塑形力学 教师：朱林利，副教授， 航空航天学院 应用力学研究所 作业、课件等相关信息网址(个人主页)：

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1 塑形力学 教师：朱林利，副教授， llzhu@zju.edu.cn 航空航天学院 应用力学研究所 作业、课件等相关信息网址(个人主页)：

2 知识点回顾 屈服条件/屈服函数 各向同性材料: 屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用三个主应力或应力不变量表示：
(描述屈服面的数学表达式) ：材料处于弹性状态 ：材料开始屈服进入塑性状态 各向同性材料: 屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用三个主应力或应力不变量表示： 静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏量应力或其不变量表示：

3 知识点回顾 N P O Q s2 s1 L直线： s3 p平面： 主应力空间 L直线 p平面
(以主应力s1,s2,s3为坐标轴而构成的应力空间) O Q N P p平面 L直线 s1 s2 s3 任一应力状态 静水应力矢量 主偏量应力矢量 (3.10) 总在平面上 与s1,s2,s3轴的夹角相等 L直线： 在主应力空间内，过原点且和三个坐标轴夹角相等的直线。方程： s1=s2=s3 p平面： 主应力空间、 L直线、 p平面 主应力空间内过原点且和L直线垂直的平面。方程： s1+s2+s3=0

4 知识点回顾 屈服曲面 F(s1,s2,s3)=0：为一平行L直线的柱面； 屈服曲线 f(J2’, J3’)=0 ：屈服曲面与p平面的交线
—— 对应无静水压力部分的情况。

5 知识点回顾 y rs x O 2’ qs 30º 1’ 3’ p平面投影
坐标轴s1，s2，s3在p平面上的投影O1’、O2’、 O3’互成120； 矢量OP在p平面上的x，y坐标值为： 矢量OP在p平面上的极坐标值为：

6 知识点回顾 屈服曲线特征 (1)、屈服曲线为一封闭曲线，原点 在曲线内部； 纯剪
纯拉 屈服曲线特征 (1)、屈服曲线为一封闭曲线，原点 在曲线内部； (2)、对各向同性材料，若(S1, S2, S3)或(s1,s2,s3)屈服，则各应力分量互换也会屈服，故屈服曲线关于s1’,s2’,s3’轴均对称； p平面上的屈服曲线 (3)、对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，若应力状态(S1, S2, S3)屈服，则(-S1,-S2, -S3)也会屈服，故屈服曲线为关于垂直于s1’,s2’,s3’轴的直线也对称。

7 知识点回顾 Tresca屈服条件 2k 主应力空间内和平面应力状态的屈服条件: 2k Tresca屈服条件的完整表达式
(正六边形柱面) Tresca屈服条件的完整表达式

8 知识点回顾 Mises指出： Mises屈服条件： Mises屈服条件 Tresca六边形的六个顶点由实验得到，但顶点间的直线是假设的。
用连接p平面上的Tresca六边形的六个顶点的圆来代替原来的六边形，即： Mises屈服条件： Mises屈服面

9 知识点回顾 两种屈服条件的关系： Tresca Mises圆 纯剪 单向拉伸 Tresca和Mises屈服线
(3.29) 若规定纯剪时两种屈服条件重合，则Tresca六边形外接于Mises圆，且 (3.30)

10 3.7 加载条件和加载曲面

11 3.7 加载条件和加载曲面 概念： 进一步发生塑性变形的条件： 在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象
3.7 加载条件和加载曲面 概念： 应力强化： 在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象 拉伸塑性变形，使压缩屈服应力降低(Bauschinger效应),并且还影响剪切屈服应力等的现象。 交叉效应： 材料经过初次屈服后，后继的屈服条件将与初始条件不同。这种发生变化了的后继屈服条件称为加载条件。 加载条件： 加载曲面： 应力空间内与加载条件对应的曲面 进一步发生塑性变形的条件： 理想塑性材料： 加载面 屈服面 加载面还依赖于塑性应变的过程。即它与此刻的ijp状态有关，还依赖于整个应变历史(K)。因此，一般加载面为： (3.32)

12 3.7 加载条件和加载曲面 一、等向强化模型 令: 假定加载面就是屈服面做相似扩大 单向拉压情况： 复杂应力状态： (3.33)
3.7 加载条件和加载曲面 一、等向强化模型 单向拉压情况： 令: (3.33) (3.34) 复杂应力状态： 假定加载面就是屈服面做相似扩大 (3.35) 应变历史及强化程度的参数

13 3.7 加载条件和加载曲面 一、等向强化模型 在Mises屈服条件下： 表示成依赖于塑性功的参数： 等效塑性应变增量 (3.36)
3.7 加载条件和加载曲面 一、等向强化模型 在Mises屈服条件下： 等效塑性应变增量 (3.36) 按(2.54)式 (3.37) 加载面为 (3.38) 退化到一维时与(3.34)一致 表示成依赖于塑性功的参数： (3.39)

14 3.7 加载条件和加载曲面 二、随动强化模型 在Mises屈服条件下： (3.70) 屈服条件: 推广到复杂应力状态 (3.71)
3.7 加载条件和加载曲面 二、随动强化模型 (3.70) 屈服条件: 推广到复杂应力状态 (3.71) 表示屈服条件 在Mises屈服条件下： (3.72) 可根据简单拉伸试验来定

15 3.7 加载条件和加载曲面 二、随动强化模型 (3.72) 在简单拉伸下： 式(3.72) 对于线性强化材料 (3.73)

16 3.7 加载条件和加载曲面 二、随动强化模型 A O’ O -1 1 2 两种强化形式 Ivey的拉扭实验结果 初始屈服面 后继屈服面 一次
3.7 加载条件和加载曲面 二、随动强化模型 -1 1 2 初始屈服面 一次 二次 三次 后继屈服面 A O O’ 两种强化形式 Ivey的拉扭实验结果

17 3.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件

18 3.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件
岩石和土质破裂面上的剪应力 (3.74) 破裂面上的正应力 内摩擦角 粘聚力 由左图得: 代入(3.74) (3.75)

19 3.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件
(3.75) 静水应力对屈服条件的影响 E O D C B A F x y 静水应力(1+2)/2的函数 在平面上可表示为: 平面上的Mohr-Coulomb屈服条件

20 3.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件
F x y 一、Mohr-Coulomb屈服条件 若1  2  3，则求出的图形对应于-30  30 (3.76)

21 3.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件
在一般应力状态下，考虑到静水压力影响的最简单推广形式是Mises条件上加一个静水压力因子。 (3.77) O O 主应力空间 平面

22 3.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件
Druck-Prager O Cctg O A B C D E F Mohr-Coulomb Druck-Prager 主应力空间 平面

23 第四章 塑性本构关系——全量理论与增量理论
第四章 塑性本构关系——全量理论与增量理论 § 4.1 弹性本构关系 § 4.2 塑性全量理论 § 4.3 Drucker公设 § 4.4 加载和卸载准则 § 4.5 理想塑性增量理论 § 4.6 强化材料增量理论 § 4.7 简单加载定律 § 4.8 两种理论的比较

24 4.0 绪论

25 4.0 绪论 塑性本构关系： 从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。 两类塑性本构关系:
4.0 绪论 塑性本构关系： 从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。 两类塑性本构关系: 全量理论/形变理论 建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系。 均与Drucker公设有密切关系 增量理论/流动理论 描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论

26 4.1 弹性本构关系

27 4.1 弹性本构关系 ----广义虎克定律 直角坐标系中的的应力应变表达式 (4.1) 泊松比 弹性模量 (4.2)

28 4.1 弹性本构关系 ----广义虎克定律 用张量表示： 3个正应变相加： 或 对于不可压缩固体，=1/2 (4.2) (4.3)
4.1 弹性本构关系 ----广义虎克定律 (4.2) 用张量表示： (4.3) 3个正应变相加： 对于不可压缩固体，=1/2 或 (4.4)

29 4.1 弹性本构关系 ----广义虎克定律 应力Mohr圆和应变Mohr圆相似，应力和应变主轴重合。 (4.2)方程互减： (4.5)
4.1 弹性本构关系 ----广义虎克定律 (4.2)方程互减： (4.5) (4.6) 应力Mohr圆和应变Mohr圆相似，应力和应变主轴重合。 以主应力形式表示: (4.7)

30 4.1 弹性本构关系 同理： 应力偏量分量和应变偏量分量成正比。 形状改变只是由应力偏量引起的。 用应力应变偏量表示： (4.8)
4.1 弹性本构关系 应力偏量分量和应变偏量分量成正比。 用应力应变偏量表示： (4.8) 形状改变只是由应力偏量引起的。 等效剪应力 (4.4)代入 等效剪应变 等效正应变,式(2.54) 同理： (4.9) 等效正应力,式(2.41) (4.10)

31 4.1 弹性本构关系 加载卸载 (1)、在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的； (2)、平均应力与平均变形(或称体积变形)成比例；
4.1 弹性本构关系 加载卸载 应力应变增量间满足广义虎克定律 (4.11) (1)、在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的； (2)、平均应力与平均变形(或称体积变形)成比例； (3)、应力偏量分量与应变偏量分量成比例； (4)、等效正应力与等效正应变成比例。

32 4.1 弹性本构关系 弹性应变比能 Mises屈服条件也可称为最大弹性形变能条件 成正比 单位体积内的弹性应变能 体积变形比能
4.1 弹性本构关系 弹性应变比能 单位体积内的弹性应变能 (4.12) 体积变形比能 形状改变弹性比能 成正比 Mises屈服条件也可称为最大弹性形变能条件

33 4.2 塑性全量理论

34 4.2 塑性全量理论 全量理论的假定： 应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。 平均应力与平均应变成比例。
4.2 塑性全量理论 全量理论的假定： 应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。 应力Mohr圆与应变Mohr圆相似，应力Lode参数和应变Lode参数相等。 平均应力与平均应变成比例。 应力偏量分量与应变偏量分量成比例。 等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。 (4.14) 和塑性变形程度有关

35 4.2 塑性全量理论 应力偏量分量和应变偏量分量成正比 (4.15) G’与材料性质和塑性变形程度有关 (4.16) (4.17)

36 4.2 塑性全量理论 由式(4.14)得: (4.18) (4.19) 设物体的体积是不可压缩的，即=1/2 (4.20) (4.21)

37 4.2 塑性全量理论 由式(4.14)， (4.20)得: 与广义虎克定律形式上非常相似 (4.22) 解决具体问题比弹性力学复杂很多

38 4.2 塑性全量理论 在弹性极限内复杂应力状态下: 在单向拉伸状态下: 形式上非常相似 根据单一曲线假定: σ ε a c b O β α
4.2 塑性全量理论 σ ε a c b O β α 图 单向拉伸曲线 (4.25) 在弹性极限内复杂应力状态下: (4.26) 在单向拉伸状态下: 形式上非常相似 (4.9) 根据单一曲线假定: (4.27) (4.28)

39 4.2 塑性全量理论 空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题 σ ε a c b O β α 由右图几何条件可得: (4.28)
4.2 塑性全量理论 σ ε a c b O β α (4.28) (4.29) =1/2 由右图几何条件可得: (4.30) 空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题

40 4.2 塑性全量理论 (4.14) (4.31) (4.32)

41 4.2 塑性全量理论 总应变=弹性应变+塑性应变 (4.33) 由式(4.33)(4.22)

42 4.2 塑性全量理论 (4.34) 或: (4.34)

43 4.2 塑性全量理论 理想弹塑性材料E的表达式 O A 图 4.2 理想塑性模型 E 在弹性区域内(OA) 在塑性区域内(AE)
4.2 塑性全量理论 理想弹塑性材料E的表达式 O A (a) 理想弹塑性材料 图 理想塑性模型 E 在弹性区域内(OA) 在塑性区域内(AE)

44 4.2 塑性全量理论 线性强化弹塑性材料E的表达式 这些物理关系对于塑性体或者是对于物理关系是非线性的弹性体在主动变形时都是适用的。 O
4.2 塑性全量理论 O α a β b d c (b) 理想弹塑性强化材料 图 理想塑性模型 线性强化弹塑性材料E的表达式 在塑性区域内(AE) 这些物理关系对于塑性体或者是对于物理关系是非线性的弹性体在主动变形时都是适用的。 (4.36)

45 4.3 Drucker 公设

46 4.3 Drucker 公设 应力应变曲线形式 图 4.3 应力应变曲线形式 应力增加应变减少,不可能现象 O σ (a) (b) (c)
图 应力应变曲线形式 

47 4.3 Drucker 公设 公设的叙述： 考虑某应力循环，开始应力0ij在屈服面内，然后达到ij ，刚好在屈服面上，再继续在屈服面上加载到ij+ dij ，在这一阶段，将产生塑性应变d pij 。最后将应力又卸回到0ij 。若在整个应力循环过程中做功不小于零，则这种材料就是稳定的。 图 应力循环路径 应力循环过程中外载所做的功： (4.37)

48 4.3 Drucker 公设 判断材料稳定性的条件: 因弹性应变在应力循环中可逆 O 图 4.5 一维的应力循环
图 一维的应力循环 (4.38) 因弹性应变在应力循环中可逆 (4.39) 对于稳定材料阴影面积一定不会小于零 (4.40)

49 4.3 Drucker 公设 o Prandtl-Reuss理论： 应力主轴与应变增量主轴重合。 o 推论1：屈服曲面一定是外凸的。

50 4.3 Drucker 公设 推论2：塑性应变增量垂直于屈服曲面。 推论3：塑性应变增量可用屈服 函数的梯度表示。
o 推论3：塑性应变增量可用屈服 函数的梯度表示。 (4.44) 屈服条件确定后可求出塑性应变增量。 o 只有当应力增量指向屈服面外侧才可能产生塑性变形。

51 4.4 加载和卸载准则

52 4.4 加载和卸载准则 理想塑性材料的加载和卸载 加载面和屈服面一样 加卸载准则的数学形式: 弹性状态 加载 (4.46) 卸载

53 4.4 加载和卸载准则 理想塑性材料的加载和卸载 由于屈服面不能扩大，d不能指向屈服面外 在应力空间中的形式: 加载 卸载 加载 卸载
4.4 加载和卸载准则 理想塑性材料的加载和卸载 加载 图 4.8 卸载 在应力空间中的形式: 加载 (4.47) 卸载 由于屈服面不能扩大，d不能指向屈服面外

54 4.4 加载和卸载准则 理想塑性材料的加载和卸载 光滑面交界处的加卸载准则: 加载 卸载 加载
4.4 加载和卸载准则 加载 卸载 图 4.9 理想塑性材料的加载和卸载 光滑面交界处的加卸载准则: 加载 (4.48) 卸载 加载 总之，应力增量保持在屈服面上就称为加载；返到屈服面以内时就称为卸载。 (4.49) 卸载

55 4.4 加载和卸载准则 强化材料的加卸载准则： 强化条件：材料在初始屈服后，卸载再加载重新进入塑料状态时，应力分量满足的条件。（加载条件）
4.4 加载和卸载准则 强化材料的加卸载准则： 强化条件：材料在初始屈服后，卸载再加载重新进入塑料状态时，应力分量满足的条件。（加载条件） 强化曲面：强化条件在应力空间中的几何图形。（加载曲面） 强化函数：强化曲面的方程表示。（加载函数） 强化模型：等向强化、随动强化、组合强化 等向强化：加载面是初始屈服曲面的比例扩大曲面（中心位置、形状不变）。 随动强化：加载面是初始屈服曲面在应力空间的平移（大小、形状不变）。

56 4.4 加载和卸载准则 强化材料的加卸载准则： 不同点：加载面允许向外扩张 中性变载：相当于应力点沿加载面切向变化，加载面并未扩大的情形。
4.4 加载和卸载准则 卸载 加载 n 中性变载 加载曲面 图 强化材料的加卸载准则： 不同点：加载面允许向外扩张 中性变载：相当于应力点沿加载面切向变化，加载面并未扩大的情形。 加载 中性变载 (4.50) 卸载 加载 数学表达 (4.51) 中性变载 卸载

57 4.5 理想塑性材料的增量关系

58 4.5 理想塑性材料的增量关系 进入塑性状态的应变增量表达式 (4.52) (4.44) 应力应变增量关系与屈服条件相联系 流动法则

59 4.5 理想塑性材料的增量关系 一、与Mises屈服条件相关连的流动法则 Prandtl-Reuss关系 Levy-Mises关系
4.5 理想塑性材料的增量关系 一、与Mises屈服条件相关连的流动法则 (4.53) Prandtl-Reuss关系 Levy-Mises关系 加上弹性应变增量 (4.55) 略去弹性应变 (4.54)

60 4.5 理想塑性材料的增量关系 一、与Mises屈服条件相关连的流动法则 (4.56) 变换 (4.57)

61 4.5 理想塑性材料的增量关系 一、与Mises屈服条件相关连的流动法则 O 3’ 2’ 1’ 图 (4.58)

62 4.5 理想塑性材料的增量关系 二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则 主应力空间的屈服面 当应力点处在f1=0面上时:
4.5 理想塑性材料的增量关系 二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则 主应力空间的屈服面 (4.59) 当应力点处在f1=0面上时: 当应力点处在f2=0面上时: (4.60) (4.61)

63 4.5 理想塑性材料的增量关系 二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则 当应力点处在f1=0及 f2=0交点上时: n1 f1 =0
4.5 理想塑性材料的增量关系 二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则 当应力点处在f1=0及 f2=0交点上时: (4.62) f1 =0 f2 =0 n1 n2 图 4.12 (a) (b)

64 4.6 强化材料的增量关系

65 4.6 强化材料的增量关系 Mises等向强化模型 假设: (4.63) 强化模量 依赖于加载面的变化规律 (4.64) (4.65)
4.6 强化材料的增量关系 假设: (4.63) 强化模量 依赖于加载面的变化规律 (4.64) Mises等向强化模型 (4.65) (4.66) (4.67)

66 4.6 强化材料的增量关系 (4.67) (4.68) (4.69) 自乘 自乘

67 4.6 强化材料的增量关系 (4.40) (4.41) 可由简单拉伸的曲线来确定 线性强化时: (4.42)

68 4.7 简单加载定律

69 4.7 简单加载定律 如果应力的加载路径已知,可以通过对增量应力应变的积分,得到应力和应变的全量关系 一、简单加载
4.7 简单加载定律 如果应力的加载路径已知,可以通过对增量应力应变的积分,得到应力和应变的全量关系 一、简单加载 主方向不变 O 3’ 2’ 1’ 图 简单加载 由(4.63)确定 (4.43) 与理想塑性的Prandtl-Reuss关系形式一样

70 4.7 简单加载定律 一、简单加载 应力按比例增加: 令: (4.44) (4.45)

71 4.7 简单加载定律 一、简单加载 应用: (4.46) (4.47) 单一曲线假定:

72 4.7 简单加载定律 一、简单加载 全量关系表达式: (4.48) 或者: (4.49)

73 4.7 简单加载定律 二、简单加载定理 1、小变形； 2、=1/2； 3、外载按比例单调增长；如有位移边界条件， 只能是零位移边界条件；
4.7 简单加载定律 二、简单加载定理 依留辛条件: 1、小变形； 2、=1/2； 基本的必要条件 3、外载按比例单调增长；如有位移边界条件， 只能是零位移边界条件； 4、材料的 曲线具有 形式。

74 4.8 全量理论与增量理论的比较

75 4.8 全量理论与增量理论的比较 一般的弹塑性强化材料，在加载过程中，按增量理论，最后的应变状态不仅取决于最终的应力，而且是和应变的路径有关系。按全量理论，全应变由最终的应力确定，而不管应变路径。故一般两个理论的解是不一致的。特别是在中性变载的情况，两者相差最明显。根据实验观察，对中性变载不产生塑性应变的改变，增量理论反映了这一特点，而按全量理论，只要是应力分量改变，塑性应变也要发生改变。

76 另外，对于弹性区和塑性区以及加载区和卸载区的分界面，既服从弹性关系、也服从于塑性关系。这种分界面称为中性区。为了保证中性区的应力和应变的连续性，则塑性关系在中性区应自动退化为弹性关系。增量理论可以保证，但全量理论不能保证这种连续性。 但是在小变形条件及简单加载下，两个理论是一致的，即可由增量关系导出全量关系。 在一般加载的情况下，增量理论的方法是比较合理的。而在简单加载或与此相近的情况

77 下，全量理论也是可用的，特别是由于全量理论在数学处理上比增量理论要方便得多，故全量理论广泛地用于解决工程问题。