本次课讲授：第二章第十一节，第十二节，第三章第一节， 下次课讲第三章第二节，第三节，第四节； 下次上课时交作业P29—P30

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1 本次课讲授：第二章第十一节，第十二节，第三章第一节， 下次课讲第三章第二节，第三节，第四节； 下次上课时交作业P29—P30
第九讲 二维变量函数的分布与期望 本次课讲授：第二章第十一节，第十二节，第三章第一节， 下次课讲第三章第二节，第三节，第四节； 下次上课时交作业P29—P30 重点：二维变量函数的分布 难点：二维随机变量函数的分布。

2 第九讲 二维变量函数的分布与期望 一、X、Y是连续型随机变量时：和的分布 1.连续变量和的分布函数： 设Z为连续随机变量 X 与 Y 的和,
第九讲 二维变量函数的分布与期望 一、X、Y是连续型随机变量时：和的分布 1.连续变量和的分布函数： 的分布函数： 考虑随机变量 设Z为连续随机变量 X 与 Y 的和, 求 x + y = z

3 第九讲 二维变量函数的分布与期望 特殊地，如果X 与Y 独立，则 或

4 第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-1-1（07数学一，11分）

5 第九讲 二维变量函数的分布与期望

6 第九讲 二维变量函数的分布与期望

7 第九讲 二维变量函数的分布与期望 2. 平方和的分布 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求 的分布。
第九讲 二维变量函数的分布与期望 2. 平方和的分布 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求 的分布。 考虑 Z 的分布函数： 显然有 从而有

8 第九讲 二维变量函数的分布与期望 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 例9-1-2 解 考虑 Z 的分布函数 显然有 从而有

9 第九讲 二维变量函数的分布与期望

10 第九讲 二维变量函数的分布与期望 3. 最大值与最小值的分布 设随机变量X与Y 独立，它们的分布函数分别为
第九讲 二维变量函数的分布与期望 3. 最大值与最小值的分布 设随机变量X与Y 独立，它们的分布函数分别为 (1) 最大值的分布 (最大小于号，小于都小于） (2) 最小值的分布 （最小大于号，大于都大于）

11 第九讲 二维变量函数的分布与期望 推广到有限多个独立随机变量的情形, 有 特别地, 若 独立同分布,设它们的分布函数为 则

12 第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-1-3 某仪器由六个相互独立的部件 组成, 联接方式如图所示。设各部件的使用寿命 服从相同的指数
第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-1-3 某仪器由六个相互独立的部件 组成, 联接方式如图所示。设各部件的使用寿命 服从相同的指数 求仪器使用寿命的概率密度。 分布 解 各部件的使用寿命 的分布函数 先求两个串联组的寿命 的分布函数

13 第九讲 二维变量函数的分布与期望

14 第九讲 二维变量函数的分布与期望 再求仪器使用寿命Z 的分布函数 Z 的概率密度为

15 第九讲 二维变量函数的分布与期望 例题9-1-4（2008数学一，4分）

16 第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-1-5（2001数学三，8分）

17 第九讲 二维变量函数的分布与期望

18 第九讲 二维变量函数的分布与期望

19 第九讲 二维变量函数的分布与期望 二、离散型随机变量的数学期望（均值） 1.定义： 绝对收敛时。 称 当级数 为随机变量
第九讲 二维变量函数的分布与期望 二、离散型随机变量的数学期望（均值） 1.定义： 绝对收敛时。 称 当级数 为随机变量 的数学期望，又称均 值 设 是一离散型随机变量，其分布列为 ： 2.均值背景与说明 （1）期望源自平均值之意：例如，某班20名学生，英语成绩按照5分计，该班学生成绩分布为

20 第九讲 二维变量函数的分布与期望

21 第九讲 二维变量函数的分布与期望 3.例题讲解 例9-2-1 设随机变量 服从“0—1”分布，求数学期望 解
第九讲 二维变量函数的分布与期望 3.例题讲解 例 设随机变量 服从“0—1”分布，求数学期望 解 例 设随机变量 ，求数学期望 解

22 第九讲 二维变量函数的分布与期望

23 第九讲 二维变量函数的分布与期望 例 设随机变量 ，求数学期望 解 例9-2-4:几何分布

24 第九讲 二维变量函数的分布与期望

25 第九讲 均值、矩与方差 三. 连续型随机变量的数学期望 1.定义背景

26 第十讲 均值、矩与方差 2.定义： 设 为连续型随机变量, 则 的数学期望为: 其概率密度为 [注] 假定广义积分绝对收敛, 即 存在.

27 第九讲 均值、矩与方差 例9-3-1 设随机变量 , 求数学期望 3.例题讲解： 解 的密度函数为： 例9-3-2 设随机变量服从指数分布
第九讲 均值、矩与方差 例 设随机变量 , 求数学期望 3.例题讲解： 解 的密度函数为： 例9-3-2 设随机变量服从指数分布 求数学期望 的密度函数为： 解

28 第九讲 均值、矩与方差 四、随机变量函数的数学期望 1.离散型一维变量函数的均值定义 则定义随机变量函数 的数学期望为：
第九讲 均值、矩与方差 四、随机变量函数的数学期望 1.离散型一维变量函数的均值定义 则定义随机变量函数 的数学期望为： 2.连续型一维变量函数的均值定义

29 第九讲 均值、矩与方差 [注]：假定积分 绝对收敛。 的数学期望为： 则定义随机变量函数 X 的分布密度为 ， 例9-4-1 设随机变量
第九讲 均值、矩与方差 [注]：假定积分 绝对收敛。 的数学期望为： 则定义随机变量函数 X 的分布密度为 ， 例9-4-1 设随机变量 的概率分布为： 求随机变量函 数 的数学期望. -2 -1 1 2 3 0.10 0.20 0.25 0.15

30 第九讲 均值、矩与方差 解 例9-4-2

31 第九讲 均值、矩与方差 例9-4-3

32 第九讲 均值、矩与方差 五. 二维随机变量条件下的单变量数学期望

33 第九讲 均值、矩与方差

34 第九讲 均值、矩与方差

35 第九讲 均值、矩与方差 2.例题讲解： 例9-5-1 设二维随机变量 ( X, Y ) 服从区域D={(x , y)| 0≤x≤1,0≤y≤x } 上的均匀分布,求:E(X), E(Y), E(XY). x y y = x

36 第九讲 均值、矩与方差 例9-5-2 一个系统由两个子系统并联而成,若只有一个子系统发生故障,
第九讲 均值、矩与方差 例9-5-2 一个系统由两个子系统并联而成,若只有一个子系统发生故障, 系统还能正常工作,设两个子系统的工作寿命分别为:X,Y, 且相互独立,并服从相同的指数分布: 求:系统工作寿命 T 的数学期望.

37 第九讲 均值、矩与方差 解: 因为X, Y 相互独立,所以 x y y = x

38 第九讲 均值、矩与方差

39 第九讲 均值、矩与方差 六、关于数学期望的定理 1.定理与公式 定理(1,2) 证明 若 X 是一离散型随机变量，
第九讲 均值、矩与方差 六、关于数学期望的定理 1.定理与公式 定理(1,2) 证明 若 X 是一离散型随机变量， 若 X 是一连续型随机变量，则有：

40 第九讲 均值、矩与方差 推论 定理3 证 若X与Y为离散随机变量： 若X与Y 为连续型随机变量

41 第九讲 均值、矩与方差 推论 定理4 定理5 设随机变量X与Y相互独立，则 证 若X与Y为离散随机变量：

42 第九讲 均值、矩与方差 = E(X ) E( Y ) 若X与Y 为连续型随机变量 = E(X ) E( Y ) 定理6
第九讲 均值、矩与方差 = E(X ) E( Y ) 若X与Y 为连续型随机变量 = E(X ) E( Y ) 定理6 设随机变量X1, X2,…Xn相互独立，则 2.例题讲解：

43 第九讲 均值、矩与方差 例9-6-1

44 第九讲 均值、矩与方差