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第五章第五章　求积与求导 5.1　数值求积问题 5.2　插值多项式求积 5.3　控制精度的求积方法 5.4　待定系数法 5.5　Gauss开式求积 5.6　其他求积方法 5.7　插值多项式求导 5.8　数值求导的误差分析 5.9　其他求导方法浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.1 数值求积问题浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

机械求积方法图 5.1 函数值计算过程简单节点权函数值余值浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

　5.1.2　不同的求积形式闭式半闭式开式外延式图 5.2 不同的求积形式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

　5.1.3　代数精度浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.2　插值多项式求值图 5.3 插值多项式的函数形式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

用Lagrange多项式求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.2.1 图 5.4 不等间距开式求积示例浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.2.1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

等间距闭式求积公式 Newton-Cotes 求积公式图 5.5 等间距求积示意浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.2.2 图 5.6 当n=1时浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.2.2 　　　依次类推得到Newton-Cotes系数表表 5.1 Newton--Cotes 系数表浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.2.2 以及相应的误差余值估计式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

　复合求积方法 Composite Quadrature 　　高阶插值多项式有产生严重震荡的可能　　故采取用低阶复合的方法图 5.7 低阶复合公式示意浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.3 控制精度的求积方法外推原则　　 Richardson's Extrapolation 　　复合梯形法求积的误差表示为浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.3.1 图 5.8 Richardson's 外推浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

Romberg 求积利用外推原则弯度较小分段弯度较大分段图 5.9 自适应求积过程　　根据规定精度的要求，在每一分段中取不同的　　加精步数－－精度控制的自适应求积算法浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.3.2 表 5.2 Romberg求积格式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

简易的自适应求积算法 Adaptive Quadrature Algorithm 图求积函数区间分隔 ( 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.3.3 图简易自适应梯形求积算法框图 Simplified Adaptive Quadrature Algorithm Based on Trapezoidal Rule 开始 eps: 精度要求允许误差 Tolerance 否是 k=0? 是 k=0? 否否 Ek<eps? 是是否结束 k=n? 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.3.3 库程序 QUANC8 Quadrature,Adaptive,Newton-Cotes,8-panel 用于求积图 Behavior of adaptive quadrature routine QUANC8 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.3.3 图 5.13 求积简单的情形图求积困难的情形浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

Error of method (log scale)
5.3.3 图 5.15 T DIFFICULT CASE A S Error of method (log scale) Slope= slope=-1.1 Slope=-2 SMOOTH CASE T S A f(x) evaluations (log scale) Rate of convergence for quadrature methods test T--Trapezoidal rule S--Simpson rule A--Adaptive algorithm 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.4 待定系数法和求积公式 Method of Undetermined Coefficients
以闭式求积为例　Closed Quadrature 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

其它等间隔求积公式图节点外延式等间距求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.4.2 图节点等间距外延求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.4.2 图节点开式等间距求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.4.2 图节点等间距开式求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.4.2 图节点等间距外延求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.4.2 …………….. ……………. ……………………… 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.5 Gauss 开式求积 Gaussian Open Quadratrue
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Legendre 多项式的性质 Gauss开式求积方法图 Gauss节点与Legendre多项式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.5.2 Legendre 多项式的递推算式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

Gauss 求积法示例对一定的m,ti和bi均为固定值表 5.2 Gauss开式求积的系数浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.6 其他求积方法样条函数求值 Spline Quadrature 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

多重求积 Multiple Quadrature 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.6.2 多重积分计算示例浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

（Impossible Integration）
特殊求积 Improper Integrals 几种类型： 1. 被积函数在积分上限或下限处的极限存在，但函数值不存在 2. 积分上限是，或积分下限是。 3. 在积分限的两端存在积分奇异点 4. 在积分上限和下限之间的某已知点处存在积分奇点。 5. 在积分区间内某未知点处存在积分奇点（Impossible Integration）浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.6.3 类型1的求积方法：只要采用开式求积公式即可以解决问题类型2问题的的解法：  变量置换方法：常用的变量置换公式有：  极限过程：浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.6.3 例：计算  无穷区间的截断——略去无穷区间的“尾巴” 而把无穷区间化为一个有限区间。例：计算浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

G1 积分算法总结 Gauss 求积公式的定义浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

G2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

R1 Romberg 算法原理浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

R2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

N1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.7 插值多项式求导以下诸节讨论不能以x显式的形式表达的函数对x的求导。一般化的形式由需要求导区间邻近若干节点的数据构成Lagrange插值多项式图插值求导与插值的关系浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.7.1 等间距的常用推导方法浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.7.1 可以写成紧凑的形式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

等间距节点数据求导（差分法）根据Newton--Gregory向前差分多项式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.7.2 示例表 5.3 求导用差分表这些数已不可靠这一位数误差可能很大浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.8 数值求导的误差分析本节讨论方法误差和舍入误差在数值求导中的影响。数值求导中的方法误差浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.8.1 精确值浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

舍入误差对数值求导的影响 (1) IBM360 单精度运算结果表 5.4 Results with single precision 以下误差大于 10% 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.8.2 (2) IBM360 双精度运算结果表 5.5 Results with double precision 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

步长(h)对误差的综合影响可见数值求导的误差不能由不断减小h而降低数值求导是一种不稳定的算法浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.8.3 表 5.6 sin(x)函数表浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.8.3 表5.7 计算试验结果浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

第五章习题 5.1 Write a FORTRAN subroutine which implements Simplified Adaptive Quadrature Algorithm based on Trapezoidal Rule by using the following nomenclature： SUBROUTINE SAQAT(FUN,XL,XU,N,TOL,HM,AQ,ER,NF) where the input variables are： FUN -- name of the integrand function subprogram FUN(X), XL lower quadrature limit of X, XU -- upper quadrature limit of X, N number of basic subintervals, TOL -- tolerance of relative error, HM -- maximum step size allowed and the output variables are： AQ -- result of quadrature, ER -- estimated relative error bound, NF -- vector of length N containing the numbers of function values used in each subinterval. Verify your program by executing the quadrature of the function： Derive numerical differentiation algorithm based upon spline interpolation. 5.2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

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