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第四章 电磁波的传播（1） §4.1 平面电磁波 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2014年11月18日
《电动力学》第18讲 第四章 电磁波的传播（1） §4.1 平面电磁波 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2014年11月18日
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本讲主要内容 1、电磁场波动方程 2、时谐电磁波 3、平面电磁波 4、电磁波的能量和能流 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。 变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间 中传播的电磁波。由于在广播通讯、光学和 其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、 辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有 十分丰富的内容。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的 形式，本章先研究无界空间中平面电磁波的主要特 性，然后用电磁场边值关系研究电磁波在介质界面 上的反射和折射问题，从电磁理论出发导出光学中 的反射和折射定律。第三节研究有导体存在时的电 磁波传播问题，说明电磁波在导体内有一定的穿透 深度，在良导体内只有很小部分电磁能量透入，因 而良导体成为电磁波存在的边界。第四节研究有界 空间的电磁波，以谐振腔和波导管为例说明电磁波 边值问题的解法。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组： 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 现在我们研究在没有电荷电流分布的自由空间（或 均匀介质）中的电磁场运动形式。在自由空间中， 电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律是齐次的 麦克斯韦方程组（ ρ = 0 , J = 0 情形 ）： 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 真空情形 在真空中，D = ε0 E , B = μ0 H 。取第一 式的旋度并利用第二式得
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 同理取第二式的旋度并利用第一式得 用矢量分析公式及▽·B = 0 得 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 令 得 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 此即为波动方程。由其解可知电磁场具有波动性， 电磁场的能量可以从一点转移到另一点。即脱离电 荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式 运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范 围的电磁波，如无线电波、光波、X射线和γ射线等） 都以速度c传播，c就是最基本的物理常量之一，即 光速。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 介质情形 研究介质中的电磁波传播问题时，必须 给出D和E的关系以及B和H的关系，当以一定角频率 ω作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的 束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动。 在线性介质中有关系 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 由介质的微观结构可知，对于不同频率的电磁波， 介质的介电常数是不同的，即
ε和μ随频率ω而变化的现象，称为介质的色散。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 由于色散，对一般非正弦变化的电场E(t)，关系式 D(t)=εE(t)不成立。因此在介质内，不能够推出E 和B的一般波动方程。这是因为 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 因此在介质内不能导出 E 和 B 的一般波动方程，所 以不要由真空情况根据 μ0ε0 →με转到介质情形， 这是不正确的。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确 定的频率作正弦震荡，因而辐射出的电磁波也以相 同频率作正弦振荡。例如无线电广播或通讯的载波， 激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波。这种以 一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色 波）。在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它 也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法 分解为不同频率的正弦波的叠加。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 因此， 只讨论一定频率的电磁波。设角频率为ω ， 电磁场对时间的依赖关系 cos(ωt) ，或用复数形式表 为 在上式中，用同一个符号E表示抽出时间因子e−iωt 以 后的电场强度，一般不会发生混淆。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 在 ω ≠ 0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。 取第一式的散度，由于 ▽· (▽×E) = 0 ， 因而 ▽· H = 0 ，即得第四式。 同样，由的二式可导出第三式。因此，在一定频率 下，只有第一、第二式是独立的，其他两式可由以 上两式导出。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程
由时谐电磁波Maxwell’s equations的第一式取旋度， 并用第二式，得 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 上式变为 解出E后，磁场B 可由第一式求出
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程
是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x) 代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一 种可能的形式称为一种波模。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 类似地，亦可以把Maxwell方程组在一定频率下化 为
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可 以由各种不同形式。例如从广播天线发射出的球面 波，沿传输线或波导定向传播的波，由激光器激发 的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面 波。设电磁波沿x轴方向传播，其场强在与x轴正交 的平面上各点具有相同的值，即E和B仅与x，t有关， 而与y，z无关。这种电磁波称为平面电磁波，其波 阵面（等相为点组成的面）为与x轴正交的平面。在 这种情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程 ： 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 （kx −ωt）代表波动的相位因子。 3. 平面电磁波 它的一个解是
由条件 ▽·E =0 得 ikex·E =0 ，即要求 Ex=0， 因此，E0 与x轴垂直。式中 E0 是电场的振幅， （kx −ωt）代表波动的相位因子。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强 应理解为只取上式的实数部分，即
相位因子 cos（kx−ωt）的意义：在时刻 t = 0，相位因 子是coskx，x=0的平面处于波峰。在另一时刻t，相因子变 为cos（kx−ωt），波峰移至 kx−ωt=0处，即移至 x = ωt/k 的平面上。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 因此，一个沿x轴方向传播的平面波，其相速度为 真空中电磁波的传播速度为 介质中电磁波的传播速度为
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 式中 εr 和 μr 分别代表介质的相对电容率 和相对磁导率，由于它们是频率 ω 的函数， 因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速 度，这就是介质的色散现象。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 k的意义： 从相速度公式 和波速、波长及频率的关系 ，我们可以 得到k的算式
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 任意传播方向的平面电磁波 在一般坐标系下平面电磁波的表示式是
式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为 |k| = ω（με）1/2 。在特殊坐标系下，当 k 的方 向取为x轴时，有 k · x = k x 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 对 式必须加上条件 ▽·E = 0 才得到电 磁波解。取上式的散度
上式表示电场波动是横波，E可在垂直于k的任意方向上振荡。E的 取向称为电磁波的偏振方向。可以选与k垂直的任意两个互相正交 的方向作为E的两个独立偏振方向。因此，对每一波矢量k，存在 两个独立的偏振波。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 平面电磁波的磁场可有 式求出。 取 E 的旋度得
n为传播方向的单位矢量。由上式得 k·B = 0 ，因此 磁场波动也是横波。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 E、B和k是三个各互相正交的矢量。E和B同相，振幅比 为 在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 概括平面波的特性如下： （1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直，TEM波；
（2）E和B互相垂直，E×B沿波矢k方向； （3）E和B同相，振幅比为 υ 。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如 图4-2所示。随着时间的推移，整个波形向x轴方向以 速度υ = c/(μrεr)1/2 移动。 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流 电磁场的能量密度为
在平面电磁波情形，有εE2 =(1/μ)∙B2 ，因此平面电 磁波中电场和磁场能量相等，有 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流 平面电磁波的能流密度 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流 由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场 强的复数表示直接代入。计算w和S的瞬时值时，应把 实数表示代入，得 山东大学物理学院 宗福建
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§5.1 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流 w和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需要用 到它们的时间平均值。
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MATLAB 应用 % function Example000 clear; clc; L=0.5;
[x,y]=meshgrid(-1:0.1:1, -1:0.1:1); a=sqrt(x.^2+y.^2+0.01); z=a.^-1; [px,py]=gradient(-z,.1,.1); subplot(1,2,1); contour(x,y,z,20); axis([ ]); subplot(1,2,2); quiver(x,y,px,py); return; 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 % Function Example001 clear clc
x = linspace(0,4*pi,100); %定义变量x并设定取值范围 y1 = 8*cos(x); % E的函数 z1 = zeros(size(x)); %与y1对应的z1取值 z2 = 8*cos(x); % B的函数 y2 = zeros(size(x)); %与z2对应的y2取值 plot3(x,y1,z1,x,y2,z2,x,y2,z1); %三维画图函数 grid on view(-45,45) Return; 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 % function Example002 clear clc
[x,y] = meshgrid(-8:0.1:8,-8:0.1:8); % 建立三维表格并且设定x，y的取值范围 z = cos(y+10); % E的表达式函数 surfc (x,y,z); % 画图 view(45,45); %调整视角 return; 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 % function Example003 clear; clc; x=linspace(0,4*pi,100);
y1 = 8*cos(x); z1 = zeros(size(x)); z2 = 8*cos(x); y2 = zeros(size(x)); plot3(x,y1,z1,x,y2,z2) theaxes = axis; %取坐标轴的值 fmat = moviein(40); %创建帧矩阵 for j=1:40; plot3(x,8*cos(x+pi/20*j),z1,x,y2,-8*cos(x+pi/20*j),x,y2,z1) %函数循环体，创造出动态效果 axis(theaxes) %使用同一个坐标，连成动画 fmat(:,j) = getframe; %采取图像信息 end movie(fmat,10,20) %放映动画 movie2avi(fmat,'Example003.avi'); return; 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 % function Example004 clear; clc;
[x,y] = meshgrid(-8:0.1:8,-8:0.1:8); z = cos(y+10); surfc(x,y,z) theAxes = axis; fmat = moviein(20); for j = 1:20 surf(x,y,cos(y+2*pi*j/20)) axis(theAxes) fmat(:,j) = getframe; end movie(fmat,10); movie2avi(fmat,'Example004.avi'); return; 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 % function Example005 clear; clc; x=-16:0.5:16; % 设定坐标范围
[XX,YY] = meshgrid(x); %建立三维网格图 r = sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps; % +eps是为了在r=0附近 能取值 z = sin(r)./r; surf(z) return; 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 山东大学物理学院 宗福建
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MATLAB 应用 % function Example006 clear; clc; x = -20:0.5:20;
[XX,YY] = meshgrid(x); r = sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps; theAxes = axis; fmat = moviein(20); for j=1:20 surf(sin(r-2*pi*j/20)./r) axis(theAxes) fmat(:,j) = getframe; end movie(fmat,10); movie2avi(fmat,'Example006.avi'); return; 山东大学物理学院 宗福建
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课下作业 第150页 第1，5题。 山东大学物理学院 宗福建
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课下作业 补充题： 1．证明对时谐电磁波，麦可斯韦方程组不独立。 2．证明真空中的平面电磁波为TEM波。
3．根据麦可斯韦方程组推导时谐电磁波的电场量E 的亥姆霍兹方程及E与B之间的关系。 4、 根据麦可斯韦方程组推导时谐电磁波的磁场量B 的亥姆霍兹方程及E与B之间的关系。 山东大学物理学院 宗福建
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谢谢！
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