§3 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项 式来逼近一般的函数是近似计算的重 要内容,也是数学的研究课题之一.

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1 §3 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项 式来逼近一般的函数是近似计算的重 要内容,也是数学的研究课题之一.
§3 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项 式来逼近一般的函数是近似计算的重 要内容,也是数学的研究课题之一. 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 三、在近似计算中的应用 返回

2 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 在 处可导, 由有限增量公式 当 充分小时, 可以由一次多项式 近似地代替, 其误差为 . 在许多情况下,
是不够的, 而要考虑用较高次 误差仅为 的多项式来逼近 f , 使得误差更小,

3 问题: 是否存在一个 n次多项式 使得 答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x) 有什么关系？ 设 则

4 即 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶 导数所确定的. 设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果

5 即 则不难得到:

6 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式, 称 为泰勒系数 确实是我们所需要的多项式. 定理 6.8 设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则 即

7 证 设 只需证 因为由（1）式， 则当 连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到

8 式称为 在点 处的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式. 注1 附近满足

9 也不能说明 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式. 比如 处满足 (4) 但是当 n > 1 时, 不是 f (x) 在点　　　的 n 阶泰勒多项式, 原因是 f (x) 在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存 在,所以无法构造 n 阶多项式.

10 注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 则只有惟一的多
项式 ( 泰勒多项式 Tn(x) ) 满足: 注3 可以证明对任意一个n 次多项式 存在 使得 这也就是说, 是逼近 的最佳 n 次多项式.

11 在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形 式变为 此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.

12 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
泰勒 ( Taylor,B , 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C , 苏格兰 )

13 例1 验证下列公式

14 以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林
公式), 请务必牢记.

15 证 这里仅验证 1 和 6, 其余请读者自己验证. 验证 1 因为 所以 于是 n 阶麦克劳林公式为 验证 6 设 则

16 故

17 例2 求 的麦克劳林公式, 并求 解 由例1 那么 由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 的麦克劳林

18 公式,由泰勒系数公式可知 于是得到 例3 求 在点 的泰勒公式. 解

19 下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.
例4 求 解 因为

20 所以 本题虽然可用洛必达法则来求, 但上面的方法比 较简单 .

21 二、带有拉格朗日型余项的 泰勒公式 前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是 有限增量公式的一个推广,它只是定性地的告诉
我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为 下面是一个定量形式的泰勒公式.

22 定理6.9 (泰勒定理) 若函数 上存在直 到n 阶连续导函数, 在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 则 或者 其中 阶泰勒多项式.

23 证 设 不妨设 上连续, 在 上可导, 且

24 由柯西中值定理, 得 因为 所以

25 于是就得到 我们称 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项,公式 (5) 称为 f (x) 在点 x0 的带有拉格朗日型余项的 n 阶 泰勒公式. 注 请比较公式 (5) 与拉格朗日中值定理.

26 因 之间, 故存在正数 所以 使得 又可写成 当 时, 公式 (5) 成为

27 公式 (6) 称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公
式.公式 (3) 与公式 (5) 都是泰勒公式, 并且前面部 分均为泰勒多项式,而不同的是 Rn(x) 的表达形式 不一样.读者在应用时,需根据不同情况选择合适 形式的余项. 例1 中六个公式的余项均为佩亚诺型的, 现在将 它们改写为带有拉格朗日型余项的公式:

28

29

30 这里仅对公式 (iii) 进行验证, 其余 5 个请读者自理.
于是

31 从而有

32 三、 泰勒公式在近似计算中的应用 例5 (1) 计算 e 的值,使其误差不超过 (2) 证明 e 是无理数. 解 由例5 可知

33 于是 其误差不超过　　. 下证 e 是无理数. 这是因为

34 那么　　　不是整数. 而由 (7) 式得到 整数　整数 整数, 矛盾. 所以 e 是一个无理数. ( 同样可证明　　　　　都不是有理数.) 例 6 计算 ln2 的值, 使其误差不超过10 -4. 解 我们自然会想到利用公式 (iv)，此时用 x = 1 代入，它的余项是

35 显然这样的计算量太大, 所以必须寻找新的方法.
现考虑函数

36

37 而 于是

38 只要取 n = 6, 便得到 其误差不超过 (真值为 …).

39 复习思考题 那么,在什么条件下 Tn(x2) 一定是 f (x2) 的 2n 阶 泰勒多项式?