生物信息学 第八章 数学模型 毛理凯.

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1 生物信息学 第八章 数学模型 毛理凯

2 本课目录 概述 差分方程 微分方程 应用 E-Cell

3 一、概述

4 数学模型的例子(米氏方程) 酶促反应机制 根据稳态/定态(steady state)假设 和反应动力学 推导出米氏方程

5 为什么要使用数学模型？ 通常利用数学模型来作为所关心的系统工作原理的假设
通过模拟(simulation)的结果可以证明假设是否正确  理解生命现象的机制 正确的模型可以进一步预测生命系统的其他未知特性  预言试验结果,指导实验设计,减少实验成本 善于在短时间内完成复杂的实验,甚至某些当前实验条件尚无法达到的

6 定义、构成元素 数学模型(mathematical model)是用数学语言来描述一个系统的抽象模型 这个数学语言通常是包含一些方程
例如一个群体增长模型 这个数学语言通常是包含一些方程 这些方程(equation)用来建立一些变量之间的关系 这些变量(variable)通常代表了系统的某些属性(property) 如某群体的大小

7 构成元素关系 系统 关系/规律 属性 数学模型 方程 变量

8 参数 模型还包括参数(parameter) 参数通常是常数,用于描述系统的某个相对不变的属性 参数在模型中相对于变量为从属地位
如某群体的生殖率(以群体大小为变量) 参数在模型中相对于变量为从属地位 一个属性是变量还是参数没有明显界限,由具体问题的性质决定 如果以生殖率为研究对象(变量),那么生殖率就不是参数,而是变量

9 数学模型的分类(1) 静态的(static)和动态的(dynamic)
区别在于是否考虑时间 动态模型常由差分方程或微分方程来表示 确定性的(deterministic)和随机性的(stochastic) 看是否唯一参数决定唯一结果 注意: 确定性模型可能产生貌似随机的结果,如混沌(chaos)

10 数学模型的分类(2) (时间)离散的(discrete)和连续的(continuous)
如差分方程(离散)和微分方程(连续) 线性(linear)和非线性的(nonlinear) y=ax+b (线性) y=ax2+bx+c (非线性) 对于方程组来说,只有全部方程都是线性的,该模型才是线性模型

11 数学模型的分类(3) 集总/中(lumped)参数和分布(distributed)参数模型 看参数是(集总)否(分布)均一分布
分布参数模型常用偏微分方程表示

12 一个离散模型的具体例子 生命游戏(life game) 演示… 属于细胞自动机(cellular automaton)的一种
给定某初始条件和繁衍条件 根据这些条件,观察群体的演化 定态,周期解,混沌… 演示…

13 二、差分方程 (difference equation)

14 例: 逻辑斯蒂映射(logistic map)
方程 Xn+1=rXn(1-Xn) Xn是变量,范围[0,1],代表某群体中第n代的个体数(已归一化) r是参数,表示增长率 如果知道前一项Xn,我们就可以推出后一项Xn+1 所以差分方程也叫递归(recursion)

15 解差分方程 要解这个差分方程,或者说进行模拟(run a simulation),
需要知道参数值(parameter values)、(变量)初值(initial values) 令 r = 1.0 X0 = 0.5 这样可以通过迭代(iteration)来求解差分方程

16 不同参数的效果(1) 周期一 周期一 周期二

17 不同参数的效果(2) 混沌(Chaos) 周期四…

18 迭代 对于本例(参数r=1.0) 用Excel操作、三维演示… X0=0.5 X1=0.25 X2=0.1875 X3=0.152344

19 换个方式演示迭代过程 用笔和尺

20 混沌的初值敏感性(sensitivity to initial conditions)

21 分岔图(bifurcation diagram)
就是横轴为参数、纵轴为变量的图,显示整个系统随参数的变化

22 丰富多彩的分岔图 – 前分岔、后分岔 后分岔(r<0) 前分岔(r>0)

23 前分岔局部放大 程序、动画演示… 丰富多彩的分岔图 – 自相似

24 丰富多彩的分岔图 – 三维 前后分岔、r为复数

25 三、微分方程 (differential equation)

26 (微分基础)微分/导数就是速度 从导数的定义开始 导数表示在x的某一点的切线的斜率,也就是变化率 变化率就是速度 Δx0

27 两种主要的微分方程 常微分方程(ordinary differential equation) u是x的函数(都是变量)
该方程的解为u(x)=c c为任意常数

28 两种主要的微分方程 偏微分方程(partial differential equation) u是x,y的函数 该方程暗示u独立于x
所以该方程的解为u(x,y)=f(y) f是y的任意函数

29 (生态学例子)群体增长模型(1) 方程 x是变量,代表某群体的个体数,即该群体大小,对时间t求导 m是参数,表示增长率
求导表示上变量对下变量变化的速度,所以这里的求导代表某群体大小的变化速度

30 群体增长模型(2) 这样上述方程就表示某群体的增长速度跟现有的群体大小成正比(这意味着指数增长！)
该方程其实就是著名的马尔萨斯人口方程,m是马尔萨斯参数(Malthusian parameter)

31 群体增长模型(3) 该方程的(解析)解(analytic solution)是 m=1, x0=1

32 (混沌例子)Lorenz奇怪吸引子 微分方程也可以产生混沌！而且更漂亮！ 例如Lorenz奇怪吸引子(strange attrator)

33 微分方程的数值解 这个方程不易得出解析解 需转化成差分方程并借助计算机求得数值解(numerical solution)
欧拉折线法(Euler method) dy/dx=f(x,y) (yn+1-yn)/h=f(xn,yn) yn+1=yn+h f(xn,yn) 转化成了差分方程 用Excel也可以解（演示…）!

34 用软件Euler解Lorenz方程 Euler 免费Matlab克隆 几乎可做常见的任何数学操作,甚至可以符号运算! ~2M!
Homepage 演示…

35 (例子)Logistic映射的微分形式(单物种增长)
[差分] Xn+1 = rXn(1-Xn) [微分] dX/dt = rX(1-X/K) X : 群体大小(变量) t : 时间 r : 增值率(参数) K : 群体大小极限(参数) 该方程比Malthus模型更接近现实,考虑了资源限制

36 单物种增长模型的解 变量初值 参数值 (变化) Euler演示解的演化、解受参数的影响 X0=1 r=1 (1…10)
参数值 (变化) r=1 (1…10) K= (1000…10000) Euler演示解的演化、解受参数的影响 不再指数增长(资源限制K起作用了!) 还不如差分方程的解丰富 只有定态解(steady states, fixed points, equilibria)

37 定态解及其稳定性 令方程右边rX(1-X/K)=0,即可得定态解 求这些定态解的稳定性(stability) X1=0, X2=K
对方程右边求导 [rX(1-X/K)]’=r-2rX/K 将定态解代入 r-2rX1/K=r >0  X1不稳定  不可见 r-2rX2/K=-r <0  X2稳定  可见

38 丰富多彩的混沌 分形学

39 Dynamics Solver 免费数学运算、作图软件 特别擅长于非线性动力学、混沌、分形 ~7M 软件自带混沌示例
bifurcation.ds (Logistic) circle.ds, Crutchfield.ds, tent.ds (不同的分岔图) Henon4.ds (初值敏感) Henon1.ds, baker.ds, Lozi.ds, Julia.ds, Mandelbrot.ds, Newton.ds, von Koch.ds, snowflake.ds, tree.ds (自相似,丰富的细节,分形)

40 四、应用

41 应用广泛(仅生命科学方面的部分列举) 生态学 酶动力学(生化) 神经系统 细胞代谢系统 信号转导系统 传染病 群体遗传学 捕食-被捕食模型
米氏方程 神经系统 细胞代谢系统 信号转导系统 传染病 群体遗传学

42 群体遗传学 – 模拟突变 研究对象/假设 代与代不重叠,随机交配,群体无限大
1个位点,2个等位基因(A1, A2),pn和qn=1-pn是它们在第n代时的基因频率 A1变异为A2的突变率是u,A2变异为A1的突变率是v 设一代中一个等位基因只能变异一次 u pn A1 A2 v qn

43 突变方程及其解 这样下一代的A1为 这个差分方程的解为 通常u, v很小(10-6或10-5的量级)
pn+1=(1-u)pn+v(1-pn) 这个差分方程的解为 这里p0是开始时(第0代)A1的频率 通常u, v很小(10-6或10-5的量级) 当n∞, pnv/(u+v), qnu/(u+v) 达到平衡(实际很难达到)

44 predator-prey模型 Malthus和Logistic模型是单物种模型 predator-prey模型是一类双物种模型

45 Lotka-Volterra模型 Lotka-Volterra模型是最早的predator-prey模型
[美]生物物理学家Alfred Lotka (1925) [意]数学家Vito Volterra (1926) 基于一阶非线性常微分方程 被捕食者 捕食者 Euler数值解演示…

46 定态解 求定态解 -αx-βxy=0 -δxy-γy=0 得 {x=y=0} (定态解1) {x=α/β, y=γ/δ} (定态解2)

47 定态解的稳定性 用偏导数线性化方程右端 得Jacobian matrix 该矩阵的本征值(eigenvalue)是
λ1=α>0, λ2 =-γ<0 (定态解1) 该定态解是鞍点(saddle point,不稳定) λ1=i√αγ>0, λ2 =-i√αγ<0 (定态解2) 该定态解是焦点(focus, 稳定周期)

48 五、E-Cell

49 E-Cell简介 功能: 在分子水平上全细胞模拟 免费/Gnu General Public License (GPL)、开源
跨平台(Linux, Windows, Mac) 程序架构: 前端/界面python,核心C++ 支持各类数学模型,参数估计,分析,便于自动化 E-Cell 3D (for Mac) 演示…

50 考试 不定项选择题 30 (15) 是非题 名词解释题 20 (5) 综合分析题 20 (2)

51 完