材料力学 刘鸿文主编(第5版) 高等教育出版社 教师：朱林利，副教授， 航空航天学院 应用力学研究所

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1 材料力学 刘鸿文主编(第5版) 高等教育出版社 教师：朱林利，副教授， llzhu@zju.edu.cn 航空航天学院 应用力学研究所
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2 夏学期作业3： 7.19、7.21、7.25、7.28

3 材料力学 第七章 应力应变分析 强度理论 Mechanics of Materials
Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria

4 知识要点回顾 平面应力的状态分析 最大正应力和方位 最大切应力和方位

5 平面应力的状态分析-图解法 xy o yx 应力圆(莫尔圆)  应力圆的画法 y D yx B  C A x x D′ y

6 xy o yx 单元体上任一 截面上的应力 D   x A y B D′ C 20 x y a x yx xy G1
n E 2 F e f 2 B1 1 A1

7 (analysis of three-dimensional stress-state)
§7-4 三向应力状态分析 (analysis of three-dimensional stress-state) 一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 (the maximum normal stress and shear stress in three-dimensional stress-state) 3 1 2 已知受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。 7

8 首先研究与其中一个主平面 (例如主应力3 所在的平面)垂 直的斜截面上的应力 用截面法，沿求应力的 截面将单元体截为两部分，
2 用截面法，沿求应力的 截面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象 1 3 1   2 1 2 8

9 主应力 3 所在的两平面上是一对 自相平衡的力， 因而该斜面上的 应力  ,  与 3 无关, 只由主应力 1 , 2 决定
1 , 2 决定 1 2 3 与 3 垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示   2 1 9

10 于与3 所在主平面垂直的所有斜截面上的应力
 该应力圆上的点对应 于与3 所在主平面垂直的所有斜截面上的应力 与主应力 2 所在主平面垂 直的斜截面上的应力,  可 用由 1 ,3 作出的应力圆 上的点来表示  2 B A 1 O C 3 与主应力 １ 所在主平面垂 直的斜截面上的应力 ,  可用 由 2 ,3作出的应力圆上的点 来表示 10

11 该截面上应力  和  对应的 D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内
a b c 2 abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面 1 1 该截面上应力  和  对应的 D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内 3 2 11

12 结论 三个应力圆圆周上的点 及由它们围成的阴影部分 上的点的坐标代表了空间 应力状态下所有截面上的 应力 该点处的最大正应力
 A 1  O 2 B C 3 三个应力圆圆周上的点 及由它们围成的阴影部分 上的点的坐标代表了空间 应力状态下所有截面上的 应力 该点处的最大正应力 (指代数值)应等于最大应 力圆上A点的横坐标 1

13 最大切应力则等于最大的 应力圆的半径 最大切应力所在的截 面与 2 所在的主平 面垂直，并与1和 3 所在的主平面成 450角。 
A 1  O 2 B C 3 最大切应力则等于最大的 应力圆的半径 最大切应力所在的截 面与 2 所在的主平 面垂直，并与1和 3 所在的主平面成 450角。

14 例题9 单元体的应力如图所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位.
例题9 单元体的应力如图所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位. 40MPa x y z 20MPa 解: 该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z 无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力 14

15 由 x ， xy 定出 D 点 由 y ， yx 定出 D′ 点 以 DD′为直径作应力圆 A1，A2 两点的横坐标分别代
O  由 x ， xy 定出 D 点 由 y ， yx 定出 D′ 点 以 DD′为直径作应力圆 D′ A1，A2 两点的横坐标分别代 表另外两个主应力  1 和  3 C A1 A2  3 =-26MPa 1 3 D  1 =46MPa 该单元体的三个主应力  1 =46MPa  2 =20MPa  3 =-26MPa 根据上述主应力，作出三个应力圆 15

16 (Analysis of plane strain-state)
§ 7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state) 平面应力状态下，已知一点的应变分量x 、y 、 γxy ，欲求方向 上的线应变α和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件，分别找 出微单元体（长方形）由于已知应变分量x 、y 、 γxy在此方向上 引起的线应变及切应变，再利用叠加原理. 一、任意方向的应变(The strain of any direction) 在所研究的 O 点处, Oxy 坐标系 内的线应变 x , y , xy 为已知. 求该点沿任意方向的线应变  . y x O

17 将Oxy 坐标绕O点旋转一个 角，得到一个新 Ox' y'坐标系.
并规定  角以逆时针转动时 为正值，反之为负值. y' x'  为 O 点沿 x‘方向的线应变  为直角  x‘Oy’的改变量 ，即切应变.  假设: （1）O点处沿任意方向的微段内, 应变是均匀的; （2）变形在线弹性范围内都是微小的, 叠加原理成立; 分别计算  x ,y ,xy 单独存在时的线应变  和切应变  ，然 后叠加得这些应变分量同时存在时的 和  .

18 1、推导线应变  ( Derive the linear strain)
从O点沿 x′方向取出一微 段 OP = dx′, 并以它作为 矩形 OAPB 的对角线. x y O  y' x' P A B 该矩形的两边长分别为 dx 和 dy dx' dx dy

19 （1）只有正值 x 存在 假设 OB 边不动，矩形 OAPB 变形后成为 OA'P'B 的伸长量 为 O点沿 x'方向的线应变 1 为
y O （1）只有正值 x 存在 y' x' 假设 OB 边不动，矩形 OAPB 变形后成为 OA'P'B A B dx dy A' P' P  D  xdx 的伸长量 为 O点沿 x'方向的线应变 1 为

20 （2）只有正值 y存在 假设 OA 边不动 矩形 OAPB 变形后为 OAP"B' 的伸长量为 O点沿 x'方向的线应变 2 为 y
ydy 假设 OA 边不动  D' x' A B dx dy P 矩形 OAPB 变形后为 OAP"B'  的伸长量为 O点沿 x'方向的线应变 2 为

21 （3）只有正值 切应变γxy存在 使直角减小的  为正 假设 OA 边不动 矩形 OAPB 变形后为 OAP"'B" 的伸长为
γxydy x' 假设 OA 边不动 B P''' B'' P 矩形 OAPB 变形后为 OAP"'B"  D'' dy γxy  O dx A x 的伸长为 O 点沿 x′方向的线应变为

22 根据叠加原理，x , y 和 xy 同时存在时，O点沿 x´方向的线应
变为 2、切应变  (Shearing strain) 以上两式利用三角函数化简得到

23 二、主应变数值及其方位 (The principal strains and it’s direction)

24 (Generalized Hooke’s law )
§7-6 广义虎克定律 (Generalized Hooke’s law ) 一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials) 1、符号规定 (Sign convention) x x y z y xy yx z （1） 正应力：拉应力为正, 压应力为负 （2） 切应力：对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则τ为正；反之为负 （3） 线应变：以伸长为正, 缩短为负； （4） 切应变：使直角减者为正, 增大者为负.

25 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials) 用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加. x 方向的线应变 x y z z y 单独存在时 x 单独存在时 单独存在时

26 在 x 、y 、 z同时存在时, x 方向的线应变x为
同理，在 x 、y 、z同时存在时, y , z 方向的线应变为 在 xy，yz，zx 三个面内的切应变为

27 —— 沿x、y、z轴的线应变 —— 在xy、yz、zx面上的角应变 上式称为广义胡克定律(Generalized Hooke’s law）

28 对于平面应力状态（In plane stress-state） (假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 )
xy x y yx x y xy yx

29 3、主应力-主应变的关系 (Principal stress-principal strain relation） 已知 1、 2、 3；1、2 、3 为主应变 二向应力状态下(In plane stress-state) 设  3 = 0

30 本次课完！ 祝大家学习愉快!

31 皇家学会的双眼和双手——胡克 　　罗伯特．胡克（Hooke Robert ）是17世纪英国最杰出的科学家之一。他在力学、光学、天文学等诸多方面都有重大成就。他所设计和发明的科学仪器在当时是无与伦比的。他本人被誉为是英国皇家学会的“双眼和双手”。 胡克（ ） 牛顿（ ） 波义耳（ ） 惠更斯（ ）