 (2) 描述法： 例: 整数集
一般用 例: 上例中 整数集 或 有理数集

10 可列集：若集合中的元素可以与自然数集建立一一对应的关系，则称之为可列集。
单元集合: 只含有一个元素的集合. 空集: 不含有任何元素的集合. 全集: 由所研究对象的全体构成的集合. 可列集：若集合中的元素可以与自然数集建立一一对应的关系，则称之为可列集。 这是一种特殊的无限集合。 称有限个与可列个统称为至多可列个（或至多可数个）。

11 A是 B 的子集合 (简称子集), 或称 A包含于 B,或 B包含A
集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 若 必有 则称 A是 B 的子集合 (简称子集), 或称 A包含于 B,或 B包含A 若 且 则称 A 与 B 相等, 记作 显然有:  (包含关系具有传递性)

12 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算: 并集 或 交集 且 差集 且

13 二、 实数集 万物皆数. 有理数集 在数轴上，每一个有理数都可以用一个点来表示, 称这样的点为有理点。
二、 实数集 万物皆数. ——毕达哥拉斯(Pythagoras) 有理数集 在数轴上，每一个有理数都可以用一个点来表示, 称这样的点为有理点。 有理数集Q除了可在其中定义四则运算外，还具有 有序性(即有理点在数轴上是从左向右按大小次序排列的) 和稠密性(即任意两个有理点之间有无穷多个有理点). 有理点并没有充满整个实轴. 在数轴上除了有理点之外的空隙处的点称之为无理点.

14 有理数与无理数统称为实数. 此外, 还具有连续性(即实数点充满了整个数轴). 实数与数轴上的点一一对应, 故实数与点不加区分. 开区间 闭区间 有限区间 (数轴上的线段) 半开半闭区间

15 无限区间 注意: 点a的  邻域 空心  邻域 其中, a 称为邻域中心 ,  称为邻域半径 . a的左  邻域 :
右  邻域 : 空心左  邻域 : 空心右  邻域 :

16 两个逻辑记号: “任意给”或“每一个” “存在”或“可找到” 命题（或条件）A与B等价，

17 三、函数 1. 函数的概念 函数是微积分学研究的对象. “函数(function)”最早由莱布尼茨(Leibniz)首先引入,
经由欧拉(Euler)等人不断修改、扩充而得到较完整的函数概念。 函数概念的直观描述： x的取值范围叫做函数的定义域. y的值叫函数值, 其集合为函数的值域.

18 定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; 称为 f 的 值域 . Y 的子集 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.

19 定义5. 设数集 则称映射 为定义在 X 上的函数 , 记为 定义域 因变量 自变量 称为函数f的值域 函数图形:

20 (定义域) (对应规则) (值域) 定义域 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时须写出定义域；

21 函数的表示方法: 解析法 、图示法 、列表法 (便于计算与分析) (直观清晰) (便于求值) 例如, 绝对值函数 定义域 值 域

22 有些函数，对于其定义域内自变量不同的值，
不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数. 又如:符号函数 1 -1 x y o 注意: 分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数.

23 2. 建立函数关系 为解决实际问题, 需要先确定问题中的自变量和因变量 及相互间的依赖关系(即函数关系), 并将这种关系表示
出来, 在利用适当的数学方法加以分析解决. 例4. 要造一个底面为正方形、容积为500m³的长方体 无盖蓄水池，设水池四壁与底面每平方米造价均为a元, 试将蓄水池的造价y(单位:元)表示为底边长x(单位:m)的 函数. 并求出当x为多少m时总造价最低.

24 例5. 某快餐联营公司在某地开设了40个营业点. 每个
营业点每天的平均营业额是 元. 对该地区是否 开设新营业点的研究表明, 每开设一个新营业点会使 每个营业点的平均营业额减少 200 元, 试求该公司所有营业点的每日总收入R(单位: 元) 和新开设营业点数目x(单位: 个)之间的函数关系. 并问: 当新开设营业点数目x为几个时所有营业点的 每日总收入最高? (答: 5个, R最大为 元) 若 y=ax+b, 其中 a,b是实数, 则称y与x成线性函数关系.

25 三、 函数的几种性质 (1) 有界性 有界的. 有界函数的界不是唯一的. 有界函数的图形介于直线y=-M与y=M之间.
研究函数需要了解它所具有的性质, 从而掌握它的变化规律. (1) 有界性 有界的. 有界. 无界; 有界. 有界函数的界不是唯一的. 有界函数的图形介于直线y=-M与y=M之间.

26 (2) 单调性 称 为 I 上的 递增函数 ; 称 为 I 上的 递减函数 . 称 为 I 上的 不减(非减)函数 ; 称 为 I 上的
不增(非增)函数 . 递减, 递增. 单调增函数与单调减函数统称为单调函数。

27 对于一个具体的函数, 若能做出它的图形, 可通过图像来直观地判断它的递增递减性.

28 (3) 奇偶性 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 则当
为奇函数时, 必有 例: 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 注: 奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称.

29 (4) 周期性 定义: 则称 为周期函数 , 可见 都是它的周期. 若在无穷多个周期中, 存在最小的正数 则称 的最小周期, 简称周期. 如
是R上的周期函数; 而 注:常值函数 任意的正数都是周期 , 故最小周期不存在. d

30 四. 反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质 在函数关系中, 自变量与因变量是相对而言的. 定义

31 习惯上, 故 的反函数记成 重要性质: 例: 求函数 的反函数. 解: 由 知 故原函数的反函数为

32 若 y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 且也单调递增 (减) . 例: e

33 y 1 o -1 反正弦函数, 反正切函数,

34 (2) 复合函数 引例: 定义: 设有函数链 ① ② 则 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少.

35 例如, 可定义复合函数 当改 时, 虽不能在自然域 下构成复合函数, 但可定义复合函数 注: 两个以上函数也可构成复合函数. 例:

36

37 注:

38 五、初等函数 1、基本初等函数 以上六类函数称为基本初等函数. a

39 (1)幂函数

40 (2).指数函数 单调函数; 过(0,1)点

41 (3).对数函数 单调函数; 过(1,0)点

42 (4). 三角函数 y 1 o -1 奇函数; 关于原点对称; 周期为2π. f

43 (4). 三角函数 y 1 o -1 偶函数; 关于y轴对称; 周期为2π.

44 (4). 三角函数 奇函数; 关于原点对称; 周期为π. c

45 (4). 三角函数 偶函数; 关于y轴对称; 周期为π. c

46 (5). 反三角函数 奇函数 (关于原点对称); g

47 (5). 反三角函数

48 (5). 反三角函数 奇函数 (关于原点对称).

49 (5). 反三角函数

50 2、初等函数 定义: 由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数. 例：
多项式函数 有理函数 都是初等函数. b

51

52 内容小结 1. 集合的概念 定义域 对应规律 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的性质 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
4. 初等函数的结构

53 作业1-2 习题1.1 P27-8 1 (2) (4); 4; 5. (1) (3) (5) (6); 6. (1) (3);
作业1-2 习题1.1 P (2) (4); ; 5. (1) (3) (5) (6); (1) (3);