中学几何研究第九章 2019/2/17.

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1 中学几何研究第九章 2019/2/17

2 第一节 球面几何的有关概念 第九章 球面几何初步 球面: 三维空间中与一个定点O的距离等于R的点的 轨迹。
第九章 　　球面几何初步 第一节 球面几何的有关概念 球面: 三维空间中与一个定点O的距离等于R的点的 轨迹。 大圆: 通过球心的平面截球面所得的截口。 不过球心的平面截球面所得的截口叫小圆。 球面角: 两个大圆相交所成的角。交点叫球面角的 顶点,大圆弧叫球面角的边。 2019/2/17

3 三个大圆弧称为球面三角形的边，常用小写的拉丁
球面二角形： 球面上两个大圆的半圆所包围的球面 部分。 球面三角形： 球面上相交于三点的三个大圆弧所围 成的球面上的一部分。 三个大圆弧称为球面三角形的边，常用小写的拉丁 字母a,b,c表示。大圆弧之间所成的球面角称为球面三 角形的角，通常用大写的拉丁字母A,B,C表示。 球心三面角： 球面三角形ABC的各个顶点与球心O 连接，所构成的三面角O-ABC。 2019/2/17

4 球面上的圆的极：垂直于已知球面的圆(不论大圆和小圆)所在平面的球直径的端点，称为这个圆的极。
过球心垂直于大圆所在平面的直径交球面于两点，称为大圆的极点。 这个圆上的点到极的球面的距离都相等,这个距离 叫做球面半径。如果球面半径等于90o，则大圆弧称为极点的极线。 极是垂直于极线的大圆的交点。 2019/2/17

5 过球面三角形ABC各边的极作大圆弧构成另一个球面三角形A/B/C/，称为原球面三角形的极三角形。
在同球或等球面上,若两球面三角形的对应边和角 分别相等,而且排列顺序相同,则称这两个球面三角形全等。 若排列顺序相反,则称这两个球面三角形对称。 球面上两点A,B间大圆弧(劣弧)的长叫做球面距离。 2019/2/17

6 性质4.球面三角形的两角之和减去第三角小于180o。
球面三角形的边和角的基本性质： 性质1.球面三角形两边之和大于第三边。 性质2.球面三角形三边之和大于0o小于360o。 性质3.球面三角形三角之和大于180o小于540o。 性质4.球面三角形的两角之和减去第三角小于180o。 性质5.若球面三角形的两边相等，则这两边的对角也相等；反之若球面三角形的两角相等，则这两角的对边也相等。 性质6.球面三角形中，大角对大边，大边也对大角。 2019/2/17

7 cosb=cosc·cosa+sinc·sina·cosB,
第二节 球面三角 1.余弦公式 cosa=cosb·cosc+sinb·sinc·cosA, cosb=cosc·cosa+sinc·sina·cosB, cosc=cosa·cosb+sina·sinb·cosC. cosA= - cosB·cosC+sinB·sinC·cosa, cosB= - cosC·cosA+sinC·sinA·cosb, cosC= - cosA·cosB+sinA·sinB·cosc. 2019/2/17

8 2.正弦公式 3.半角公式 令 p = (a+b+c)/2. 2019/2/17

9 3.半边公式 令 p = (A+B+C)/2. 4.球面二角形的面积 2019/2/17

10 球面三角形三内角之和与平面三角形三内角之和 三内角之和的差称为球面角超(或球面剩余).
5.球面三角形的面积 6.球面角超 球面三角形三内角之和与平面三角形三内角之和 三内角之和的差称为球面角超(或球面剩余). (角度) (弧度) 2019/2/17

11 以 表示点X的矢径, 则A,B的数量积和向量积为:
第三节 球面坐标 1.三维直角坐标系 (球心为原点) 球面是点集: 两点之间的球面距离公式: 以 表示点X的矢径, 则A,B的数量积和向量积为: 2019/2/17

12 2.赤道坐标系 P222。 经线， 经度； 纬度。 3.水平坐标系 P223。 2019/2/17

13 第四节 球面几何与双曲几何 在球面几何学中，球面三角形和内角和大于1800。球面几何也是一种非欧几何。
第四节 球面几何与双曲几何 在球面几何学中，球面三角形和内角和大于1800。球面几何也是一种非欧几何。 最早发现的非欧几何---双曲几何。也就是罗氏几何。 双曲几何的公理系统是将希尔伯特的五组公理中的四组公理保留不变，仅将欧氏平行公理改为双曲平行公理： 相关内容见P224. 2019/2/17

14 本章结束 2019/2/17