数字信号处理 Lecture 6: Properties of Discrete Fourier Transformation 杨再跃

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1 数字信号处理 Lecture 6: Properties of Discrete Fourier Transformation 杨再跃
玉泉校区工控新楼507

2 复习：DFT 为了进行计算机处理，我们对连续信号通过采样离散化，采样的数学描述为：
为了分析x(n)的频率特性，我们对它进行DTFT，得到一个周期性的、连续的频谱曲线，上述过程可以用下图描述： t x(t) x(nTs) Ts - Ts 2Ts t --- 以时间间隔Ts采样 DTFT

3 为了用计算机在频域下分析信号，我们对x(n)经过DTFT后得到的连续曲线，在其一个周期内继续离散化，具体做法是：把DTFT的一个周期N等分，采样N个频率点上的值，用公式表示为：
上述过程用图表示为： --- DTFT --- DTFT N-1 DFT 一个周期内N点离散化 采样 定义：我们把X(k)称为长为N的序列x(n)的离散傅里叶变换（DFT），恰好它也是N个点构成的序列，但是要注意，时域下的n值与频域下的k值不是对应的！

4 因此，我们可以定义频率分辨率： A1. 观察连续信号x(t)，它本身有自己的频率f，也就是信号本身的周期为T=1/f
A2. 以采样频率fs对x(t)采样后，得到了离散信号x(n)，它是由采样后的离散点组成的，相邻两点之间的时间间隔就是采样周期Ts A3. 我们对x(n)进行DTFT，把时间t=nTs的函数x(n) 转换成数字角频率ω的函数X(ω)，在这一转换过程中，存在着如下的频率对应关系： A4. 观察DTFT，注意到横轴是数字化角频率，并且具有周期性，周期为2π，在一个周期[0, 2π)内，它给出了信号从 频率=0 连续变化到 频率=fs 的信号频谱(参见第3条的频率对应公式)，即DTFT的一个周期[0, 2π)对应了信号时域下的频率[0, fs] A5. 观察DFT，它是离散的，由于离散是通过对[0, 2π)进行N等分得到的，因此相邻离散点之间的间隔为2π/N. A6. 综合4、5两点可以看出，在DFT的给出的频谱图中，相邻两个点之间的间隔表示为数字角频率是2π/N，表示为时域下的实际频率为fs/N 因此，我们可以定义频率分辨率：

5 B1. 观察连续信号x(t)，它本身有自己的频率f，也就是信号本身的周期为T=1/f
B2. 以采样频率fs对x(t)采样后，得到了离散信号x(n)，它是由采样后的离散点组成的，相邻两点之间的时间间隔就是采样周期Ts B3. 我们可能只截取了周期为T的连续时间信号x(t) 的一小段构成x(n)，这一小段的长度为N，我们以N为周期进行序列周期延拓，得到如下关系式： B4. 注意x(t) 具有周期T，而 的周期为N，N值既是序列的点数，也是 的周期值，由于 是一个周期序列，因此我们可以把它展开成傅里叶级数DFS： 其中 B5. 观察DFS的表达式 ，它是描述了一个时域下、周期性的离散信号序列，序列的主值区间取值为第3步得到的x(n) B6.观察DFS的表达式 ，式中旋转因子项的系数 也是一个周期序列，具有如下表达式：

6 A1-A6的分析，从对DTFT进行N点抽样的角度，得到DFT定义； B1-B8的述分析，从离散傅里叶级数的角度得到DFT定义；
B7.观察 的表达式，可以发现它与前面从DTFT采样得到的DFT有着一样的表达形式，唯一的区别是， 是一个无限长的周期序列，而X(k)是一个N点序列 B8. 如果画出 与X(k)的图，可以发现，后者恰好就是前者主值序列，因此DFT可以被认为是周期序列傅里叶级数的复指数项系数的主值部分，事实上，原始的DFT定义就是根据这一物理含义推导出来的，而不是前面所述对DTFT抽样获得 A1-A6的分析，从对DTFT进行N点抽样的角度，得到DFT定义； B1-B8的述分析，从离散傅里叶级数的角度得到DFT定义； 不论如何得到DFT，最重要的都是要知道为什么要费力得到DFT，即把时域离散信号转化为频域信号，通过计算机分析离散频率点上的信号幅值，试图从此了解原有时域信号的本质特征！

7 C1. 只要有一个N点序列，就可以用下面的定义找到一个N点DFT分析它的频率响应特性，如果序列的长为L<N，可以补零使长度变为N
C2. 反过来，如果用N点DFT还原时域信号，则会得到一个无限长的周期信号，对该信号的主值区间取值就可以得到原有N点离散信号，即频域抽样造成时域周期延拓：

8 如何应用DFT 时域序列 频域DFT序列 周期与频率： 时域信号周期，信号频率； 时域信号的延拓周期，信号的点数； 采样周期，采样频率；
Friday, January 18, 2019 如何应用DFT 时域序列 频域DFT序列 x(n)表示第n个分量值； X(k)表示第k个频谱分量的幅度 周期与频率： 时域信号周期，信号频率； 时域信号的延拓周期，信号的点数； 采样周期，采样频率； 周期与频率： 与模拟频率对应的数字频率； DTFT的周期； DFS的周期； DFT的点数；

9 Example: 宽为L的矩形序列及其DFT表达
Friday, January 18, 2019 Example: 宽为L的矩形序列及其DFT表达 5. 频率分辨率（抽样间隔）： 6. 数据记录长度： 7. 分析频率： 1. 信号频率： 2. 数字角频率： 3. 采样（抽样）频率： 4. 信号最大频率：

10 如何应用DFT 实际测试一个信号时，为了避免混叠失真，应该尽可能提高采样频率使之必须满足抽样定理：
Friday, January 18, 2019 如何应用DFT 实际测试一个信号时，为了避免混叠失真，应该尽可能提高采样频率使之必须满足抽样定理： 在抽样点数N给定的条件下，为了提高频率分辨率，必须降低采样频率，如果不能满足采样定理，则只能降低信号可分析的带宽 在采样频率和信号最高频率给定的情况下，为了提高分辨率，则必须提高采样点数N，从而也会增加数据记录的长度

11 计算机最小应该记录多长时间的数据(T0=？) 为了计算方便，要求抽样点数是2的次幂，在一次记录中该最少记录多少个点的数据(N=？)
Friday, January 18, 2019 例6.1 现对一个信号进行频谱分析，估计该信号最高频率不大于2000Hz，要求频率分辨率不大于5Hz，由于计算机缓存容量限制，不能存储过长的序列。请确定如下指标： 计算机最小应该记录多长时间的数据(T0=？) 为了计算方便，要求抽样点数是2的次幂，在一次记录中该最少记录多少个点的数据(N=？) 抽样后，相邻两个数据点之间的最大时间间隔为多少(T=？) 1. Solution: 2. 3.

12 序列的对称性 则称xe(n)为偶对称序列 1. 序列xe(n)满足 若两个序列x(n)和y(n)满足 n 则称x(n)和y(n)互为偶对称
Friday, January 18, 2019 序列的对称性 1. 序列xe(n)满足 则称xe(n)为偶对称序列 n 偶对称序列（偶序列） 若两个序列x(n)和y(n)满足 则称x(n)和y(n)互为偶对称 n VS

13 序列的对称性 则称xo(n)为奇对称序列 2. 序列xo(n)满足 若两个序列x(n)和y(n)满足 n 则称x(n)和y(n)互为奇对称
Friday, January 18, 2019 序列的对称性 2. 序列xo(n)满足 则称xo(n)为奇对称序列 n 奇对称序列（奇序列） 若两个序列x(n)和y(n)满足 则称x(n)和y(n)互为奇对称 n

14 序列的对称性 任意定义在[0, N-1]上的长度为N的实序列可以被表示称为一个偶序列和一个奇序列的和： 则称xe(n)为偶序列
Friday, January 18, 2019 序列的对称性 1. 序列xe(n)满足 则称xe(n)为偶序列 2. 序列xo(n)满足 则称xo(n)为奇序列 任意定义在[0, N-1]上的长度为N的实序列可以被表示称为一个偶序列和一个奇序列的和：

15 共轭对称（Conjugate Symmetry）
Friday, January 18, 2019 共轭对称（Conjugate Symmetry） 若序列为实序列，则为偶对称（偶序列） 1. 复序列取共轭、折叠后与原序列相等，则称序列为共轭对称序列 若序列为实序列，则为奇对称（奇序列） 2. 复序列取共轭、折叠后与原序列符号相反，则称序列为共轭反对称序列

16 共轭对称（Conjugate Symmetry）
Friday, January 18, 2019 共轭对称（Conjugate Symmetry） 1. 共轭对称序列 2. 共轭反对称序列 任意定义在[0, N-1]上的长度为N的序列可以被表示称为一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列的和：

17 周期共轭对称（Periodic Conjugate Symmetry）
Friday, January 18, 2019 周期共轭对称（Periodic Conjugate Symmetry） 序列依次均匀排列在圆周上，序列关于标号为零的点循环对称 1. 定义在[0, N-1]上的长度为N的复序列满足下面条件时，被称为周期(循环)共轭对称序列 2. 定义在[0, N-1]上的长度为N的复序列满足下面条件时，被称为周期(循环)共轭反对称序列

18 周期共轭对称（Periodic Conjugate Symmetry）
Friday, January 18, 2019 周期共轭对称（Periodic Conjugate Symmetry） 1. 周期共轭对称 2. 周期共轭反对称 任意定义在[0, N-1]上的长度为N的序列可以被表示称为一个周期共轭对称序列和一个周期共轭反对称序列的和： 证明？

19 周期共轭对称（Periodic Conjugate Symmetry）
Friday, January 18, 2019 周期共轭对称（Periodic Conjugate Symmetry） 1. 周期共轭实序列xs(n)是关于N/2的对称序列 2. 周期共轭实序列xa(n)是关于N/2反对称序列 如果N为偶数，则

20 周期共轭对称（Periodic Conjugate Symmetry）
Friday, January 18, 2019 周期共轭对称（Periodic Conjugate Symmetry） 1. 周期共轭实序列xs(n)是关于N/2的对称序列 2. 周期共轭实序列xa(n)是关于N/2反对称序列 任意定义在[0, N-1]上的长度为N的实序列可以被表示称为一个对称序列和反对称序列的和：

21 序列的循环折叠（圆周折叠） 一个有限长序列的循环折叠定义为 操作：将有限长序列以序列中间点（圆周上零标号点）进行反转即可得到；
几何意义：如果原序列顺时针在圆周均布，则循环折叠后将逆时针均布在圆周上；

22 序列的循环折叠（圆周折叠） x(n) = { 0, 3, 2, 4, 1, 5} N=6
一个有限长序列的循环折叠定义为 例6.2 求下列序列的循环折叠序列h(n) x(n) = { 0, 3, 2, 4, 1, 5} Solution： x'(n) = {0, 5, 1, 4, 2, 3} N=6

23 序列的循环移位（圆周移位） 1. 序列的线性移位： 2. 序列的循环移位： 序列左移 序列右移
Friday, January 18, 2019 序列的循环移位（圆周移位） 1. 序列的线性移位： 序列右移 序列左移 2. 序列的循环移位： 1 2 3 4 5 6 7 把有限长序列的元素首尾相连，构成一个圆环，序列的元素在圆环上转动若干位置后构成新的序列 移位2

24 序列的循环移位（圆周移位） 一个有限长序列的圆周移位定义为 1. 将有限长序列进行周期延拓： 2. 进行移位： 3. 取主值序列

25 序列的循环移位 n N-1 n 周期延拓 n 左移2 n 取主值 N-1

26 Friday, January 18, 2019 例6.3 求序列向右循环移位1后的序列： Solution：

27 Friday, January 18, 2019