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引力、熵力和暗能量 李淼 中国科学院理论物理研究所 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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本报告介绍Erik Verlinde最近的工作： On the Origin of Gravity and the Laws
of Newton arXiv: v1[hep-th] 以及一些后续讨论暗能量的工作。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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很久以来，一直有人怀疑万有引力不是基 本的，是一种宏观现象。 例如，Ted Jacobson在 用类似黑洞热力学的办法推导了爱因斯坦 方程
Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State arXiv:gr-qc/ v2 用类似黑洞热力学的办法推导了爱因斯坦 方程 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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Verlinde在他的工作中指出，不仅引力本 身，惯性和质量其实也是一种宏观现象。 用文字来表达他的结果，就是： 1、引力是熵力。
2、加速度与熵的梯度有关，所以惯性是 无熵梯度的表现，质量与bits数成正比。 3、牛顿势是熵与bits数的比例。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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什么是熵力？ 例子：虎克定律中的弹性力就是熵力。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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在微正则系综中 有 或热力学第一定律 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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引力 Verlinde假设 m 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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所以，根据第一定律： 利用Unruh公式 得牛顿第二定律 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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问题：Unruh公式是量子场论推出的，不用 如何？ 答案：不用Unruh公式，但假设全息原理， 可得牛顿万有引力公式。
在球面上，假设bits数（自由度数）： 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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由 推得 代入 得 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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总结： 1、基本假设 加Unruh公式 推出牛顿第二定律 2、基本假设 加全息假设 推出牛顿万有引力
2、基本假设 加全息假设 推出牛顿万有引力 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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问题：在熵变的基本公式中，Planck常数 出现，在Unruh公式和全息假设中，Planck 常数也出现，但牛顿第二定律和万有引力
数，结论不变，所以量子力学不是必须 的，虽然量子力学是隐含的。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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考虑将一个质量为m的粒子“融入”全息屏。 根据能量均分原则，有
惯性和牛顿势 考虑将一个质量为m的粒子“融入”全息屏。 根据能量均分原则，有 其中n是描述m需要的bits数。由于m是固定 的，T越低，需要的n越大。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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的确，在远离大质量物质M的地方，T较 低： 利用基本假设 和Unruh公 式，可得 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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的右边是描述该粒子的每个bit所带的熵， 我们可以直观地想成每个bit的受激程度。 方程右边已与Planck常数无关。
这个公式 的右边是描述该粒子的每个bit所带的熵， 我们可以直观地想成每个bit的受激程度。 方程右边已与Planck常数无关。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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这个结果很重要，说明每个bit的熵与牛顿 势成正比。
引入牛顿势 得 这个结果很重要，说明每个bit的熵与牛顿 势成正比。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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对值）越大的地方，bit的效率越高。对于 固定的系统，熵是固定的，所以牛顿势大 的地方，bits数少，被粗粒化得更多 （IR）。
将变分符号去掉 我们可以这样解释上面公式：牛顿势（绝 对值）越大的地方，bit的效率越高。对于 固定的系统，熵是固定的，所以牛顿势大 的地方，bits数少，被粗粒化得更多 （IR）。 很类似AdS/CFT中的UV/IR关系。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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在无限远处，这个量最小，bits的效率最 低，这是UV极限。
有趣的是，量 的取值范围是0到1。 在黑洞视界上，这个量最大，所以粗粒化 最厉害，或者说bits的效率最高。 在无限远处，这个量最小，bits的效率最 低，这是UV极限。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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分布了。我们无非要导出Poisson方程。 考虑等势面，并将等势面看成全息屏
一般的质量分布 引入牛顿势，自然就可以考虑一般的质量 分布了。我们无非要导出Poisson方程。 考虑等势面，并将等势面看成全息屏 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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现在，取代Unruh公式，我们假设： 以及全息假设： 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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能量均分原则是 得 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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用Stokes定理，我们推出： 注意，和前面导出牛顿公式不同，我们没 有用到熵变的基本假定，那里用熵变是为
了推出作用在试验粒子上的力，而不是 Poisson方程。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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最后，稍微复杂地是推导作用在试验粒子 上的力，这和前面推出牛顿万有引力公式 类似。 这里不复述。
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始。在这个情况下，存在time-like Killing vector
等效原理和Einstein方程 前面是非相对论引力的讨论，虽然出现了 光速甚至Planck常数。 要推广到一般情形，先从静态引力场开 始。在这个情况下，存在time-like Killing vector 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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定义推广的牛顿势 加速度的推广是 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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考虑等势面，此时加速度与等势面垂直。 定义温度 熵变假设为 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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从热力学第一定律得熵力公式 这确实是静态引力场中的正确公式。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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要获得Einstein方程，和推导Poisson方程 一样，我们需要全息原理
和能量均分 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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由于牛顿势与Killing vector有关，故
所以 由于牛顿势与Killing vector有关，故 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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用Stokes定理和 得 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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即使取任意曲面，我们只能得到和Killing vector 有关的方程。 要去掉Killing vector，我们可以利用局域的
局域惯性系），这样我们就获得Einstein方 程。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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讨论 由此看来，引力确实是熵力，即非基本 的。 我想第一个问题是，引力要量子化吗？ 我觉得可以量子化，如同声子要量子化一 样。
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从AdS/CFT来看，引力一边是闭弦理论， 如果引力是emergent的，那么闭弦也应该 是。 （我过去曾认为闭弦可以从非对易几何得
到，也许两者有关联） 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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QCD，一些凝聚态物理系统对应于引力， 引力也应该是作为熵力出现的。 也许并不存在更加细致的全息原理，否则
我们无法解释为什么很多凝聚态系统也诱 导引力。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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最后，我们问，空间并不完全是emergent 的，我们还需要等势面，在这些面上有一 些bits。
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另外，引力既然是熵力，为什么Einstein方 程，特别是Friedmann方程，是时间反演不 变的？
如何理解Penrose问题（宇宙初始时刻熵最 小） 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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全息暗能量 首先，我们问，熵力的想法能将暴涨宇宙 和近期宇宙加速纳入吗？ 回答： 1、暴涨宇宙是局域的，纳入有困难。
2、晚期加速可以是整体的，可以纳入。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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1、暴涨宇宙的困难 按照能量均分原则 任意一个区域的能量应该是正的。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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但是，如果我们需要导出Einstein方程，就 必须用
方程左边是所谓Tolman-Komar质量，取时 间分量，正比于 ，对于暴涨模型，这 是负的。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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所以，要么温度T必须负的，要么dN是负 的。我们肯定无法选择后者。 那么，可以找到负温度的系统吗？回答是
可以，一个含有有限个能级的系统可以有 负温度。 但是，这个推广有两个问题： a 如果系统内还含有物质，其对应的温度是 正的，我们需要引入两个温度。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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A No-go Theorem Prohibiting Inflation in the Entropic
当试验粒子融入屏幕时，变成了正温度的 bits还是负温度的bits? b 如果试验粒子变成了负温度的bits，就会 贡献负能量，破坏能量守恒。 所以，目前无法将暴涨模型纳入熵力框 架。 A No-go Theorem Prohibiting Inflation in the Entropic Force Scenario Miao Li, Yi Pang arXiv: 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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幕。所以，在推到Einstein方程时用两个屏 幕，一个解释物质，一个解释暗能量。
我和王一的文章 建议用整体宇宙视界作为解释暗能量的屏 幕。所以，在推到Einstein方程时用两个屏 幕，一个解释物质，一个解释暗能量。 arXiv: 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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下面是两个屏幕的示意图 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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外面的视界只和暗能量有关，其bits数是
能量为 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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里面的屏幕是Verlinde的全息屏，能量为
根据熵力公式，得 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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恰好是含有全息暗能量的Friedmann方程。
对应的势能为 能量守恒公式告诉我们 恰好是含有全息暗能量的Friedmann方程。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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评论： 1、整体视界上的温度是正的，当粒子接近 屏幕时，熵增，所以力是向屏幕的力，从 里面的观点看，是斥力。
2、视界必须取未来事件世界，宇宙才能加 速膨胀。 （也许事件视界可以从力和势能的关系获 得？） 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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Damien A. Easson, Paul H. Frampton, George F. Smoot等人的文章点评
这篇文章建议用Hubble视界做整体全息屏 解释暗能量，有加速度 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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Friedmann方程为 取d为Hubble半径，得 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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是，如果我们回到第一个Friedmann方程， 我们得不到加速膨胀，或者，方程需要所 谓的暗物质和暗能量的耦合。
表面上看，这个方程提供正加速度，问题 是，如果我们回到第一个Friedmann方程， 我们得不到加速膨胀，或者，方程需要所 谓的暗物质和暗能量的耦合。 这个想法的另一个问题是，作者们声称加 速项可以由作用量中的Gibbons-Hawking 边界项推出，这是错误的。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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数以上是错的，还有一部分是trivial的，最 后剩下的是推测。 我觉得我和王一关于暗能量的工作是推 测，也许是比较有前途的推测。
熵力的文章已经有了大约50篇，我觉得半 数以上是错的，还有一部分是trivial的，最 后剩下的是推测。 我觉得我和王一关于暗能量的工作是推 测，也许是比较有前途的推测。 熵力将来还会有不少文章。 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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Thanks! 2018年11月10日星期六2018年11月10日星期六
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